平坦多様体

Manifold that "locally looks like" Euclidean space

数学において、リーマン多様体は、そのリーマン曲率テンソルが至る所でゼロであるとき、平坦であると言われます。直感的に言えば、平坦多様体とは、距離と角度に関してユークリッド空間に「局所的に似ている」多様体です。例えば、三角形の内角の合計は180°になります。

完備平坦多様体の普遍被覆はユークリッド空間である。これは、すべてのコンパクト平坦多様体はトーラスによって有限被覆されるというビーバーバッハ（1911, 1912）の定理を証明するために用いられる。3次元の場合は、シェーンフライス（1891）によって既に証明されている。

例

以下の多様体は平坦計量を持つことができる。ただし、これは必ずしもそれらの「標準的な」計量ではないことに注意されたい（例えば、2次元トーラス上の平坦計量は、通常の への埋め込みによって誘導される計量ではない）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

次元1

すべての1次元リーマン多様体は平坦です。逆に、すべての連結な1次元滑らかな多様体が または のいずれかに微分同相であることを考えると、すべての連結な1次元リーマン多様体が次のいずれか（それぞれ標準的なリーマン構造を持つ）に等長的であることは容易にわかります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1},}$

• 実線
• ある数の有限開区間 ${\displaystyle (0,x)}$ ${\displaystyle x>0}$
• 無限開区間 ${\displaystyle (0,\infty )}$
• ある数の半径の円 ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r>0.}$

最初と最後だけが完全です。境界付きリーマン多様体を含める場合は、半開区間と閉区間も含める必要があります。

この場合の完全な記述の単純さは、すべての 1 次元リーマン多様体は滑らかな単位長さのベクトル場を持ち、上記のモデル例の 1 つからの等長変換は積分曲線を考慮することによって提供されるという事実に起因すると考えられます。

次元2

微分同相写像までの5つの可能性

が滑らかな2次元連結な完全平坦リーマン多様体である場合、次のいずれかに微分同相でなければならない。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（無限の平面）
• ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$（無限円筒）
• ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$（トーラス）
• メビウスの帯​
• クラインの壺。

コンパクトな可能性はとクラインの壺のみであり、有向可能な可能性はとのみである。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

これらの空間上の完全に平坦なリーマン計量を明確に記述するには、より多くの労力が必要です。例えば、 の二つの因子は、任意の二つの実数を半径として持つことができます。これらの計量は二つの半径の比によって互いに区別されるため、この空間には、スケール因子を除いて等長ではない、無限に多くの異なる平坦積計量があります。五つの可能性について統一的に議論するために、特にメビウスの帯とクラインの壺を抽象多様体として具体的に扱うためには、群作用という言語を用いるのが便利です。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

等長変換までの5つの可能性

与えられた は、によって与えられる平行移動を表します。は、によって与えられる反射を表します。2 つの正の数が与えられたとき、の等長変換群とその標準距離による次の部分群を考えます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$提供された ${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

これらはすべて、自由にかつ真に不連続に作用する群であり、したがって、様々な剰余空間はすべて自然に2次元完全平坦リーマン多様体の構造を持つ。これらのいずれも互いに等長的ではなく、任意の滑らかな2次元完全平坦連結リーマン多様体は、これらのうちの1つと等長的である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$

オービフォールド

オービフォールドに関する記事には、フラット メトリック (トーラスとクラインの壺を含む) を持つコンパクトな 2 次元オービフォールドが 17 個リストされており、これらは 17 個の壁紙グループに対応しています。

備考

トーラスをドーナツとして表す標準的な「図」では、中心から最も遠い点は正の曲率を持ち、中心に最も近い点は負の曲率を持つため、平坦な計量では表されないことに注意してください。 カイパーのナッシュ埋め込み定理の定式化によれば、上に存在する平坦な積計量のいずれかを誘導する埋め込みがありますが、これらは簡単に視覚化できません。はの埋め込み部分多様体として表されるため、上の (平坦な) 積構造のいずれかはの部分多様体として自然に表されます。同様に、クラインの壺の標準的な 3 次元視覚化では、平坦な計量は表されません。 紙片の端を接着することによるメビウスの帯の標準的な構成では、確かに平坦な計量が得られますが、完全ではありません。 ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$

次元3

3次元の平坦コンパクト多様体は、向きがつけられる6つと向きがつけられない4つ存在し、それらはすべてザイフェルトファイバー空間である。^[1]これらは、10個のねじれのない結晶群による商群である。^[2]また、向きがつけられる4つのコンパクト空間と向きがつけられない4つのコンパクト非コンパクト空間も存在する。^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

