湯川ポテンシャル

Screened Coulomb potential which exponentially decays

素粒子物理学、原子物理学、および凝縮系物理学において、湯川ポテンシャル（遮蔽クーロンポテンシャルとも呼ばれる^[要出典]）は、日本の物理学者湯川秀樹にちなんで名付けられたポテンシャルである。このポテンシャルは以下の形式をとる。

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

ここで、は大きさのスケーリング定数、すなわちポテンシャルの振幅、 mは粒子の質量、rは粒子までの半径距離、αは別のスケーリング定数であるため、おおよその範囲となります。ポテンシャルはrに対して単調増加し、負の値であるため、力は引力であることを意味します。SI単位系では、湯川ポテンシャルの単位はメートルの逆数です。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

電磁気学のクーロンポテンシャルは、あらゆる点で係数が1に等しい湯川ポテンシャルの一例です。これは、光子の質量mが0に等しいと解釈できます。光子は、相互作用する荷電粒子間の力の伝達体です。 ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$

中間子場とフェルミオン場との相互作用において、定数はそれらの場間のゲージ結合定数に等しい。核力の場合、フェルミオンは陽子と別の陽子、または中性子となる。 ${\displaystyle g}$

歴史

湯川秀樹の1935年の論文^[1]以前、物理学者たちはジェームズ・チャドウィックの原子模型の結果を説明するのに苦労していました。この模型は、正電荷を帯びた陽子と中性子が半径10の^-14乗メートル程度の小さな原子核の中に詰め込まれているというものでした。物理学者たちは、この距離では電磁力がこれらの陽子同士を反発させ、原子核を崩壊させることを理解していました。^[2]こうして、素粒子間の相互作用をさらに説明しようという動機が生まれました。1932年、ヴェルナー・ハイゼンベルクは、原子核内の中性子と陽子の間に「プラッツヴェクセル」（移動）相互作用を提唱しました。この相互作用では、中性子は陽子と電子の複合粒子です。この複合中性子は電子を放出し、陽子と引力を生み出し、その後、自身も陽子へと変化します。 1933 年のソルベー会議でハイゼンベルクが相互作用を提案したとき、物理学者たちはそれが次の 2 つの形式のいずれかであると疑った。

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

^[3]しかし、彼の理論には多くの問題点があった。まず、スピンの電子が1/2⁠そしてスピンの陽子⁠1/2⁠中性子スピンの合計⁠1/2ハイゼンベルクがこの問題を扱った方法は、アイソスピンの概念を形成することになりました。

ハイゼンベルクが提唱した、原子核内の粒子間の交換相互作用（クーロン力ではなく）という概念は、フェルミが1934年にベータ崩壊に関する独自の理論をまとめるきっかけとなった^。[3]フェルミの中性子-陽子相互作用は、中性子と陽子の相互間の「移動」に基づくものではなかった。フェルミは、ハイゼンベルクの理論のように電子のみではなく、ニュートリノと電子という2つの軽い粒子の放出と吸収を提唱した。フェルミの相互作用は線運動量と角運動量の保存則の問題を解決したが、ソ連の物理学者イゴール・タムとドミトリ・イヴァネンコは、ニュートリノと電子の放出に関連する力は、原子核内の陽子と中性子を結合させるほど強力ではないことを実証した。^[4]

1935年2月の論文で、湯川秀樹はハイゼンベルクの短距離力の相互作用の考え方とフェルミの交換粒子の考え方を組み合わせ、中性子と陽子の相互作用の問題を解決した。彼は指数関数的減衰項（）と電磁気項（）を含むポテンシャルを導出した。量子場の理論との類似性から、湯川はこのポテンシャルとそれに対応する場は交換粒子の結果であるに違いないことを知っていた。量子電気力学の場合、この交換粒子は質量0の光子である。湯川の場合、交換粒子はいくらかの質量を持ち、それは相互作用の飛程（ で与えられる）と関係していた。核力の飛程は既知であったため、湯川は自身の方程式を用いて、媒介粒子の質量が電子の約200倍であると予測した。物理学者たちはこの粒子を、その質量が陽子と電子の中間にあることから「中間子」と呼んだ。湯川中間子は1947年に発見され、パイオンとして知られるようになった。^[4] ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

