太いオブジェクト（ジオメトリ）

Multi-dimensional object whose lengths in each dimension are similar

幾何学において、太い物体とは、2次元以上の物体で、異なる次元の長さがほぼ同じである物体のことです。例えば、正方形は長さと幅が同じなので太いと言えます。2×1の長方形は正方形よりも細いですが、10×1の長方形と比べると太いと言えます。同様に、円は1×10の楕円よりも太く、正三角形は非常に鈍角な三角形よりも太いと言えます。

ファットオブジェクトは計算幾何学において特に重要です。計算幾何学における多くのアルゴリズムは、入力がファットオブジェクトのみで構成されている場合、パフォーマンスが大幅に向上します。以下の応用セクションを参照してください。

世界の肥満

定数R ≥ 1が与えられたとき、物体oの「スリム度係数」がR以下であるとき、その物体はR -fatと呼ばれる。「スリム度係数」は論文によって定義が異なる。一般的な定義^[1]は以下の通りである。

${\displaystyle {\frac {{\text{side of smallest cube enclosing}}\ o}{{\text{side of largest cube enclosed in}}\ o}}}$

ここで、oと立方体はd次元です。2 次元の立方体は正方形なので、正方形のスリム ファクターは 1 です (最小の囲む正方形が最大の囲む円板と同じであるため)。10 バイ 1 の長方形のスリム ファクターは 10 です。円のスリム ファクターは√2 です。したがって、この定義によれば、正方形は 1-ファットですが、円板と 10 バイ 1 の長方形は 1-ファットではありません。正方形は 2-ファット (スリム ファクターが 2 未満であるため)、3-ファットなどにもなります。円板も 2-ファット (さらに 3-ファットなど) ですが、10 バイ 1 の長方形は 2-ファットではありません。定義によりスリム ファクターは常に最大で ∞ であるため、すべての図形は ∞-ファットです。

上記の定義は、2つの立方体の辺の長さの比に基づいているため、「2立方体太さ」と呼ぶことができます。同様に、代わりにd次元球体を用いる「2球太さ」を定義することも可能で、この場合、 2次元球体は円板です。 ^[2]この別の定義によれば、円板は1-太さですが、正方形は2球の細さが√2であるため、1-太さではありません。

もう一つの定義は、囲みボールの太さ（「厚さ」とも呼ばれる^[3] ）と呼ばれ、以下のスリム度係数に基づいています。

${\displaystyle \left({\frac {{\text{volume of smallest ball enclosing}}\ o}{{\text{volume of}}\ o}}\right)^{1/d}}$

指数⁠1/d⁠この定義は 2 つの長さの比率となるため、2 つのボールの太さに匹敵します。

ここでも、ボールの代わりに立方体を使うことができます。

同様に、次のスリム度係数に基づいて、囲まれたボールの太さを定義することもできます。

${\displaystyle \left({\frac {{\text{volume of}}\ o}{{\text{volume of largest ball enclosed in}}\ o}}\right)^{1/d}}$

囲い込み肥満 vs. 囲み込み肥満

囲んでいるボール/立方体のスリムさは、囲まれているボール/立方体のスリムさとは大きく異なる可能性があります。

例えば、1×1の正方形のキャンディーとb × ⁠の形をした棒が付いたロリポップを考えてみましょう。1/b⁠長方形（ b > 1 > ⁠1/b⁠）。bが増加すると、それを囲む立方体の面積（ ≈ b ²）は増加しますが、囲まれる立方体の面積は一定（=1）で、その形状の総面積も一定（=2）です。したがって、囲む立方体の細さは任意に大きくなりますが、囲まれる立方体の細さは一定（=√2）です。このデモンストレーションについては、GeoGebraのこちらのページをご覧ください。

一方、幅が⁠の直線状の「蛇」を考えてみましょう。1/b⁠と長さbで、辺の長さが 1 の正方形内に完全に収まる立方体です。bが増加すると、囲まれた立方体の面積 ( ≈ ⁠1/b ²⁠）は減少しますが、ヘビとそれを囲む立方体の総面積は一定（=1）のままです。したがって、囲む立方体の細さは一定（=1）のままで、囲む立方体の細さは任意に増加することができます。

ロリポップとヘビの両方において、2 つの立方体の細さは任意に増加します。一般に次のようになります。

$${\displaystyle \left({{\text{enclosing-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times \left({{\text{enclosed-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)=\left({{\text{two-balls-}} \atop {\text{slimness}}}\right)}$$ $${\displaystyle \left({{\text{enclosing-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times \left({{\text{enclosed-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)=\left({{\text{two-cubes-}} \atop {\text{slimness}}}\right)}$$

