フィードバック線形化

フィードバック線形化は、非線形制御において非線形システムを制御するために用いられる一般的な戦略である。フィードバック線形化技術は、以下の形式の非線形制御システムに適用できる。

{\dot {x}}(t)=f(x(t))+\sum _{i=1}^{m}\,g_{i}(x(t))\,u_{i}(t)

^[1]

1

ここで、は状態、は入力である。このアプローチでは、変数の変更と適切な制御入力を用いて、非線形制御系を等価な線形制御系に変換する。特に、座標系におけるのダイナミクスが線形かつ制御可能な制御系の形をとるように、座標と制御入力の変更を求める。 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ $u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t)\in \mathbb {R}$ $z=\Phi (x)$ $u=a(x)+b(x)\,v,$ $x(t)$ $z(t)$

{\dot {z}}(t)=A\,z(t)+\sum _{i=1}^{m}b_{i}\,v(t).

^[2]

2

結果として得られる線形制御システムの外側のループ制御戦略を適用して、制御目標を達成できます。

SISOシステムのフィードバック線形化

ここでは、単入力単出力（SISO）システムのフィードバック線形化のケースを考えます。同様の結果は、多入力多出力（MIMO）システムにも拡張できます。この場合、およびとなります。目的は、システム(1)をいわゆる正規形に変換する座標変換を見つけることです。この変換によって、フィードバック則が次のように表されます。 $u\in \mathbb {R}$ $y\in \mathbb {R}$ $z=T(x)$

u=a(x)+b(x)v\,

^[3]

3

これにより、新しい入力から出力への線形入出力写像が描画されます。変換されたシステムが元のシステムと等価な表現となるためには、変換は微分同相写像でなければなりません。つまり、変換は可逆（すなわち、単射）であるだけでなく、変換とその逆変換の両方が滑らかでなければならず、元の座標系における微分可能性が新しい座標系でも維持される必要があります。実際には、変換は局所的に微分同相写像となる場合のみ可能であり、線形化の結果はこの狭い領域でのみ成立します。 $v\in \mathbb {R}$ $y$

この問題を解決するにはいくつかのツールが必要です。

リー微分

フィードバック線形化の目的は、出力とその一次導関数を状態とする変換されたシステムを生成することである。この対象システムの構造を理解するために、リー微分を用いる。連鎖律を用いて計算できる(2)の時間微分を考える。 $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {{\mathord {\operatorname {d} }}h(x)}{{\mathord {\operatorname {d} }}t}}&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x)+{\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x)u\end{aligned}}

ここで、リー微分を次のように定義できます。 $h(x)$ $f(x)$

L_{f}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x),

同様に、のリー微分は、 $h(x)$ $g(x)$

L_{g}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x).

この新しい表記法では、次のように表すことができます。 ${\dot {y}}$

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u

リー微分の表記は、同じベクトル場、あるいは異なるベクトル場に関して複数の微分を取るときに便利である。例えば、

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}f(x),

そして

L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}g(x).

相対的な度合い

出力の状態ベクトルとその一次導関数からなるフィードバック線形化システムにおいて、入力がどのようにシステムに入るかを理解する必要がある。そのために、相対次数の概念を導入する。(1)と(2)で与えられるシステムは、ある点において相対次数を持つとされる。 $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in \mathbb {W}$ $x_{0}$

L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x

近所の

x_{0}

k\leq r-2

L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0

出力の時間微分表現に照らして相対次数のこの定義を考慮すると、システム(1)と(2)の相対次数は、入力が明示的に現れる前に出力を微分しなければならない回数と考えることができます。LTIシステムでは、相対次数は伝達関数の分母多項式の次数（すなわち、極の数）と分子多項式の次数（すなわち、零点の数）の差です。 $y$ $y$ $u$

フィードバックによる線形化

以下の議論では、システムの相対次数がであると仮定します。この場合、出力時刻を微分すると、 $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}

