第一可算空間

各点が可算近傍基底を持つ位相空間

数学の一分野である位相幾何学において、第一可算空間とは「第一可算公理」を満たす位相空間のことである。具体的には、各点が可算な近傍基底（局所基底）を持つとき、その空間は第一可算であると言われる。つまり、内の各点に対して、の近傍の列が存在し、の任意の近傍に対してに含まれる整数が存在する。任意の点のあらゆる近傍には、その点の開近傍 が含まれるため、一般性を失うことなく、開近傍からなる近傍基底を選択することができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N.}$

例と反例

数学における「日常的な」空間の大部分は第一可算である。特に、すべての計量空間は第一可算である。これを理解するには、整数の半径を持つ中心を持つ開球の集合が、で可算な局所基底を形成することに注目しよう。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle x.}$

第一可算でない空間の例としては、非可算集合（実数直線など）上の余有限位相が挙げられます。より一般に、非可算体上の代数多様体上のザリスキ位相は第一可算ではありません。

もう一つの反例は、が最初の非可算順序数である順序数空間 である。 は部分集合の極限点となるが、 内のどの元列もその元を極限とすることはない。特に、空間内の点は可算な局所基底を持たない。しかし、 はそのような唯一の点であるため、部分空間は第一可算である。 ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$

実数直線上の自然数を一点として同一視する商空間は 、まず可算ではない。 ^[1]しかし、この空間は、 の閉包における任意の部分集合と任意の元に対して、 に収束する列が存在するという性質を持つ。この列の性質を持つ空間は、フレシェ・ウリゾーン空間と呼ばれることもある。 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$

第一可算性は第二可算性よりも厳密に弱い。第二可算空間はすべて第一可算であるが、非可算離散空間はすべて第一可算だが第二可算ではない。

プロパティ

第一可算空間の最も重要な性質の一つは、部分集合が与えられたとき、点がの閉包に存在することと、に収束する列が存在することの両者が等しいことである（言い換えれば、すべての第一可算空間はフレシェ・ウリゾーン空間であり、したがって の連続空間でもある）。これは極限と連続性に影響する。特に、が第一可算空間上の関数である場合、 が点で極限を持つことと、すべての に対して となるすべての列に対して となることとが等しいこととが等しい。また、が第一可算空間上の関数である場合、が連続であることと、 となるときはいつでも となることとが等しい。 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle x_{n}\neq x}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

第一可算空間において、順序コンパクト性と可算コンパクト性は同値である。しかし、順序コンパクトで第一可算な空間であっても、必ずしもコンパクトではない例も存在する（これらは必ずしも計量化可能ではない）。そのような空間の一つが順序空間 である。すべての第一可算空間はコンパクトに生成される。 ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$

第一可算空間のすべての部分空間は第一可算である。第一可算空間の 任意の可算積は第一可算であるが、非可算積は必ずしも第一可算である必要はない。

参照

• フレシェ・ウリゾーン空間 – 位相空間の性質
• 第二可算空間 – 位相が可算な基底を持つ位相空間
• 可分空間 – 稠密な可算部分集合を持つ位相空間
• シーケンシャル空間 – シーケンスによって特徴付けられる位相空間

参考文献

1. (Engelking 1989、例1.6.18)

参考文献

• 「可算性の第一公理」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• エンゲルキング、リザード(1989).一般位相幾何学. シグマシリーズ純粋数学第6巻（改訂・完版）. ヘルダーマン出版, ベルリン. ISBN 3885380064。

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