すべてのスリム係数は少なくとも 1 であるため、オブジェクトoが2 つのボール/立方体の定義に従ってR -太字である場合、囲むボール/立方体と囲まれたボール/立方体の定義に従ってもR -太字になります (ただし、上記のように、逆は真ではありません)。

ボール vs. キューブ

半径rのd次元球の体積は次の式で表される。ここでV _dは次元に依存する定数である。 ${\displaystyle V_{d}\cdot r^{d},}$ $${\displaystyle V_{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}}$$

辺の長さが2 aであるd次元立方体の体積は(2 a ) ^dである。これは半径がd次元球体に囲まれており、その体積は である。したがって、すべてのd次元物体について、 ${\displaystyle a{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle V_{d}\left(a{\sqrt {d}}\right)^{d}.}$

$${\displaystyle \left({{\text{enclosing-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosing-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times {\sqrt[{d}]{V_{d}}}\times {\frac {\sqrt {d}}{2}}}$$

偶数次元（d = 2 k）の場合、係数は次のように簡略化されます。特に、2次元形状の場合、V ₂ = πとなり、係数は次のようになります。したがって、 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi k}{2}}}\left/{\sqrt[{2k}]{k!}}\right..}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}\approx 1.25,}$

$${\displaystyle \left({{\text{enclosing-disk-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosing-square-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times 1.25}$$

同様の考察から：

$${\displaystyle \left({{\text{enclosed-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosed-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times {\sqrt[{d}]{V_{d}}}\times {\frac {\sqrt {d}}{2}}}$$ $${\displaystyle \left({{\text{enclosed-square-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosed-disk-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times 1.25}$$

半径aのd次元球は、辺の長さが2 aのd次元立方体に囲まれている。したがって、すべてのd次元物体 について、次の関係が成り立つ。

$${\displaystyle \left({{\text{enclosing-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosing-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times {\frac {2}{\sqrt[{d}]{V_{d}}}}}$$

偶数次元（d = 2 k）の場合、係数は次のように簡略化されます。特に、2次元形状の場合、係数は次のようになります。したがって、 ${\textstyle 2\left/{\sqrt[{2k}]{(k!)}}\ \right/{\sqrt {\pi }}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.13,}$

$${\displaystyle \left({{\text{enclosing-square-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosing-disk-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times 1.13}$$

同様の考察から：

$${\displaystyle \left({{\text{enclosed-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosed-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times {\frac {2}{\sqrt[{d}]{V_{d}}}}}$$ $${\displaystyle \left({{\text{enclosed-disk-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosed-square-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times 1.13}$$

上記の関係を掛け合わせると、次の単純な関係が得られます。

$${\displaystyle \left({{\text{two-balls-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{two-cubes-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times {\sqrt {d}}}$$ $${\displaystyle \left({{\text{two-cubes-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{two-balls-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\times {\sqrt {d}}}$$

したがって、2 つのボールまたは 2 つのキューブの定義によるR -fat オブジェクトは、代替の定義に よれば最大で⁠ ⁠ -fat になります。 ${\displaystyle R{\sqrt {d}}}$

局所的な肥満

上記の定義はすべて、大きな太いオブジェクトの一部である小さな薄い領域を考慮しないという意味でグローバルです。

例えば、1×1の正方形のキャンディーと1× ⁠の形をした棒が付いたロリポップを考えてみましょう。1/b⁠長方形（ b > 1 > ⁠1/b⁠）。b が増加すると、囲む立方体の面積 (= 4) と囲まれた立方体の面積 (= 1) は一定のままですが、図形の総面積はわずかに変化します ( = 1 + ⁠1/b⁠）。したがって、3つのスリムネス係数はすべて制限されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({{\text{enclosing-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)&\leq 2,\\[4pt]\left({{\text{enclosed-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)&\leq 2,\\[4pt]\left({{\text{two-cube-}} \atop {\text{slimness}}}\right)&=2.\end{aligned}}}$$

