Integral transform in mathematics
ラドン変換。 ( x , y )領域 の fを ( α , s )領域の Rf に写像する。 数学 において 、 ラドン変換は 、平面上で定義された 関数 f を 平面内の（2次元）直線空間上で定義された関数 Rfに変換する 積分変換 であり、特定の直線におけるその値は、その直線上の 関数の線積分に等しくなります。この変換は1917年に ヨハン・ラドン によって導入され 、 彼は逆変換の式も提供しました。ラドンはさらに、積分が平面上で行われる 3次元 の変換の式を含めました（直線上の積分は、 X線変換 として知られています）。これは後に、より高次元の ユークリッド空間に一般化され、より広く 積分幾何学 の文脈で一般化されました 。ラドン変換の 複雑な類似物は、 ペンローズ変換 として知られています。ラドン変換は 、オブジェクトの断面スキャンに関連する投影データから画像を作成する トモグラフィー に広く適用できます。
説明 下の図に示す2つの正方形の 指標関数 のラドン変換。明るい領域は関数値が大きいことを示し、黒はゼロを示します。 元の関数は、白い領域では 1、暗い領域では 0 になります。 関数が 未知の密度を表す場合、ラドン変換は断層撮影スキャンの出力として得られた投影データを表します。ラドン変換の逆変換は、投影データから元の密度を再構成するために使用することができ、これは 反復再構成 とも呼ばれる 断層撮影再構成 の数学的基盤となります。 f {\displaystyle f}
ラドン変換データは、中心から外れた点光源のラドン変換が正弦波となることから、しばしば サイノグラム と呼ばれます。したがって、多数の小さな物体のラドン変換は、振幅と位相が異なる複数のぼやけた 正弦波 としてグラフィカルに表示されます。
ラドン変換は、 コンピュータ断層撮影 (CAT スキャン)、 バーコード スキャナー、 ウイルス や タンパク質複合体 などの 高分子集合体 の 電子顕微鏡検査 、 反射地震学、および双曲型偏 微分方程式 の解法に役立ちます 。
形状を横切る投影は、累積信号（中央のバー）を生成します。右側のサイノグラムは、形状が回転するにつれて、このような投影を多数収集することで生成されます。ここでは、どの物体が信号のどの部分を生成しているかを色で示しています。直線状の特徴が投影方向と一致すると、信号が強くなることに注意してください。 異なる角度からの観測データを用いたラドン変換による再構成の例。投影データに逆変換を適用することで、スライス画像を再構成します。 [2]
意味 3つの正則条件を満たす関数を考える: [ f ( x ) = f ( x , y ) {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}
f ( x ) {\displaystyle f({\textbf {x}})} 連続している。 平面全体に広がる 二重積分は収束する。 ∬ | f ( x ) | x 2 + y 2 d x d y {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} 平面上の 任意の点に対して、 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} lim r → ∞ ∫ 0 2 π f ( x + r cos φ , y + r sin φ ) d φ = 0. {\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.} ラドン変換 は 、直線空間上で 各直線に沿った 線積分 によって定義される関数です。具体的には、 弧の長さに関する 任意の直線の媒介変数化は、 常に次のように表すことができます。 ここで、 は 原点から まで の距離、 は への法線ベクトルが -軸 となす 角度です 。したがって、これらの量は 内のすべての直線の空間上の座標と見なすことができ 、ラドン変換はこれらの座標で次のように表すことができます。 より一般的には、 次元 ユークリッド空間 において、正則性条件を満たす関数のラドン変換は 内の すべての 超平面 の空間上の 関数です 。これは次のように定義されます。 R f {\displaystyle Rf} L ⊂ R 2 {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} R f ( L ) = ∫ L f ( x ) | d x | . {\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .} L {\displaystyle L} z {\displaystyle z} ( x ( z ) , y ( z ) ) = ( ( z sin α + s cos α ) , ( − z cos α + s sin α ) ) {\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,} s {\displaystyle s} L {\displaystyle L} α {\displaystyle \alpha } L {\displaystyle L} X {\displaystyle X} ( α , s ) {\displaystyle (\alpha ,s)} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R f ( α , s ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ( z ) , y ( z ) ) d z = ∫ − ∞ ∞ f ( ( z sin α + s cos α ) , ( − z cos α + s sin α ) ) d z . {\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}} n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f {\displaystyle f} R f {\displaystyle Rf} Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R f ( ξ ) = ∫ ξ f ( x ) d σ ( x ) , ∀ ξ ∈ Σ n {\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}} ここで、積分は自然な超曲面 測度 に関して取られます （次元の場合 の項 を一般化 ）。 の任意の要素は 、 方程式 の解の軌跡として特徴付けられることに注目してください。