ここで、はの階微分を表します。系の相対次数をと仮定したため、の形のリー微分はすべてゼロになります。つまり、入力はどの階微分にも直接寄与しません。 $y^{(n)}$ $n$ $y$ $n$ $L_{g}L_{f}^{i}h(x)$ $i=1,\dots ,n-2$ $u$ $(n-1)$

系を正規形にする座標変換は、1次微分から得られる。具体的には、 $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}

は、元の座標系から新しい座標系へ軌跡を変換します。この変換が微分同相写像である限り、元の座標系における滑らかな軌跡は、新しい座標系においても同様に滑らかな軌跡を一意に持ちます。これらの軌跡は、新しい座標系によって記述されます。 $x$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.

したがって、フィードバック制御法則

u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)

は、からへの線形入出力マップを描画します。結果として得られる線形化システム $v$ $z_{1}=y$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

は積分器のカスケードであり、標準的な線形システム手法を用いて外側のループ制御を選択することができる。特に、状態フィードバック制御則は $n$ $v$

v=-Kz\qquad ,

ここで状態ベクトルは出力とその1次導関数であり、LTIシステムの結果となる。 $z$ $y$ $(n-1)$

{\dot {z}}=Az

と、

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

したがって、を適切に選択することで、線形化システムの閉ループ極を任意に配置できます。 $K$

不安定なゼロダイナミクス

フィードバック線形化は、相対次数が未満のシステムで実現できます。ただし、システムの通常の形式には、不安定になる可能性のあるゼロダイナミクス（つまり、システムの出力から観測できない状態）が含まれます。実際には、不安定なダイナミクスはシステムに有害な影響を及ぼす可能性があります（例えば、システムの内部状態が無制限に増加することは危険です）。これらの観測できない状態は制御可能であるか、少なくとも安定している可能性があり、そのため、これらの状態が実際に問題を引き起こさないように対策を講じることができます。最小位相システムは、ゼロダイナミクスに関するいくつかの洞察を提供します。 $n$

MIMOシステムのフィードバック線形化

NDI は必ずしもこのタイプのシステムに限定されるわけではありませんが、以下に示すように、入力がアフィンである非線形 MIMO システムを考えてみましょう。 $\mathbf {\mathbf {u} }$

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}&=\mathbf {f} (\mathbf {x} )+G(\mathbf {x} )\mathbf {u} \\\mathbf {y} &=\mathbf {h} (\mathbf {x} )\end{aligned}}$

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入力の数と出力の数は同じであると仮定します。入力と出力があるとします。この場合、は行列であり、はその列を構成するベクトルです。さらに、とです。SISOの場合と同様の導出を用いると、式4のシステムは、式5に示すように、各番目の出力を分離することで分割できます。 $m$ $G=[\mathbf {g} _{1}\,\mathbf {g} _{2}\,\cdots \,\mathbf {g} _{m}]$ $n\times m$ $\mathbf {g} _{j}$ $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{m}$ $i$ $y_{i}$

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}&=\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\mathbf {g} _{1}(\mathbf {x} )u_{1}+\mathbf {g} _{2}(\mathbf {x} )u_{2}+\cdots +\mathbf {g} _{m}(\mathbf {x} )u_{m}\\y_{i}&=h_{i}(\mathbf {x} )\end{aligned}}$

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SISOと同様に、の階微分まではとなる。ここでは階出力の相対次数を表す。同様に、これは以下の式を与える。 $(r_{i}-1)$ $y_{i}$ $L_{g_{j}}h_{i}(\mathbf {x} )=0$ $r_{i}$ $i$