クーロンポテンシャルとの関係

図1:およびの湯川ポテンシャルの比較（ mのさまざまな値の場合） 。 ${\displaystyle g=1}$

図 2:湯川ポテンシャルとクーロンポテンシャルの強度の「長距離」比較。 ${\displaystyle g=1}$

粒子に質量がない場合（つまり、m = 0）、湯川ポテンシャルはクーロンポテンシャルに帰着し、その範囲は無限大であると言われます。実際、以下の式が成り立ちます。

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

その結果、方程式

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

クーロンポテンシャルの形に単純化される

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

ここで、スケーリング定数を次のように設定する：^[5]

${\displaystyle g^{2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

湯川ポテンシャルとクーロンポテンシャルの長距離ポテンシャル強度の比較を図2に示す。クーロンポテンシャルはより長い距離にわたって効果を発揮するのに対し、湯川ポテンシャルは比較的急速にゼロに近づくことがわかる。しかし、湯川ポテンシャルもクーロンポテンシャルも、rがいくら大きくてもゼロにはならない。

波動方程式との関係

湯川ポテンシャルは、電磁波方程式を非ゼロ質量の粒子を記述するために修正することによって生じるものと考えられる。 ^[6]

電磁波方程式は次のようになります 。 ${\displaystyle \Box A^{\mu }={\text{source terms}}}$

は電磁四元ポテンシャルで、です。点源の場合、 ポテンシャルは のように変化します。 ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \Box =1/c^{2}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle 1/r}$

この波動方程式は光子を記述します。核力については、パイ中間子を記述したいと考えています。パイ中間子はベクトル場ではなくスカラー場で記述できるため、波動方程式に場の倍数（相対論的不変性には影響しません）を加えることで修正します。

${\displaystyle \Box \phi +\mu ^{2}\phi =0}$

が球座標の半径のみに依存し、時間に依存しない場合は、 となります。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\mu ^{2}\phi }$

球座標におけるラプラシアン の式を用いると、 ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{r}}\partial _{r}^{2}(r\phi )}$

${\displaystyle \partial _{r}^{2}(r\phi )=\mu ^{2}(r\phi )}$

これには解があり、それは湯川ポテンシャルです。 ${\displaystyle r\phi (r)=Ke^{-\mu r}}$ ${\displaystyle \phi (r)=K{\frac {e^{-\mu r}}{r}}}$

光子の場合、波動解は のようになります。これを同次電磁波方程式に代入すると、 が得られます。 ${\displaystyle \exp(i(k{\dot {r}}-\omega t))}$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}}$

プランクの関係 とド・ブロイの関係を用いると、 ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle p=\hbar k}$

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=p^{2}}$。

質量エネルギー等価性から、であることが分かるので、光子は質量がないことがわかります。 ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=p^{2}+m^{2}c^{2}}$

この解析をパイ中間子に対して繰り返すと となり、中間子の質量が であることがわかります。 ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=k^{2}+\mu ^{2}\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle m={\frac {\mu \hbar }{c}}}$

${\displaystyle \mu }$核力の観測範囲から推定できる。核力の範囲はフェムトメートル（ ）のオーダーであるため、パイ中間子の質量は約 となり、実際の値である 付近に近い。 ${\displaystyle 10^{-15}{\text{m}}}$ ${\displaystyle 170{\text{MeV}}}$ ${\displaystyle 140{\text{MeV}}}$

フーリエ変換

湯川ポテンシャルが質量場と関連していることを理解する最も簡単な方法は、そのフーリエ変換を調べることである。

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

ここで、積分は3次元ベクトル運動量kのあらゆる可能な値に対して実行されます。この形式で、スケーリング係数を1に設定すると、分数はクライン・ゴルドン方程式の伝播関数、つまりグリーン関数であることがわかります。 ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

