エクストリームセット

区別された2点は、凸集合の端点のうち露出点ではない例である。したがって、凸集合のすべての凸面が露出面であるとは限らない。

数学、特に凸幾何学において、ベクトル空間内の集合の極端集合または面とは、任意の2点に対して中間の点が内にある場合、 が成立していたという性質を持つ部分集合のことである。^[1] ${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle z=\theta x+(1-\theta )y,\theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y\in F}$

の極点とは、 が面である点である。 ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in C}$ ${\displaystyle \{p\}}$

の露出面とは、の点の集合のうち、線形汎関数が 上で最小値をとる部分集合のことである。したがって、が 上の線形汎関数であり が であるとき、 はの露出面である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$ ${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$ ${\displaystyle C}$

の露出点とは、 が露出面となるような点である 。つまり、任意の に対して となる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in C}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle f(p)>f(c)}$ ${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$

露出面は面であるが、その逆は成り立たない（図を参照）。が凸面である場合、 の露出面は凸面である。が の面である場合、 はの面であるべきであり、かつが の面である場合に限る。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$

競合する定義

著者の中には、（露出した）面の間にand/or を含めない者もいます。また、 and/or が凸であること（そうでなければ円板の境界は円板の面であり、境界の任意の部分集合でもある）または閉じていることを要求する者もいます。さらに、与えられたベクトル位相において、汎関数が連続であることを要求する者もいます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$

参照

• 顔（幾何学）

参考文献

1. Narici & Beckenstein 2011、275–339ページ。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.

外部リンク

• 位相ベクトル空間と連続線形関数、『関数分析』第 3 章、ローレンス バゲット、コロラド大学ボルダー校。
• 機能分析、ピーター・フィリップ、ルートヴィヒ・マクシミリアン大学ミュンヘン、2024

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