有限ルジャンドル変換

有限ルジャンドル変換（fLT）は、有限区間で定義された数学関数をそのルジャンドルスペクトルに変換します。^{[1] [2]逆に、逆fLT（ifLT）は、区間[−1,1]で直交するルジャンドルスペクトルの成分と}ルジャンドル多項式から元の関数を再構成します。具体的には、関数x ( t )が区間[−1,1]で定義され、この区間上のN個の等間隔点に離散化されていると仮定します。fLTは、 x ( t )をスペクトルルジャンドル成分に分解します

${\displaystyle L_{x}(k)={\frac {2k+1}{N}}\sum _{t=-1}^{t=1}x(t)P_{k}(t),}$

ここで、係数(2 k  + 1)/ Nは正規化係数として機能し、L _x ( k )はk番目のルジャンドル多項式のx ( t )への寄与を表し、(ifLT)

${\displaystyle x(t)=\sum _{k}L_{x}(k)P_{k}(t).}$

fLT は、熱力学や量子物理学で使用されるルジャンドル変換と混同しないでください。

ルジャンドルフィルタ

ノイズの多い実験結果s ( t )のfLTと、それに続く適切に切り捨てられたs ( t )のルジャンドルスペクトルへの逆fLT（ifLT）の適用は、s ( t )の平滑化されたバージョンを与えます。このように、fLTと不完全ifLTはフィルタとして機能します。低周波の高調波を透過し、高周波の高調波を除去する一般的なフーリエローパスフィルタとは対照的に、ルジャンドルローパスフィルタは低次ルジャンドル多項式に比例する信号成分を透過し、高次ルジャンドル多項式に比例する信号成分は除去されます。^[3]

参考文献

1. Jerri, AJ (1992).積分変換と離散変換、その応用と誤差解析. 純粋応用数学. 第162巻. ニューヨーク: Marcel Dekker Inc. Zbl  0753.44001
2. メンデス＝ペレス、JMR;ミケル・モラレス、G. (1997)。 「一般化有限ルジャンドル変換の畳み込みについて」。数学。ナクル。188 : 219–236。土井:10.1002/mana.19971880113。ズブル 0915.46038。
3. Guobin BaoとDetlev Schild、「レジェンドル空間におけるノイズ指数関数の高速かつ正確なフィッティングとフィルタリング」、2014年。PLoS ONE、9(3)、e90500

参考文献

• Butzer, Paul L. (1983). 「代数近似における基本問題の解法におけるルジャンドル変換法」.関数、級数、演算子、Proc. int. Conf.、ブダペスト 1980、第1巻。Colloq. Math. Soc. János Bolyai. 第35巻。pp.  277– 301. Zbl  0567.41010

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