ファインマン振幅

単一粒子の交換。

湯川ポテンシャルは、フェルミオン対の相互作用の最低次の振幅として導出できる。湯川相互作用は、フェルミオン場と中間子場を結合項によって結合する。 ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

初期運動量と運動量 を持つ 2 つのフェルミオンが、運動量kを持つ中間子と交換する場合の散乱振幅は、右側のファインマン図で与えられます。 ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

各頂点のファインマン則は、振幅に の係数を関連付けます。この図には2つの頂点があるため、全体の振幅は の係数を持ちます。中央の2つのフェルミオン線を結ぶ線は、中間子の交換を表しています。粒子交換のファインマン則は、伝播関数を用いることです。質量を持つ中間子の伝播関数は です。したがって、このグラフのファインマン振幅は に等しいことがわかります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

前のセクションから、これは湯川ポテンシャルのフーリエ変換であることがわかります。

シュレーディンガー方程式の固有値

湯川ポテンシャルを持つラジアルシュレーディンガー方程式は摂動論的に解くことができる。^{[7] [8] [9] : ch. 16 次}の形式のラジアルシュレーディンガー方程式を用いて

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

およびべき乗展開形の湯川ポテンシャル

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

と設定すると、角運動量について次の式 が得られる。 ${\displaystyle K=jk}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

の場合、ここで ${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

係数をゼロ以外すべて設定すると、クーロンポテンシャルのシュレーディンガー固有値に関するよく知られた式が得られ、ラジアル量子数は クーロンポテンシャルの波動関数が満たすべき境界条件の結果として正の整数またはゼロとなる。湯川ポテンシャルの場合、境界条件の適用はより複雑である。したがって、湯川の場合、は近似値にすぎず、整数nを置き換えるパラメータは実際には上記のような漸近展開であり、最初の近似値は対応するクーロンの場合の整数値となる。軌道角運動量またはレッジェ軌道に関する上記の展開は、エネルギー固有値またはそれと同等の を得るために逆にすることができる。以下を得る：^[10] ${\displaystyle M_{j}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \nu =n}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2+3)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

角運動量の上記の漸近展開は、WKB法でも導くことができます。ただし、その場合、クーロンポテンシャルの場合と同様に、シュレーディンガー方程式の遠心項の表現はに置き換える必要があります。これはもともとランガーによって主張されたことであり、^{[11]その理由は、} WKB法をそのまま適用するには特異点が強すぎるためです。この推論が正しいことは、クーロンの場合（ランガー補正を使用）の正しい結果のWKB導出から得られます。^{[9] : 404}また、より高次のWKB近似を使用した湯川の場合の上記の展開からも得られます。^[12] ${\displaystyle \ell (K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$ ${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$

断面

陽子または中性子とパイ中間子間の微分断面積は、湯川ポテンシャルを用いて計算できます。ボルン近似を用いると、球対称ポテンシャルにおいて、出射散乱波動関数は入射平面波動関数と小さな摂動の和として近似できます。

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

ここで、は粒子の入射運動量です。この関数は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

ここでは粒子の出射散乱運動量、 は入射粒子の質量（パイ中間子の質量と混同しないでください）です。を代入して計算します。 ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

積分を評価すると

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

エネルギー保存則は

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

となることによって

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

差し込むと次のようになります:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

したがって、微分断面積は次のようになる。^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

積分すると、総断面積は次のようになります。

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

球殻

全スケーリング定数と半径を持つ極小の均一球殻の外側のポテンシャルも湯川ポテンシャルであるが、一般に等価点源のスケーリング定数は球殻のスケーリング定数よりも大きい。^{[13] [14] [15]}より具体的には、球殻の外側のスケーリング定数を持つ点のポテンシャルは ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle V(r>R)=Gg{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}{\frac {\sinh \alpha mR}{\alpha mR}}.}$

これは殻を大きさ の点音源に置き換えるのと同じである。内部ポテンシャルは^{[14]である。} ${\displaystyle G{\frac {\sinh \alpha mR}{\alpha mR}}}$