${\begin{aligned}y_{i}=&h_{i}(\mathbf {x} )\\{\dot {y}}_{i}=&L_{f}h_{i}(\mathbf {x} )\\{\ddot {y}}_{i}=&L_{f}^{2}h_{i}(\mathbf {x} )\\&\vdots \\y_{i}^{(r_{i})}=&L_{f}^{r_{i}}h_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{j=1}^{m}L_{g_{j}}L_{f}^{r_{i}-1}h_{i}(\mathbf {x} )u_{j}\\=&L_{f}^{r_{i}}h_{i}(\mathbf {x} )+{\begin{bmatrix}L_{g_{1}}L_{f}^{r_{i}-1}h_{i}&L_{g_{2}}L_{f}^{r_{i}-1}h_{i}&\cdots &L_{g_{m}}L_{f}^{r_{i}-1}h_{i}\end{bmatrix}}\mathbf {u} \end{aligned}}$

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これをSISOと同じように計算すると、仮想入力を次のように定義できることがわかる。 $v_{i}$

${\begin{aligned}v_{i}&=L_{f}^{r_{i}}h_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{j=1}^{m}L_{g_{j}}L_{f}^{r_{i}-1}h_{i}(\mathbf {x} )u_{j}\\&=b_{i}(\mathbf {x} )+{\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i1}&\cdots &a_{im}\end{bmatrix}}\mathbf {u} \end{aligned}}$

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は、この番目のシステムを線形化します。しかし、の場合、の値が与えられた状態では、明らかに解くことができません。しかし、すべての出力に対してこのような方程式を立てると、式7に示すような方程式が得られます。これらの方程式を組み合わせると、一般に、以下に示すように、入力について解くことができる行列方程式が得られます。 $i$ $m>1$ $\mathbf {u}$ $v_{i}$ $m$ $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}$ $m$ $\mathbf {u}$

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {b} +A\mathbf {u} \\A^{-1}(\mathbf {v} -\mathbf {b} )&=\mathbf {u} \end{aligned}}$

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参照

非線形制御

さらに読む

A. Isidori,非線形制御システム、第 3 版、Springer Verlag、ロンドン、1995 年。
HK Khalil 著『非線形システム』第 3 版、Prentice Hall、アッパーサドルリバー、ニュージャージー、2002 年。
M. Vidyasagar,非線形システム解析、第 2 版、Prentice Hall、Englewood Cliffs、ニュージャージー、1993 年。
B. Friedland、「Advanced Control System Design」、ファクシミリ版、Prentice Hall、アッパーサドルリバー、ニュージャージー、1996 年。

参考文献

^ イシドリ、アルベルト (1995).非線形制御システム(第 3 版)。シュプリンガー・フェルラーグ・ロンドン。 p. 5.ISBN 978-1-4471-3909-6。
^ H. Nijmeijer および A. van der シャフト、非線形動的制御システム、Springer-Verlag、p. 163、2016年。
^ イシドリ、アルベルト (1995).非線形制御システム(第 3 版)。シュプリンガー・フェルラーグ・ロンドン。 p. 147.ISBN 978-1-4471-3909-6。

外部リンク

Fabio Celani、Alberto Isidori編 (2009). 「フィードバック線形化」. Scholarpedia . 2022年12月31日閲覧。
ECE 758: シングルリンクフレキシブルジョイントマニピュレータのモデリングと非線形制御 - フィードバック線形化の説明と応用を示します。
ECE 758: ボールインチューブ線形化の例 – すでに通常の形式になっているシステムに対する線形化の簡単な適用 (つまり、座標変換は不要)。
フィードバック線形化、相対次数の計算、ゼロダイナミクスの決定を行うWolfram 言語関数。

[1] イシドリ、アルベルト (1995).非線形制御システム(第 3 版)。シュプリンガー・フェルラーグ・ロンドン。 p. 5.ISBN 978-1-4471-3909-6。

[2] H. Nijmeijer および A. van der シャフト、非線形動的制御システム、Springer-Verlag、p. 163、2016年。

[3] イシドリ、アルベルト (1995).非線形制御システム(第 3 版)。シュプリンガー・フェルラーグ・ロンドン。 p. 147.ISBN 978-1-4471-3909-6。