約数

Integer that is a factor of another integer

キュイズネールロッドで示された10の約数：1、2、5、10

数学において、整数の約数（因数とも呼ばれる）は、ある整数を掛けて^[1]を生成できる整数です。この場合、はの倍数とも呼ばれます。がの約数である場合、整数は別の整数で割り切れるか、または割り切れます。これは、で割っても余りがないことを意味します。 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

定義

整数が0 以外の整数で割り切れるとは、次の整数が存在する場合です。これは次のように書きます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=km.}$

${\displaystyle m\mid n.}$

これは、が割り切れると、がの約数であり、がの因数であるか、またはの倍数であると読むことができます。が割り切れない場合、表記は^{[2] [3]です。} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m\not \mid n.}$

がゼロになることが許されるかどうかによって区別される2つの慣習があります。 ${\displaystyle m}$

• 追加の制約がない表記法では、すべての整数に対して^{[2] [3]} ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$
• が0以外の整数に対して、が0以外の整数である表記法では^{[4] [5]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$

一般

約数は正だけでなく負にもなり得ますが、多くの場合、この用語は正の約数に限定されます。例えば、4の約数は6つあります。1、2、4、-1、-2、-4ですが、通常は正の数（1、2、4）のみが記載されます

1と-1はすべての整数を割り切れます（約数です）。すべての整数（およびその否定）は、それ自身の約数です。2で割り切れる整数は偶数と呼ばれ、2で割り切れない整数は奇数と呼ばれます。

1、-1、はの自明な約数として知られています。の約数で自明でないものは非自明な約数（または厳密な約数^[6]）として知られています。少なくとも1つの非自明な約数を持つ非ゼロの整数は合成数として知られていますが、 -1と1の単位と素数には非自明な約数はありません。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$

数の桁から特定の約数を認識できる、割り切れる規則があります。

例

1から1000までの整数の約数の数のプロット。素数はちょうど2つの約数を持ち、高度に合成された数は太字で示されています

• 7は42の約数です。つまり、42は7で割り切れる、42は7の倍数である、7は42を割り切る、7は42の因数である、とも言えます。 ${\displaystyle 7\times 6=42,}$ ${\displaystyle 7\mid 42.}$
• 6の非自明な約数は2、-2、3、-3です。
• 42の正の約数は1、2、3、6、7、14、21、42です。
• 60のすべての正の約数を割り切れる順に部分的に並べた集合は、ハッセ図を持ちます ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

さらなる概念と事実

いくつかの基本的なルールがあります。

• であり、そして、つまり、割り切れるかどうかは推移的な関係です ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid c;}$
• およびの場合、または（つまり、と は関連しています。） ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid a,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=-b.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• およびの場合、 ^[a]が成り立ちます。ただし、およびの場合は常に成り立つとは限りません（たとえば、とですが、5 は 6 を割り切れません）。 ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ ${\displaystyle a\mid (b-c).}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle c\mid b,}$ ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ ${\displaystyle 2\mid 6}$ ${\displaystyle 3\mid 6}$
• ${\displaystyle a\mid b\iff ac\mid bc}$非ゼロの場合。これは と書くことから直ちに分かります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$

ならば^[b]これはユークリッドの補題と呼ばれます。 ${\displaystyle a\mid bc,}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

が素数の場合、または ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\mid ab}$ ${\displaystyle p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$

と異なる の正の約数は、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$真約数またはの約数と呼ばれます（たとえば、6 の真約数は 1、2、3 です）。 を割り切れず、余りが残る ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$の約数と呼ばれることがあります ${\displaystyle n.}$

真約数が 1 のみである整数は素数と呼ばれます。同様に、素数は 1 とそれ自身というちょうど2つの正の因数を持つ正の整数です ${\displaystyle n>1}$

の任意の正の約数は、あるべき乗の素約数の積です。これは算術の基本定理の帰結です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

ある数がその真約数の和に等しい場合、完全数と呼ばれます。真約数の和が より小さい場合、欠損数と呼ばれます。この和が を超える場合、過剰数と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n.}$

の正の約数の総数は乗法関数です。つまり、 2つの数とが互いに素である場合、 となります。例えば、です。42 の8つの約数は1、2、3、6、7、14、21、42です。しかし、正の約数の数は全乗法関数ではありません。2つの数と が共通の約数を共有する場合、 は真ではない可能性があります。の正の約数の和は別の乗法関数です（たとえば、）。これらの関数はどちらも約数関数の例です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

の素因数分解が で与えられる場合 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

の正の約数の数は ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

そして、それぞれの約数はの形を持ちます

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

ここで、それぞれ ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

すべての自然数について ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

ここで、は^{ですということです。しかし、これは}

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

ここで、はオイラー・マスケローニ定数です。この結果の1つの解釈は、ランダムに選ばれた正の整数nの平均約数の数は約であるということです。しかし、これは「異常に多くの」約数を持つ数の寄与による結果です。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln n.}$

抽象代数において

環論

除算格子

除数が0になることを許容する定義では、割り切れるかどうかの関係により、非負整数の集合は完全分配格子である半順序集合に変換されます。この格子の最大要素は0で、最小要素は1です。会う操作∧は最大公約数で与えられ、結合操作∨は最小公倍数で与えられます。この格子は、無限巡回群Z の部分群の格子の双対と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

参照

• 算術関数
• ユークリッドの互除法
• 分数（数学）
• 整数因数分解
• 約数表– 1～1000の素数と非素数の約数表
• 素因数表– 1～1000の素因数表
• 単位約数

注記

1. 同様に、 ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}$ ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}$
2. は最大公約数を指します。 ${\displaystyle \gcd }$

引用文献

1. Hardy & Wright 1960, p. 1
2. Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, p. 4
3. Sims 1984, p. 42
4. Durbin (2009), p. 57, Chapter III Section 10
5. Durbin (2009), p. 57, Chapter III Section 10
6. "FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois" (PDF).
7. Hardy & Wright 1960, p. 264, 定理320

参考文献

• Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (第6版). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5。
• ガイ、リチャード・K. (2004) 『数論における未解決問題（第3版）』シュプリンガー出版社、ISBN 0-387-20860-7；セクションB
• Hardy, GH ; Wright, EM (1960). An Introduction to the Theory of Numbers (第4版). Oxford University Press.
• ハースタイン、IN (1986) 『抽象代数学』ニューヨーク：マクミラン出版社、ISBN 0-02-353820-1
• ニーヴン、イヴァン、ザッカーマン、ハーバート・S、モンゴメリー、ヒュー・L (1991) 『数論入門（第5版）』John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9。
• オイステイン・オーレ著『数論とその歴史』 McGraw-Hill, NY, 1944年（およびドーバー版再版）
• シムズ、チャールズ・C (1984) 『抽象代数：計算的アプローチ』 ニューヨーク：John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9
• タントン、ジェームズ (2005) 『数学百科事典』 ニューヨーク：Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0 OCLC  56057904.

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