繊維（数学）

数学において、関数の元となるファイバー（アメリカ英語）またはファイバー（イギリス英語）は、単集合の逆像である^[1]^：p.69、つまり $y$ $f$ $\{y\}$

f^{-1}(y)=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}.

特性と用途

初等集合論では

とがそれぞれの定義域と像である場合、のファイバーはの集合である。 $X$ $Y$ $f$ $f$

\left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}

これは定義域集合の分割である。上で定義された集合が分割となるためにはがに写像される必要があることに注意されたい。そうでなければ、空集合が要素の一つとして含まれてしまう。要素を含むファイバーは集合である。 $X$ $f$ $X$ $Y$ $x\in X$ $f^{-1}(f(x)).$

例えば、点をに送る関数をとします。5 のファイバーは、方程式を満たす直線上のすべての点です。のファイバーは、その直線と、平面の分割を形成するそれに平行なすべての直線です。 $f$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $(a,b)$ $a+b$ $f$ $a+b=5$ $f$ $\mathbb {R} ^{2}$

より一般的には、がある線形ベクトル空間から他の線形空間への線形写像である場合、のファイバーはのアフィン部分空間であり、それらはすべてのヌル空間の変換されたコピーです。 $f$ $X$ $Y$ $f$ $X$ $f$

が複数の実変数の実数値関数である場合、関数のファイバーはの準位集合である。も連続関数であり、が準位集合の像である場合、は典型的には2次元では曲線、3次元では曲面、より一般的にはの領域では超曲面となる。 $f$ $f$ $f$ $y\in \mathbb {R}$ $f,$ $f^{-1}(y)$ $f.$

のファイバーは、の場合に限りとなる、ドメイン上で定義された同値関係の同値類です。 $f$ $\equiv_{f}$ $X$ $x'\equiv _{f}x''$ $f(x')=f(x'')$

位相幾何学において

点集合位相では、一般に位相空間から位相空間への関数を考慮します。

が連続関数であり、（またはより一般的には、像集合）がT ₁ 空間である場合、すべてのファイバーはの閉部分集合です。特に、がからへの局所同相写像である場合、の各ファイバーはの離散部分空間です。 $f$ $Y$ $f(X)$ $X.$ $f$ $X$ $Y$ $f$ $X$

位相空間間の関数は単調とは、すべてのファイバーが連結部分空間。関数がこの位相的な意味で単調であるためには、関数が非増加または非減少で実解析単調関数」の通常の意味である。 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

位相空間間の関数は、すべてのファイバーがその定義域のコンパクト部分空間であるとき、（時には）真写像と呼ばれる。しかし、多くの著者は「真写像」について、等価ではない競合する定義を用いるため、特定の著者がこの用語をどのように定義しているかを常に確認することが推奨される。すべてのファイバーがコンパクトである連続閉射影関数は、完全写像と呼ばれる。

ファイバー束は位相空間間の関数であり、そのファイバーはそれらの空間の位相に関連した特定の特殊な特性を持ちます。 $f$ $X$ $Y$

代数幾何学では

代数幾何学において、がスキームの射であるとき、の点のファイバーはスキームのファイバー積であり、はにおける留数体である。 $f:X\to Y$ $p$ $Y$ $X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)$ $k(p)$ $p.$

参照

参考文献

^ Lee, John M. (2011). 位相多様体入門（第2版）. Springer Verlag . ISBN 978-1-4419-7940-7。

[leem2011-1] Lee, John M. (2011). 位相多様体入門（第2版）. Springer Verlag . ISBN 978-1-4419-7940-7。