したがって、あらゆる定義において、ロリポップは2ファットです。しかし、ロリポップの棒部分は明らかにどんどん細くなっています。

アプリケーションによっては、このような薄い部分は許容されないため、局所的なスリムネス係数に基づく局所的な太さがより適切である場合があります。すべてのグローバルスリムネス係数に対して、ローカルなバージョンを定義することができます。例えば、包囲ボールスリムネス係数の場合、オブジェクトoのローカルな包囲ボールスリムネス係数は、中心がoの内側にあり、境界がoの境界と交差する（つまり、 oを完全には含まない）すべてのボールの集合Bを考慮することで定義できます。ローカルな包囲ボールスリムネス係数は次のように定義されます。^{[3] [4]}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \sup _{b\in B}\left({\frac {{\text{volume}}(B)}{{\text{volume}}(B\cap o)}}\right)^{1/d}}$$

1/2は、ボールの局所的包囲ボールスリム度を1に等しくする正規化係数です。上記のロリポップ形状の局所的包囲ボールスリム度は、1 × ⁠によって支配されています。1/b⁠スティックであり、 b が大きくなるにつれて無限大に近づく。したがって、局所定義によれば、上記のロリポップは 2-ファットではない。

グローバル定義とローカル定義

局所的太さは全体的太さを意味する。囲む球体に基づく太さの証明の概略を示す。定義により、最小の囲む球体の体積は、他の任意の囲む球体の体積以下である。特に、中心がo内にあり、境界がoの境界に接する任意の囲む球体の体積以下である。しかし、そのような囲む球体bはすべて、局所的囲む球体の細さの定義で考慮される集合Bに含まれる。したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({{\text{enclosing-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)^{d}&={\frac {\text{volume(smallest enclosing ball)}}{{\text{volume}}(o)}}\\[4pt]&\leq {\frac {{\text{volume}}(b\in B)}{{\text{volume}}(o)}}\\[4pt]&={\frac {{\text{volume}}(b\in B)}{{\text{volume}}(b\cap o)}}\\[4pt]&\leq \left[2\times \left({{\text{local-enclosing-}} \atop {\text{ball-slimness}}}\right)\right]^{d}\end{aligned}}}$$

したがって:

$${\displaystyle \left({{\text{enclosing-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)\leq \left({{\text{local-enclosing-}} \atop {\text{ball-slimness}}}\right)\times 2}$$

凸体については逆のことも成り立ちます。つまり、局所太さは大域太さを意味します。証明^[3]は次の補題に基づいています。o を凸物体とします。P をo内の点とします。bとBをPを中心とする2つの球体とし、bはBよりも小さいものとします。このとき、o はBよりもbと大きな部分と交差します。すなわち、

$${\displaystyle {\frac {{\text{volume}}\ (b\cap o)}{{\text{volume}}\ (b)}}\geq {\frac {{\text{volume}}\ (B\cap o)}{{\text{volume}}\ (B)}}}$$

証明の概略：点Pに立って、様々な角度θからoの境界までの距離を測ることができます。o は凸面なので、この距離は関数、例えばr ( θ )となります。不等式の左辺は、以下の関数（何らかの行列式を乗じたもの）をすべての角度にわたって積分することで計算できます。 $${\displaystyle f(\theta )=\min {\left({\frac {r(\theta )}{{\text{radius}}\ (b)}},1\right)}}$$

同様に、次の関数を積分することで不等式​​の右側を計算できます。 $${\displaystyle F(\theta )=\min {\left({\frac {r(\theta )}{{\text{radius}}\ (B)}},1\right)}}$$

3つの可能なケースすべてを検討することで、常にf ( θ ) ≥ F ( θ )であることが示せます。したがって、 fの積分は少なくともFの積分であり、補題は成り立ちます。

局所包囲球のスリム性の定義は、o内の点を中心とし、 oの境界と交差するすべての球を考慮します。しかし、oが凸包の場合、上記の補題により、 o内の各点について、大きさが最大となる球、すなわちo を完全に包含する（そしてその境界がoの境界と交差する）球のみを考慮することができます。そのような球bについて：

$${\displaystyle {\text{volume}}\ (b)\leq C_{d}\cdot {\text{diameter}}\ (o)^{d}}$$

ここで、C _dは次元に依存する定数です。

oの直径は、 oを囲む最小の球の直径以下であり、その球の体積は次のとおりです。 $${\displaystyle C_{d}\cdot \left({\frac {{\text{diameter(smallest ball enclosing}}\ o)}{2}}\right)^{d}}$$

すべての不等式を組み合わせると、すべての凸オブジェクトに対して次のようになります。

$${\displaystyle \left({{\text{local-enclosing-}} \atop {\text{ball-slimness}}}\right)\leq \left({{\text{enclosing-ball-}} \atop {\text{slimness}}}\right)}$$