${\displaystyle V(r<R)=Gg{\frac {e^{-\alpha mR}}{R}}{\frac {\sinh \alpha mr}{\alpha mr}}.}$

ならば、逆二乗ポテンシャルの殻定理が回復されます。 ${\displaystyle m=0}$

この結果、重力子の質量がゼロでない修正重力理論では、弱等価原理は破られ、自由落下中の物体の重力加速度はその構成に依存することになる。^[16]

参照

• 湯川ふれあい
• 遮蔽されたポアソン方程式
• ベッセルポテンシャル

参考文献

1. 湯川 浩(1935). 「素粒子の相互作用について」.日本物理数学会誌17:48 .
2. リンカーン、ドン（2004年）『宇宙を理解する：クォークから宇宙へ』シンガポール：ワールドサイエンティフィック、pp. 75–78、ISBN 978-9812387035。
3. Miller, Arthur I. (1985). 「ヴェルナー・ハイゼンベルクと原子核物理学の始まり」. Physics Today . 38 (11): 60– 68. Bibcode :1985PhT....38k..60M. doi :10.1063/1.880993.
4. Brown, Laurie M. (1986). 「湯川秀樹と中間子理論」. Physics Today . 39 (12): 55– 62. Bibcode :1986PhT....39l..55B. doi :10.1063/1.881048.
5. グリフィス、デイビッド・J. (2017). 『量子力学入門』ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、イギリス. p. 415. ISBN 978-1-107-17986-8。
6. ファインマン, リチャード・P. ;レイトン, ロバート・B. ;サンズ, マシュー(1964). "28".ファインマン物理学講義第2巻. アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-201-02115-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
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8. Müller, HJW; Schilcher, K. (1968年2月). 「湯川ポテンシャルの高エネルギー散乱」. Journal of Mathematical Physics . 9 (2): 255– 259. doi :10.1063/1.1664576.
9. Müller-Kirsten, Harald JW (2012).量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分（第2版）. シンガポール: World Scientific. ISBN 978-9814397735。
10. Müller, HJW (1965). 「非相対論的ポテンシャル散乱におけるレッジェ軌道の計算について」. Physica . 31 (5): 688– 692. Bibcode :1965Phy....31..688M. doi :10.1016/0031-8914(65)90006-6.
11. ランガー, ルドルフ・E. (1937). 「波動方程式の接続式と解について」.フィジカル・レビュー. 51 (8): 669– 676.書誌コード:1937PhRv...51..669L. doi :10.1103/PhysRev.51.669.
12. Boukema, JI (1964). 「WKB法と変分法によるポテンシャル理論におけるレッジェ軌道の計算」. Physica . 30 (7): 1320– 1325. Bibcode :1964Phy....30.1320B. doi :10.1016/0031-8914(64)90084-9.
13. Kuhn, Paulo. 「異なる形状におけるデバイ-ヒュッケル相互作用、または湯川ポテンシャル」(PDF) . 2025年2月14日閲覧。
14. McDonald, Kirk (2021年12月20日) [1984年4月17日]. 「湯川理論における結合定数のナイーブ推定」(PDF) . 2025年2月14日閲覧。
15. 「一般ポテンシャルの殻定理」Mathematics Stack Exchange . 2025年2月14日閲覧。
16. シウフォリーニ、イニャツィオ;リチャード・マツナー;パオロッツィ、アントニオ。パブリス、エリコス C.シンドニ、ジャンピエロ。リース、ジョン。グルザディアン、バヘ。ケーニッヒ、ロルフ（2019年11月4日）。 「基礎物理学の探査機としての衛星レーザー測距」。科学的報告書。9 (1): 15881.arXiv : 1907.00395。Bibcode :2019NatSR...915881C。土井：10.1038/s41598-019-52183-9。PMID  31685911。

出典

• ブラウン, GE ; ジャクソン, AD (1976).核子-核子相互作用. アムステルダム: North-Holland Publishing. ISBN 0-7204-0335-9。

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