パッペシーケンス

数学において、プッペ列はホモトピー理論の構成法の一つであり、ディーター・プッペにちなんで名付けられました。プッペ列には2つの形式があります。写像ファイバー（ファイバー化）から構築される長完全列と、写像錐（コファイバー化）から構築される長共完全列です。^{[1]直感的に、プッペ列は}ホモロジー理論を、空間を群の長完全列に変換する関手と考えることを可能にします。また、相対ホモトピー群の長完全列を構築するためのツールとしても有用です。

正確なPuppeシーケンス

尖った空間と尖った写像の列は、あらゆる尖った空間に対して、誘導された列が尖った集合の列（写像の核を基底点に写像された要素とする）として正確である場合に、正確と呼ばれます。 $${\displaystyle \dots \to X_{n+1}\to X_{n}\to X_{n-1}\to \dots }$$ $${\displaystyle \dots \to [Z,X_{n+1}]\to [Z,X_{n}]\to [Z,X_{n-1}]\to \dots }$$ ${\displaystyle Z}$

を尖端空間間の連続写像とし、を写像繊維（写像円錐のファイバ双対）とする。すると、以下の完全列が得られる。 ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ ${\displaystyle Mf}$

${\displaystyle Mf\to X\to Y}$

ここでマッピングファイバーは次のように定義される: ^[1]

${\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\}}$

ループ空間は 写像ファイバーに注入されることに注意してください。これは、ベースポイント で始まり、ベースポイント で終わる写像から構成されます。すると、上記のシーケンスがより長いシーケンスに拡張されることがわかります。 ${\displaystyle \Omega Y}$ ${\displaystyle \Omega Y\to Mf}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

この構築は、正確なPuppeシーケンスを得るために反復される。

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

ジョセフ・J・ロットマンが説明しているように、実際の応用では正確なシーケンスの方が共正確なシーケンスよりも便利な場合が多い。 ^[1]

（共完全列の）さまざまな構成には、部分空間ではなく商空間が関係しており、そのため、すべての写像とホモトピーは、明確に定義され連続していることを保証するために、より綿密に調べる必要があります。

例

例: 相対ホモトピー

特別な場合として、^[1] X を基点y _0を含むYの部分空間Aとし、f​​ をAのYへの包含とすることができる。すると、尖端空間のカテゴリにおいて正確な列が得られる。 ${\displaystyle i:A\hookrightarrow Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \left[S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}$

ここで、はホモトピー群、は零球面（すなわち2点）、 はUからWへの写像のホモトピー同値を表す。であることに注意。すると、 ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle [U,W]}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)}$

${\displaystyle \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]=\left[S^{n},Mi\right]=\pi _{n}(Mi)}$

は相対ホモトピー群と一対一の関係にあり、したがって、ペアの相対ホモトピー列が生じる。 ${\displaystyle \pi _{n+1}(Y,A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}$

オブジェクトは の群であり、 のアーベル群です。 ${\displaystyle \pi _{n}(Y,A)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

例: 繊維化

特別な場合として、^[1]ではfをファイバ化 とすることができる。すると写像ファイバMpはホモトピーリフティング特性を持ち、Mpとファイバは同じホモトピー型を持つ。球面からMpへの写像は球面からFへの写像とホモトピー的であることが自明である。すなわち、 ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle \pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp\right]\simeq \left[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F).}$

このことから、プッペ列はファイバのホモトピー列を与える。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}}$

例: 弱ファイブレーション

弱ファイブレーションはファイブレーションよりも厳密に弱いが、証明は変更する必要があるものの、上記の主要な結果は依然として成り立つ。ジャン＝ピエール・セールによる重要な観察は、弱ファイブレーションと、基点におけるファイバーがで与えられると、一対一の関係が存在するという ことである。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{n}(E,F)\to \pi _{n}(B,b_{0})}$。

この一対一表現は、上記の相対ホモトピー列で使用して、接続写像は異なるものの、ファイブレーション列と同じ形式を持つ弱ファイブレーションのホモ​​トピー列を取得することができます。

正確なパッペ列

をCW 複体間の連続写像とし、をfの写像円錐(つまり写像fのコファイバー) とすると、次の (コファイバー) シーケンスが得られます。 ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle C(f)}$

${\displaystyle A\to B\to C(f)}$。

ここで、それぞれAとBのサスペンションとサスペンションを形成でき、さらに(サスペンションは関数とみなせるため)、シーケンスを取得できます。 ${\displaystyle \Sigma A}$ ${\displaystyle \Sigma B,}$ ${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B}$

${\displaystyle \Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)}$。

懸濁液は共繊維配列を保存することに注意してください。

この強力な事実により、ホモトピーは次と等しいことがわかります。点に縮小すると、自然な写像が得られます。したがって、次のシーケンスが得られます。 ${\displaystyle C(\Sigma f)}$ ${\displaystyle \Sigma C(f).}$ ${\displaystyle B\subset C(f)}$ ${\displaystyle C(f)\to \Sigma A.}$

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).}$

この構築を繰り返すと、 に関連付けられた Puppe シーケンスが得られます。 ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots }$

いくつかの特性と結果

Puppe 列の 3 つの要素は、ホモトピーを除けば次の形式であることが、位相幾何学の簡単な演習でわかります。

${\displaystyle X\to Y\to C(f)}$。

ここで「ホモトピーまで」とは、ホモトピーカテゴリのオブジェクトとモルフィズムとして見なした場合、Puppe シーケンスの 3 つの要素すべてが上記の形式になることを意味します。

ここで、位相的な半正確関数 が与えられている場合、上記の性質は、 に関連付けられた Puppe シーケンス上で問題の関数を操作した後、長正確シーケンスを取得することを意味します。 ${\displaystyle A\to B}$

ジョン・ミルナー^[2]による結果は、ホモロジー理論のアイレンバーグ・スティーンロッド公理を採用し、除去をペアの弱いファイブレーションの正確なシーケンスで置き換えると、アイレンバーグ・スティーンロッド定理のホモトピーアナロジーが得られるということです。つまり、位相空間のすべての尖ったペアのカテゴリPを持つ関数の一意のシーケンスが存在するということです。 ${\displaystyle \pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}}$

備考

サスペンションには、非縮約と縮約の2 つの「種類」があるため、非縮約 Puppe シーケンスと縮約 Puppe シーケンスも考えることができます (少なくとも、縮約サスペンションを形成できる尖った空間を扱う場合)。

参考文献

1. ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』（1988年）シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-96678-1 (構築については第 11 章を参照してください。)
2. ジョン・ミルナー「ユニバーサルバンドルの構築I」（1956年）Annals of Mathematics、63頁272-284頁。

• エドウィン・スパニアー『代数的位相幾何学』 Springer-Verlag (1982)再版、McGraw Hill (1966)

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