ここで、 は 単位ベクトル 、 です 。したがって、 次元ラドン変換は、次式によって 上の関数として書き直すことができます 。 の 次元アフィン部分空間 上で代わりに積分することで、ラドン変換をさらに一般化することもできます 。X 線変換は 、この構成の最も広く使用されている特殊なケースであり、直線上で積分することで得られます。 d σ {\displaystyle d\sigma } | d x | {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } 2 {\displaystyle 2} Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} x ⋅ α = s {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s} α ∈ S n − 1 {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } n {\displaystyle n} S n − 1 × R {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} } R f ( α , s ) = ∫ x ⋅ α = s f ( x ) d σ ( x ) . {\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).} k {\displaystyle k} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2 つのフーリエ変換を使用して 2 次元ラドン変換を計算します。 ラドン変換は フーリエ変換と密接に関連しています。ここで 一変数 フーリエ変換を次のように 定義します。 - ベクトル の関数に対して 、一変数フーリエ変換は次のようになります。 便宜上、 と表記します 。 フーリエスライス定理は 次のように示します。 ここで f ^ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ω d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.} 2 {\displaystyle 2} x = ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)} f ^ ( w ) = ∬ R 2 f ( x ) e − 2 π i x ⋅ w d x d y . {\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.} R α [ f ] ( s ) = R [ f ] ( α , s ) {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} R α [ f ] ^ ( σ ) = f ^ ( σ n ( α ) ) {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))} n ( α ) = ( cos α , sin α ) . {\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}
したがって、傾斜角 の直線に沿った初期関数の2次元フーリエ変換は、その関数の ラドン変換（角度 で得られる）の1変数フーリエ変換である 。この事実は、ラドン変換とその逆変換の両方を計算するために利用できる。結果は n 次元に一般化できる。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } f ^ ( r α ) = ∫ R R f ( α , s ) e − 2 π i s r d s . {\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}
双対ラドン変換は、ラドン変換の一種の 随伴関数 です。空間 上の 関数 g から始めて、双対ラドン変換は R n 上の関数で、 次のように定義されます。 ここでの積分は、点 に接するすべての超平面の集合上で行われ 、測度 は、 点 の周りの回転に対して不変な 集合 上の唯一の 確率測度 です 。 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} R ∗ g {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} R ∗ g ( x ) = ∫ x ∈ ξ g ( ξ ) d μ ( ξ ) . {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).} x ∈ R n {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} d μ {\displaystyle d\mu } { ξ | x ∈ ξ } {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} x {\displaystyle \mathbf {x} }
具体的には、2次元ラドン変換の場合、デュアル変換は次のように表されます。 画像処理の文脈では、デュアル変換は平面内の各線で定義された関数を取り、それを線の上に「スミア」または投影して画像を生成するため、一般に バックプロジェクション と呼ばれます。 R ∗ g ( x ) = 1 2 π ∫ α = 0 2 π g ( α , n ( α ) ⋅ x ) d α . {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}
絡み合う性質 で定義される ラプラシアンを と表記 する 。 これは自然な回転不変な2階 微分演算子 である。 では 、「ラジアル」2階微分 も回転不変である。ラドン変換とその双対は、 これらの2つの微分演算子にとって、以下の意味で 絡み合う演算子である。 波動方程式 の解を 多次元空間で解析する際に、この絡み合う性質からラックスとフィリップスの並進表現が得られる。 [6]画像解析 [7] や数値解析 [8] において、 これは次元分割法として、多次元問題を1次元問題に縮約するために利用される。 Δ {\displaystyle \Delta } R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Δ = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 {\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}} Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} L f ( α , s ) ≡ ∂ 2 ∂ s 2 f ( α , s ) {\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)} R ( Δ f ) = L ( R f ) , R ∗ ( L g ) = Δ ( R ∗ g ) . {\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}
