フィルタリングされた代数

数学において、フィルター代数は、次数代数の概念の一般化です。その例は数学の多くの分野、特にホモロジー代数と表現論に見られます。

体 上のフィルター代数は、体上の代数であり、その部分 空間の増加列を持ち、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

これは次の意味での乗算と互換性があります。

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

関連する段階的代数

一般に、フィルタリングされた代数から次数付き代数を生成する次の構成があります。

がフィルタされた代数である場合、関連する次数付き代数は次のように定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

• ベクトル空間として

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,}$

  どこ、

  ${\displaystyle G_{0}=F_{0},}$ そして

  ${\displaystyle \forall n>0,\ G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,}$

• 乗算は次のように定義される。

  ${\displaystyle (x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  とに対してである。（より正確には、乗算写像は写像 ${\displaystyle x\in F_{n}}$ ${\displaystyle y\in F_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)}$

  ${\displaystyle (F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  すべておよびについて。 ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

乗算は明確に定義されており、次数代数の構造、つまり次数 を有する。さらに、が結合的であれば、 も結合的である。また、が単位で、単位が 内にある場合、も単位的となる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

代数としてはと は異なる（次数が付いている自明な場合を除く）が、ベクトル空間としては と同型である。（帰納法によってがベクトル空間として と同型であることを証明できる）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

例

たとえば、によって次数付けされる任意の次数代数は、 によって与えられるフィルタリングを持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$

フィルタ代数の例としては、二次形式を持つベクトル空間のクリフォード代数 が挙げられる。関連する次数代数は であり 、の外積代数は である。 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,q)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \bigwedge V}$ ${\displaystyle V.}$

アフィン空間の双対上の対称代数は、多項式のフィルタリングされた代数です。ベクトル空間上では、代わりに次数付き代数が得られます。

リー代数の普遍包絡代数も自然にフィルタリングされます。PBW定理によれば、関連する次数付き代数は単に となります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$

多様体上のスカラー微分作用素は、フィルタリングされた代数を形成し、フィルタリングの程度は微分作用素の次数で与えられる。これに伴う次数付き代数は、余接束上の滑らかな関数の可換代数であり、これらの関数は射影のファイバーに沿って多項式となる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$

長さ関数を持つ群の群代数はフィルタリングされた代数です。

参照

• ろ過（数学）
• 長さ関数

参考文献

• 阿部栄一 (1980). ホップ代数. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-22240-0。

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