非凸オブジェクトの場合、上記のロリポップで例示されているように、この不等式は当然成り立ちません。

例

以下の表は、様々な定義に基づく様々な形状のスリムネス係数を示しています。形状が凸型の場合、局所定義の2つの列には「*」が記入されています（この場合、局所スリムネスの値は対応する全体スリムネスの値と等しくなります）。

形	2ボール	2つのキューブ	囲みボール	囲む立方体	囲い球	密閉型キューブ	局所包囲球	局所的包囲立方体
四角	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 1.25}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{\pi }}}\approx 1.13}$	${\displaystyle 1}$	*	*
b × a の長方形（ b > a）	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)}$[3]	${\displaystyle {\sqrt {\frac {b}{a}}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {b}{a\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {b}{a}}}}$	*	*
ディスク	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{\pi }}}\approx 1.13}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 1.25}$	*	*
半径b > aの楕円	${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle >{\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {b}{a}}}}$	${\displaystyle >{\sqrt {\frac {b}{2\pi a}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {b}{a}}}}$	${\displaystyle >{\sqrt {\frac {\pi b}{a}}}}$	*	*
半径b > aの半楕円をbに平行に半分にしたもの	${\displaystyle {\frac {2b}{a}}}$	${\displaystyle >{\frac {2b}{a}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2b}{a}}}}$	${\displaystyle >{\sqrt {\frac {4b}{\pi a}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2b}{a}}}}$	${\displaystyle >{\sqrt {\frac {2\pi b}{a}}}}$	*	*
半円盤	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{\pi }}}\approx 1.6}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5\pi }{8}}}\approx 1.4}$	*	*
正三角形		${\displaystyle 1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 2.15}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\sqrt {3}}}}\approx 1.35}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{\sqrt {3}}}}\approx 1.52}$		${\displaystyle {\frac {\sqrt[{4}]{3}}{2}}+{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}\approx 1.42}$	*	*
二等辺直角三角形	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}\approx 2.4}$	${\displaystyle 2}$		${\displaystyle {\sqrt {2}}}$		${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	*	*
単位正方形とb × aの棒で作られた「ロリポップ」 、 b > 1 > a		${\displaystyle b+1}$		${\displaystyle {\sqrt {\frac {(b+1)^{2}}{ab+1}}}}$		${\displaystyle {\sqrt {ab+1}}}$		${\displaystyle {\sqrt {\frac {b}{a}}}}$

三角形の太さ

細さはスケールに依存しないため、三角形の細さ係数は（他の多角形と同様に）角度のみの関数として表すことができます。球面に基づく3つの細さ係数は、よく知られた三角関数の恒等式を用いて計算できます。

密閉ボールのスリムさ

三角形に含まれる最大の円は内接円と呼ばれます。次のことが知られています。

$${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot \left(\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}}\right)}$$

ここで、 Δは三角形の面積、rは内接円の半径です。したがって、三角形の内接球面の細さは次のように表されます。

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}}}{\pi }}}}$$

囲みボールのスリムさ

鋭角三角形の場合、その三角形を包む最小の円はその外接円であり、鈍角三角形の場合、その三角形の最長辺を直径とする円である。^[5]

次のことがわかっています:

$${\displaystyle \Delta =R^{2}\cdot 2\sin A\sin B\sin C}$$

ここで、 Δは三角形の面積、Rは外接円の半径です。したがって、鋭角三角形の場合、外接球の細長係数は次のようになります。

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2\sin A\sin B\sin C}}}}$$

また、次のことも知られています。

$${\displaystyle \Delta ={\frac {c^{2}}{2(\cot \angle {A}+\cot \angle {B})}}={\frac {c^{2}(\sin \angle {A})(\sin \angle {B})}{2\sin(\angle {A}+\angle {B})}}}$$

ここで、 cは三角形の任意の辺、A、Bは隣接する角です。したがって、鋭角AとB（最長辺がc ）を持つ鈍角三角形の場合、外接球の細長係数は次のようになります。

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi \cdot (\cot \angle {A}+\cot \angle {B})}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi \cdot \sin(\angle {A}+\angle {B})}{2(\sin \angle {A})(\sin \angle {B})}}}}$$

直角三角形では 2 つの式が一致することに注意してください。 ${\displaystyle \sin {\angle {C}}=\sin(\angle {A}+\angle {B})=1,}$