復興のアプローチ 再構成 のプロセスは、投影データから 画像（または 前節の関数）を生成する。 再構成は 逆問題 である 。 f {\displaystyle f}
2次元の場合、 ラドン変換から回復するために最も一般的に使用される解析式は、 フィルタ逆投影式 または ラドン反転式 [9] です。 ここで 、はとなる式です 。 [9] 畳み込みカーネルは 、一部の文献ではランプフィルタと呼ばれています。 f {\displaystyle f} f ( x ) = ∫ 0 π ( R f ( ⋅ , θ ) ∗ h ) ( ⟨ x , n θ ⟩ ) d θ {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta } h {\displaystyle h} h ^ ( k ) = | k | {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} h {\displaystyle h}
不適切さ フィルタ逆投影の 公式において 、微分（ ）との類推から、直感的に 、フィルタは導関数と同様の演算を実行することがわかります。つまり、大まかに言えば、フィルタはオブジェクトを より 特異にします。ラドン逆変換の不適切性を定量的に記述すると、次のようになります。 ここで 、 はラドン変換の以前に定義された随伴関数です。したがって 、については、次の式が成り立ちます。したがって、 複素指数関数は、 固有値 を持つ の固有関数です 。したがって、 の特異値は です 。これらの特異値は に近づくため 、 は有界ではありません。 [9] ( d d x f ^ ) ( k ) = i k f ^ ( k ) {\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)} R ∗ R [ g ] ^ ( k ) = 1 ‖ k ‖ g ^ ( k ) {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )} R ∗ {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}} g ( x ) = e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} R ∗ R [ g ] ( x ) = 1 ‖ k 0 ‖ e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} R ∗ R {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}} 1 ‖ k 0 ‖ {\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 1 ‖ k ‖ {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}} 0 {\displaystyle 0} R − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}
反復再構成法 フィルタ逆投影 法と比較して 、反復再構成法は計算時間が長く、実用化が制限されています。しかし、ラドン逆投影法の不適切性のため、 フィルタ逆投影 法は不連続性やノイズが存在する場合には実行不可能となる可能性があります。反復再構成法（ 例えば、 反復スパース漸近最小分散法 [10] ）は、再構成結果における金属アーチファクトの低減、ノイズの低減、線量低減を実現する可能性があり、世界中で多くの研究の関心を集めています。
ラドン変換とそのデュアルに対して、明示的かつ計算効率の高い逆変換式が利用可能です。 次元のラドン変換は、 次式で逆変換できます。 ここで 、ラプラシアンのべき乗は、 必要に応じて フーリエ変換によって 擬似微分演算子 として定義されます 。 計算上、ラプラシアンのべき乗はデュアル変換と交換され、次式になります 。 ここでは 変数 に関する ヒルベルト変換 です 。 2 次元では、演算子は ランプ フィルタとして画像処理に使用されます。 フーリエのスライス定理と積分のための変数変換から、 2 変数の コンパクトにサポートされた連続関数に対して次式が直接証明できます。 したがって、画像処理のコンテキストでは 、ランプ フィルタ (変数) を適用してから逆投影することで、 「サイノグラム」データから 元の画像を復元できます 。フィルタリング手順は（たとえば デジタル信号処理 技術を使用して）効率的に実行でき、逆投影手順は画像のピクセル内の値の単純な累積であるため、非常に効率的で、広く使用されているアルゴリズムになります。 n {\displaystyle n} c n f = ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 R ∗ R f {\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,} c n = ( 4 π ) ( n − 1 ) / 2 Γ ( n / 2 ) Γ ( 1 / 2 ) {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} [ F ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 φ ] ( ξ ) = | 2 π ξ | n − 1 ( F φ ) ( ξ ) . {\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).} R ∗ {\displaystyle R^{*}} c n f = { R ∗ d n − 1 d s n − 1 R f n odd R ∗ H s d n − 1 d s n − 1 R f n even {\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}} H s {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}} H s d d s {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}} f {\displaystyle f} f = 1 2 R ∗ H s d d s R f . {\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.} f {\displaystyle f} R f {\displaystyle Rf} s {\displaystyle s}
