有限ランク演算子

数学の一分野である関数解析において、有限ランク演算子は、その値域が有限次元であるバナッハ空間間の有界線型演算子である。 ^[1]

ヒルベルト空間上の有限ランク作用素

標準形

有限ランク作用素は、有限サイズの行列を無限次元に移植したものである。そのため、これらの作用素は線形代数の手法を用いて記述することができる

線形代数から、複素要素を持つ長方形行列が階数を持つのは、次の形式である場合のみであることが分かる。 ${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=\alpha \cdot uv^{*},\quad {\mbox{where}}\quad \|u\|=\|v\|=1\quad {\mbox{and}}\quad \alpha \geq 0.}$

全く同じ議論から、ヒルベルト空間上の作用素が階数を持つ場合、そしてその場合のみ、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,}$

ここで、条件は有限次元の場合と同じです。 ${\displaystyle \alpha ,u,v}$

したがって、帰納法によって有限ランクの演算子は次の形を取る。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in H,}$

ここで、 とは直交基底です。これは本質的に特異値分解の言い換えであることに注意してください。これは有限階数演算子の標準的な形式と言えます。 ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

少し一般化すると、 が可算無限となり、正の数列がでのみ累算される場合、はコンパクト演算子となり、コンパクト演算子の標準形が得られます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T}$

コンパクト演算子は、級数が収束する場合にのみトレースクラスである。この性質は、すべての有限ランク演算子に対して自動的に成立する。^[2] ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$

代数的性質

ヒルベルト空間上の有限階数作用素の族は、 上の有界作用素の代数である における両側*-イデアルを形成する。実際、これはそのようなイデアルの最小元である。つまり、における任意の両側*-イデアルは、有限階数作用素を必ず含む。これは証明するのが難しいことではない。非ゼロの作用素 をとると、ある に対して となる。任意の に対して、を写す階数1の作用素はに存在するとすれば十分である。 を を写す階数1の作用素と定義し、同様にとなる。すると ${\displaystyle F(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle T\in I}$ ${\displaystyle Tf=g}$ ${\displaystyle f,g\neq 0}$ ${\displaystyle h,k\in H}$ ${\displaystyle S_{h,k}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{h,f}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{g,k}}$

${\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}$

つまり、含まれており、これが主張を検証します。 ${\displaystyle S_{h,k}}$ ${\displaystyle I}$

における両側 *-イデアルの例としては、トレースクラス、ヒルベルト・シュミット作用素、コンパクト作用素が挙げられます。は、これら 3 つのイデアルすべてにおいて、それぞれのノルムにおいて稠密です。 ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle F(H)}$

の任意の二辺イデアルは を含まなければならないため、が有限次元である場合に限り、代数は単純になります。 ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle F(H)}$ ${\displaystyle L(H)}$

バナッハ空間上の有限ランク作用素

バナッハ空間間の有限階数作用素は、その値域が有限次元である有界作用素である。ヒルベルト空間の場合と同様に、次のように書ける。 ${\displaystyle T:U\to V}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad {\mbox{for all}}\quad h\in U,}$

ここで、 、 、 は空間 上の有界線形汎関数です。 ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle u_{i}\in U'}$ ${\displaystyle U}$

有界線形関数は、有限階数演算子、つまり階数 1 の特殊なケースです。

参考文献

1. 「有限ランク演算子 - 概要」2004年
2. コンウェイ、ジョン・B. (1990). 『関数解析講座』 ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. pp.  267– 268. ISBN 978-0-387-97245-9 OCLC  21195908

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