量子状態の忠実度

Term in quantum mechanics

量子力学、特に量子情報理論において、忠実度は2つの密度行列間の「近さ」を定量化する。これは、一方の状態が他方の状態と同一視するためのテストに合格する確率を表す。これは密度行列の空間上の計量ではないが、この空間上のビュール計量を定義するために使用できる。

意味

2つの量子状態と密度行列で表される忠実度は、一般的に次のように定義されます。^{[1] [2]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$

この式の平方根は、 とがともに半正定値行列であり、半正定値行列の平方根はスペクトル定理によって定義されているため、明確に定義されます。古典的な定義におけるユークリッド内積は、ヒルベルト・シュミット内積に置き換えられます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$

以下のセクションで説明するように、この式は様々な興味深いケースにおいて簡略化できます。特に、純粋状態 および の場合、次の式は次のようになります。これは、純粋状態間の忠実度は、 を含む基底で測定した場合に状態が見つかる確率という観点から単純に解釈できることを示しています。 ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ ${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$

一部の著者は別の定義を用いて、この量を忠実度と呼んでいます。^[2]しかし、より一般的な定義は です。 ^{[3] [4] [5]}混乱を避けるために、「平方根忠実度」と呼ぶこともできます。いずれにせよ、忠実度を用いる場合は、採用した定義を明確にすることをお勧めします。 ${\displaystyle F':={\sqrt {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$

古典的対応物からの動機

値（カテゴリカルランダム変数）と確率を持つ2つのランダム変数が 与えられた場合、との忠実度は次の量と定義される。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (1,...,n)}$ ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle F(X,Y)=\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)^{2}}$。

忠実度は確率変数の周辺分布を扱います。これらの変数の結合分布については何も言及していません。言い換えれば、忠実度はユークリッド空間におけるベクトルとして見たとの内積の2乗です。が成り立つ場合、かつ の場合に限ることに留意してください。一般に となります。この尺度はバタチャリヤ係数として知られています。 ${\displaystyle F(X,Y)}$ ${\displaystyle ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})}$ ${\displaystyle ({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})}$ ${\displaystyle F(X,Y)=1}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle 0\leq F(X,Y)\leq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$

2 つの確率分布の区別可能性の古典的な尺度が与えられれば、2 つの量子状態 の区別可能性の尺度を次のように動機付けることができます。実験者が量子状態が 2 つの可能性のどちらかであるか、または であるかを決定しようとしている場合、状態に対して実行できる最も一般的な測定はPOVMであり、これは一連のエルミート正半正定値演算子によって記述されます。この POVM を使用して状態を測定すると、 - 番目の結果が確率 で見つかり、の確率も同様に で見つかります。とを区別する能力は、古典的な確率分布とを区別する能力と同等です。すると自然な疑問として、2 つの分布を可能な限り区別できるようにする POVM は何か、つまりこの文脈では POVM の可能な選択肢にわたって Bhattacharyya 係数を最小化することについて尋ねることになります。正式には、量子状態間の忠実度を次のように定義します。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$ ${\displaystyle q_{i}=\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{F_{i}\}}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}}\left(\sum _{i}{\sqrt {\operatorname {tr} (\rho F_{i})\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}}\right)^{2}.}$

^{フックスとケイブス[6]}は、この式の最小化は明示的に計算できることを示しており、解は の固有基底で測定することに対応する射影POVMであり、忠実度の共通の明示的表現は次のように得られる。 ${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$$

同等の表現

トレースノルムによる等価表現

トレースノルムを介した任意の状態間の忠実度の同等の表現は次のようになります。

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},}$

ここで、演算子の絶対値は と定義されます。 ${\displaystyle |A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}}$

特性多項式による等価表現

行列のトレースはその固有値の合計に等しいので

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},}$

ここで、は の固有値であり、 は構成上半正定値であるため、固有値の平方根は明確に定義される。2つの行列の積の特性多項式は次数に依存しないため、行列積のスペクトルは巡回置換に対して不変であり、したがってこれらの固有値は から計算することができる。^{[7] [8]}トレース特性を逆にすると、 ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}}$。

純粋状態の表現

2つの状態のうち少なくとも1つが純粋である場合、例えば の場合、忠実度は に単純化されます。これは、が純粋である場合に となり、したがって となることを観察することによって得られます。 ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}=\rho }$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

両方の状態が純粋で、 の場合、さらに単純な式が得られます。 ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$ ${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

プロパティ

量子状態の忠実度の重要な特性のいくつかは次のとおりです。

• 対称性。 ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )}$
• 有界値。任意のおよび、、 に対して。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0\leq F(\rho ,\sigma )\leq 1}$ ${\displaystyle F(\rho ,\rho )=1}$
• 確率分布間の忠実性に関する一貫性。と が可換な場合、定義は に簡略化されます。ここで はそれぞれ の固有値です。これを理解するには、 の場合、 は同じ基底 で対角化できることを思い出してください。つまり、 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$ ${\displaystyle p_{k},q_{k}}$ ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=0}$ $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|{\text{ and }}\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|,}$$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}|k\rangle \!\langle k|\right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.}$
• 量子ビットの明示的な表現。

とが両方とも量子ビット状態である場合、忠実度は次のように計算できる^{[1] [9]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )+2{\sqrt {\det(\rho )\det(\sigma )}}.}$

量子ビット状態とは、 と が2次元行列で表されることを意味します。この結果は、 が半正定値演算子であることに着目すれば導き出されます。したがって、と はの（非負）固有値です。 （または）が純粋である場合、この結果はさらに簡略化され、純粋状態については となるため、となります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle M={\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {M}}={\sqrt {\lambda _{1}}}+{\sqrt {\lambda _{2}}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )}$ ${\displaystyle \mathrm {Det} (\rho )=0}$