2つのボールのスリムさ

内接円半径rと外接円半径Rは、鋭角三角形の2つの球の細さを表す2つの代替表現を提供するいくつかの公式を介して接続されています。^[6]

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {1}{4\sin {\frac {\angle {A}}{2}}\sin {\frac {\angle {B}}{2}}\sin {\frac {\angle {C}}{2}}}}={\frac {1}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}+\cos \angle {C}-1}}}$$

鈍角三角形の場合は、Rの代わりにc /2を使用します。正弦定理により、

$${\displaystyle {\frac {c}{2}}=R\sin {\angle {C}}}$$

したがって、鈍角Cを持つ鈍角三角形の細長係数は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {c/2}{r}}={\frac {\sin {\angle {C}}}{4\sin {\frac {\angle {A}}{2}}\sin {\frac {\angle {B}}{2}}\sin {\frac {\angle {C}}{2}}}}={\frac {\sin {\angle {C}}}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}+\cos \angle {C}-1}}}$$

直角三角形では 2 つの式が一致することに注意してください。 ${\displaystyle \sin {\angle {C}}=1,}$

2 つの式を次のように組み合わせると、角度Aと角度Bが小さい三角形の 2 つのボールのスリムさを表す単一の式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\sin {\max(\angle {A},\angle {B},\angle {C},\pi /2)}}{4\sin {\frac {\angle {A}}{2}}\sin {\frac {\angle {B}}{2}}\sin {\frac {\pi -\angle {A}-\angle {B}}{2}}}}={\frac {\sin {\max(\angle {A},\angle {B},\angle {C},\pi /2)}}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}-\cos(\angle {A}+\angle {B})-1}}}$$

肥満度の変化率を実感するには、頭角θの二等辺三角形でθが小さい場合に次の式が何を与えるか考えてみましょう。 $${\displaystyle {\frac {\sin {\max(\theta ,\pi /2)}}{4\sin ^{2}{\frac {\pi -\theta }{4}}\sin {\frac {\theta }{2}}}}\approx {\frac {1}{4{\sqrt {1/2}}^{2}\theta /2}}={\frac {1}{\theta }}}$$

次のグラフは、三角形の 2 つのボールのスリム係数を示しています。

• 1 つの角度 (a) が一定のパラメータで、もう 1 つの角度 (x) が変化するときの一般的な三角形の細さ。
• 二等辺三角形の細さは、その頭角 (x) の関数として表されます。

円、楕円、およびその部分の太さ

球面基準の円の細さは、もちろん 1 で、これは可能な限り最小の値です。

中心角θの円セグメントの場合、外接円の直径は弦の長さ、内接円の直径はセグメントの高さです。そのため、2 つのボールのスリムさ (およびθが小さい場合の近似値) は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\text{length of chord}}{\text{height of segment}}}={\frac {2R\sin {\frac {\theta }{2}}}{R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}={\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}}{\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {\theta }{\theta ^{2}/8}}={\frac {8}{\theta }}}$$

中心角θの扇形（θが小さい場合）の場合、外接円の直径は円の半径、内接円の直径は弦の長さとなるため、2 つのボールのスリムさは次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\text{radius of circle}}{\text{length of chord}}}={\frac {R}{2R\sin {\frac {\theta }{2}}}}={\frac {1}{2\sin {\frac {\theta }{2}}}}\approx {\frac {1}{2\theta /2}}={\frac {1}{\theta }}}$$

楕円の場合、細さの係数は場所によって異なります。例えば、短軸aと長軸bを持つ楕円を考えてみましょう。弦の長さは、楕円の短辺と長辺でそれぞれ の範囲になります。同様に、線分の高さは、短辺と長辺でそれぞれ の範囲になります。つまり、2つの球の細さは、以下の範囲になります。 ${\displaystyle 2a\sin {\tfrac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle 2b\sin {\tfrac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle b{\bigl (}1-\cos {\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle a{\bigl (}1-\cos {\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}}$ $${\displaystyle {\frac {2a\sin {\frac {\theta }{2}}}{b\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {8a}{b\theta }}}$$

そして： $${\displaystyle {\frac {2b\sin {\frac {\theta }{2}}}{a\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {8b}{a\theta }}}$$

一般に、セカントが角度Θから始まる場合、スリムネス係数は次のように近似できる：^[7]

${\displaystyle {\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}}{\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\cos ^{2}(\Theta +{\frac {\theta }{2}})+{\frac {a}{b}}\sin ^{2}(\Theta +{\frac {\theta }{2}})\right)}$