後者の方法によって得られる逆変換式は明示的に次のようになる： 双対変換も同様の式で逆変換できる： f ( x ) = { − ı 2 π ( 2 π ) − n ( − 1 ) n / 2 ∫ S n − 1 ∂ n − 1 2 ∂ s n − 1 R f ( α , α ⋅ x ) d α n odd ( 2 π ) − n ( − 1 ) n / 2 ∬ R × S n − 1 ∂ n − 1 q ∂ s n − 1 R f ( α , α ⋅ x + q ) d α d q n even {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}} c n g = ( − L ) ( n − 1 ) / 2 R ( R ∗ g ) . {\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}
代数幾何学 では 、ラドン変換（ ブリリンスキー-ラドン変換 とも呼ばれる）は次のように構築されます。
書く
P d ← p 1 H → p 2 P ∨ , d {\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}} 普遍超平面 の場合 、つまり、 H は( x 、 h ) のペアで構成されます。ここで、 x は d 次元 射影空間 内の点であり 、 h は 双対射影空間 内の点です (つまり、 x は( d +1) 次元 アフィン空間 内の原点を通る直線であり 、 h はその空間内の超平面です)。この場合、 x は h に含まれます 。 P d {\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}
すると、ブリリンスキー・ラドン変換は、 エタール層 の適切な 導来圏 間の 関手となる。
Rad := R p 2 , ∗ p 1 ∗ : D ( P d ) → D ( P ∨ , d ) . {\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).} この変換に関する主要な定理は、この変換によって、 定数層までの射影空間とその双対射影空間上の 倒錯層 のカテゴリの 同値性が誘導されるというものである。 [14]
参照
注記 ^ Odložilík, Michal (2023-08-31). COMPASSトカマクにおける高速可視カメラを用いたデタッチメント・トモグラフィー・インバージョン研究 （学士論文）. チェコ工科大学プラハ校. hdl :10467/111617. ^ Lax, PD; Philips, RS (1964). 「散乱理論」. Bull. Amer. Math. Soc . 70 (1): 130– 142. doi : 10.1090/s0002-9904-1964-11051-x . ^ Bonneel, N.; Rabin, J.; Peyre, G.; Pfister, H. (2015). 「スライス法とラドン・ワッサーシュタイン法による測定重心」. Journal of Mathematical Imaging and Vision . 51 (1): 22– 25. Bibcode :2015JMIV...51...22B. doi :10.1007/s10851-014-0506-3. S2CID 1907942. ^ Rim, D. (2018). 「ラドン変換を用いた双曲型偏微分方程式の次元分割」. SIAM J. Sci. Comput . 40 (6): A4184 – A4207 . arXiv : 1705.03609 . Bibcode :2018SJSC...40A4184R. doi :10.1137/17m1135633. S2CID 115193737. ^ abc Candès 2021b. ^ Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian; Merabtine, Nadjim (2013). 「反復スパース漸近最小分散に基づくアレイ処理アプローチ」 (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 61 (4). IEEE: 933– 944. arXiv : 1802.03070 . Bibcode :2013ITSP...61..933A. doi :10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN 1053-587X. S2CID 16276001. ^ Kiehl & Weissauer (2001、Ch. IV、Cor. 2.4)
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さらに読む
外部リンク 
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![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfc2efb58787175cd3494b406d8aa539f4d7d4f)
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ad63fe45ddbdf73adc230bb3b5d5817d2360a)
={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0886b62f7a0446d0c86e371469573a84d1c3c579)
=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi )。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670032983a575e02a33ad6443044050036b9bcd6)