ユニタリー不変性

直接計算により、ユニタリー進化によって忠実度が保存されることが示されており、すなわち

${\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

任意のユニタリ演算子 に対して。 ${\displaystyle U}$

対応する確率分布間の忠実度との関係

を任意の正の作用素値測度（POVM），すなわちを満たす半正定値作用素の集合とします。すると， と の任意の状態対に対して，が成り立ちます 。ここで，最後のステップでは を と表し， をPOVM で測定して得られた確率分布としました。 ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},}$$ ${\displaystyle p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )}$ ${\displaystyle q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}$ ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$

これは、2つの量子状態間の忠実度の平方根が、任意の可能なPOVMにおける対応する確率分布間のバッタチャリヤ係数によって上限が定められることを示しています。実際、より一般的には、の場合には となり、すべての可能なPOVMにおいて最小値が達成されます。より具体的には、演算子 の固有基底における測定に対応する射影POVMによって最小値が達成されることを証明できます。^[10] $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$ ${\displaystyle F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$

不等式の証明

前述のように、忠実度の平方根は次のように書け、これは次のようなユニタリ演算子の存在と等価である。 ${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|,}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U).}$$はどの POVM でも成り立つことを覚えておけば、最後のステップでコーシー・シュワルツの不等式を のように使用したところでと書くことができます。 ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$ $${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}E_{k}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {\sigma }}U)\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}},}$$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)|^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)}$

量子演算における動作

2つの状態間の忠実度は、非選択的な量子操作を 状態に適用した場合、決して低下しないことが示されます。^[11]トレース保存完全正写像の場合。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ $${\displaystyle F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

トレース距離との関係

2つの行列AとBの間のトレース距離はトレースノルムを用いて次の ように定義できる。

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.}$

AとBが両方とも密度演算子である場合、これは統計距離の量子一般化である。これは、トレース距離がフックス・ファン・デ・グラーフ不等式^[12]によって定量化された忠実度の上限と下限を与えるため、重要である。

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

多くの場合、トレース距離は忠実度よりも計算や境界設定が容易なので、これらの関係は非常に有用です。状態の少なくとも1つが純粋状態Ψである場合、下限値はより厳しく設定できます。

${\displaystyle 1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.}$

ウルマンの定理

二つの純粋状態について、それらの忠実度は重なりと一致することを見てきました。ウルマンの定理^[13]は、この主張を混合状態にも一般化し、その純粋度について考察しています。

定理ρ と σ をC ⁿに作用する密度行列とする。ρ ^{1 ⁄ 2}を ρ の唯一の正の平方根とし、

$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}(\rho ^{{1}/{2}}|e_{i}\rangle )\otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$$

ρ の精製（したがって直交基底）であれば、次の等式が成り立ちます。 ${\displaystyle \textstyle \{|e_{i}\rangle \}}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}}$

ここで、σ の精製度です。したがって、一般的に、忠実度は精製度間の最大の重なり合いとなります。 ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$

証明のスケッチ

簡単な証明は次のように概略できる。ベクトルを ${\displaystyle \textstyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

σ ^{1 ⁄ 2}をσの唯一の正の平方根とする。平方根分解におけるユニタリ自由度と直交基底の選択により、σの任意の純化は次の形になること がわかる。

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

ここで、V _iはユニタリ演算子である。ここで直接計算する。

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.}$

しかし一般に、任意の正方行列Aとユニタリ行列Uに対して、|tr( AU )| ≤ tr(( A ^* A ) ^{1 ⁄ 2} )が成り立ちます。さらに、 U ^*がAの極分解におけるユニタリ演算子である場合、この等式が成立します。このことから、ウルマンの定理が直接導かれます。

明示的分解による証明

ここでは、ウルマンの定理を証明する別の明示的な方法を紹介します。

とをそれぞれとの精製物とします。まず、 であることを示します。 ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$

状態の精製の一般的な形は以下のとおりです。は の固有ベクトル、は任意の直交基底です。精製間の重なりは で、ユニタリ行列はとして定義されます。不等式 を用いて結論に達します。この不等式は、行列の特異値に適用された三角不等式であることに注意してください。実際、一般的な行列とユニタリの場合、 が成り立ちます。 は、特異値分解の場合と同様に、の（常に実数かつ非負の）特異値です。この不等式は飽和し、 のとき、つまり のとき、つまり のとき、等式になります。上記は、精製と がとなるような場合、 となることを示しています。この選択は状態に関わらず可能であるため、最終的に と結論付けることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle |\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$ ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$ $${\displaystyle \langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),}$$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).}$$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|}$ $${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.}$$ ${\displaystyle A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|}$ ${\displaystyle U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle w_{j}|a_{j}\rangle =1}$ ${\displaystyle U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,}$ ${\displaystyle AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|}$ ${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$ ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.}$$

結果

ウルマンの定理から得られる直接的な帰結としては、

• 忠実度は引数に関して対称的であり、すなわちF (ρ,σ) = F (σ,ρ) である。これは元の定義からは明らかではないことに注意されたい。
• コーシー・シュワルツの不等式により、 F (ρ,σ)は[0,1]にあります。
• _{Ψ ρ} = Ψ _σは ρ = σ を意味するため、ρ = σ の場合に限り、F (ρ,σ) = 1 となります。

このように、忠実度はほぼ指標のように振舞うことがわかります。これは次のように定義することで定式化され、有用になります。

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

状態との間の角度として。上記の性質から、 は非負で、入力に対して対称であり、 の場合にのみゼロとなる。さらに、三角不等式^[2]に従うことが証明されているため、この角度は状態空間上の計量、すなわちフビニ・スタディ計量となる。^[14] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$ ${\displaystyle \rho =\sigma }$

参考文献

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• クォンティキ：フィデリティ

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