凸多角形の太さ

凸多角形は、各辺のペア（必ずしも隣接している必要はない）間の角度が少なくともrである場合に、 r分離されていると呼ばれます。

補題： r分離凸多角形の包接球面スリム性は最大でである。^{[8] : 7–8} ${\displaystyle O(1/r)}$

次の場合、凸多角形はk、r分離と呼ばれます。

1. 水平方向の 2 つのエッジと垂直方向の 2 つのエッジを除いて、平行なエッジはありません。
2. 軸に平行でない各エッジは、他のエッジおよびx軸とy軸に対して少なくともrの角度を形成します。
3. 水平方向のエッジが 2 つある場合、直径/高さは最大でkになります。
4. 垂直な辺が 2 つある場合、直径/幅は最大でkになります。

補題： k、r分離凸多角形の包接球スリム性は最大で である。^[9]は上限を に改善する。 ${\displaystyle O(\max(k,1/r))}$ ${\displaystyle O(d)}$

太い物体を数える

オブジェクトo の直径が2 aである場合、oを囲むすべてのボールは、半径が少なくともaで、体積が少なくとも である必要があります。したがって、囲むボールの太さの定義により、直径2 aのR太いオブジェクトの体積は少なくとも である必要があります。したがって、 ${\displaystyle V_{d}a^{.}}$ ${\displaystyle {\tfrac {V_{d}a^{d}}{R^{d}}}.}$

補題1：R ≥ 1およびC ≥ 0を2つの定数とする。重なり合わないd次元オブジェクトの集合を考え、それらはすべて大域的にR太い（すなわち、包囲球の細さ ≤ R ）とする。半径C⋅aの球に含まれる、直径が少なくとも2 aであるこのようなオブジェクトの数は、最大で以下の通りである。

$${\displaystyle V_{d}\cdot {\frac {(Ca)^{d}}{V_{d}\cdot {\frac {a^{d}}{R^{d}}}}}=(RC)^{d}}$$

たとえば（d = 2、R = 1、C = 3とすると）：半径3の円に含まれる、半径が少なくとも1である重なり合わない円の数は、最大で3 ² = 9です。（実際には最大で7です）。

局所的肥満度ではなく大域的肥満度を考慮すると、より強い補題が得られる: ^[3]

補題2：R ≥ 1およびC ≥ 0を2つの定数とする。局所的にR太い（すなわち、局所的包囲球体細さ ≤ R）である、重複しないd次元オブジェクトの集合を考える。oを、その集合内の直径2 aの単一のオブジェクトとする。このとき、オブジェクトoから距離2 C⋅a以内にある、直径が2 aより大きいオブジェクトの集合内の数は、最大で以下の通りである。

$${\displaystyle (4R\cdot (C+1))^{d}}$$

たとえば ( d = 2、R = 1、C = 0とした場合): 与えられた単位円に接する、半径が 1 より大きい重なり合わない円の数は、最大で4 ² = 16です(この場合、上限が 5 であることは簡単に証明できるため、これは厳密な制限ではありません)。

一般化

肥満度の次の一般化は、^[2]によって2次元オブジェクトに対して研究されました。

三角形∆は、平面オブジェクトo ( 0 < β ≤ π/3 , 0 < δ < 1 )の( β , δ )三角形であり、 ∆ ⊆ oであり、 ∆の各角度が少なくともβであり、各辺の長さが少なくともδ ·直径( o )である場合に該当します。平面上のオブジェクトoが( β , δ )被覆されるとは、各点P ∈ oに対して、 Pを含むoの( β , δ )三角形∆が存在する場合に該当します。

凸オブジェクトの場合、2つの定義は等価である。つまり、oが定数αに対してα -太い場合、適切な定数βとδに対して( β , δ ) -被覆でもあり、その逆もまた成り立つ。しかし、非凸オブジェクトの場合、太いという定義は( β , δ ) -被覆であるという定義よりも一般的である。^[2]

アプリケーション

ファットオブジェクトはさまざまな問題で使用されます。たとえば、次のようになります。

• 動作計画- 障害物が太い物体である場合、障害物の中で移動するロボットの経路計画が容易になります。^[3]
• 公正なケーキカット- ケーキを分ける際に、切り分けるべき部分が大きな物体である場合、より困難になります。例えば、分割する「ケーキ」が土地である場合、このような要件はよく見られます。^[10]
• その他のアプリケーションについては、以下の参考資料をご覧ください。

参考文献

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