方向付け可能

10個の有向平坦3次元多様体は以下の通りである: ^[3]

1. ユークリッド 3 次元空間、。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
2. 立方体の反対側の面を接着して作られた3次元トーラス 。 ${\displaystyle T^{3}}$
3. 立方体の反対側の面を 1 組につき 1/2 回転させて接着することによって作成された多様体。
4. 立方体の反対側の面を 1 組あたり 1/4 回転させて接着することで作成された多様体。
5. 六角柱の反対側の面を、六角形の面を 1/3 回転させて接着して作られた多様体。
6. 六角柱の反対側の面を、六角形の面を 1/6 回転させて接着して作られた多様体。
7. ハンチェ・ウェント多様体。
8. 接着された 2 つの平行な平面間の空間として作られた多様体。 ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$
9. 無限の正方形柱の反対側の壁を接着して作られた多様体。 ${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$
10. 無限の正方形柱の反対側の壁を、一方のペアに 1/2 のねじれを加えて接着することによって作成された多様体。

非方向性

8つの非有向3次元多様体は以下の通りである: ^[4]

1. 円とクラインの壺の直積。 ${\displaystyle S^{1}\times K}$
2. 前述のマニホールドに似ていますが、滑空面と平行な一方向に並進的にオフセットされたマニホールドです。この方向に移動すると、マニホールドの反対側に戻ります。
3. 2 つの直交する滑空面を横切る点を反射し、3 番目の方向に沿って移動することによって作成される多様体。
4. 前述のマニホールドに似ていますが、1 つの滑空面に平行な 1 方向に並進的にオフセットされたマニホールドです。この方向に移動すると、マニホールドの反対側に戻ります。
5. 円と（無限の）メビウスの帯の直角積。
6. 1 つの軸に沿って点を移動し、それを垂直な滑走面を横切って反射することによって作成される多様体。 ${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$
7. 1 つの軸に沿って点を移動し、それを平行な滑空面を横切って反射することによって作成される多様体。
8. 2 つの垂直な滑空面にわたって点を反射することによって作成される多様体。

高次元

• ユークリッド空間
• トリ
• 平坦多様体の積
• 自由に作用する群による平坦多様体の商。

従順性​​との関係

非正の断面曲率を持つすべての閉多様体のうち、平坦多様体は、まさに従順な 基本群を持つものとして特徴付けられます。

これはアダムス・バルマン定理（1998）^[5]の帰結であり、この定理は、アダマール空間の等長写像の離散ココンパクト群という、より一般的な設定においてこの特徴付けを確立する。これはビーベルバッハの定理の広範な一般化を提供する。

離散性仮定はアダムス・バルマン定理において重要である。そうでなければ、カプラチェ・モノの「非離散的」ビーベルバッハ定理を考慮して、分類には対称空間、ブルア・ティッツ建物、バス・セール木を含める必要がある。^[6]

参照

• 空間形態
• 空間群
• リッチ平坦多様体
• 共形平坦多様体
• アフィン多様体

参考文献

注記

1. Peter Scott , 3次元多様体の幾何学（正誤表）, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401–487.
2. ミアテロ、RJ;ロセッティ、日本 (1999 年 10 月 29 日)。「等スペクトルのハンチェ・ヴェント多様体」。Reine und Angewandte Mathematik に関するジャーナル。1999 (515): 1–23 . doi :10.1515/crll.1999.077。ISSN  1435-5345。
3. 初期宇宙と宇宙マイクロ波背景放射：理論と観測ドルドレヒト：クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ 2003年 pp.  166– 169. ISBN 978-1-4020-1800-8。
4. Conway, JH; Rossetti, JP (2005年10月24日). 「プラティコスモスの記述」. arXiv : math/0311476 .
5. Adams, S.; Ballmann, W. (1998). 「アダマール空間の従属的等長変換群」. Mathematische Annalen . 312 (1): 183– 195. doi :10.1007/s002080050218. S2CID  15874907.
6. Caprace、PE;モノード、N. (2015)。 「無離散ビーバーバッハ定理: 従順な CAT(0) グループからティッツ ビルディングまで」。エコール工科大学ジャーナル — 数学。2 : 333–383。arXiv : 1502.04583。​​土井：10.5802/jep.26。

参考文献

• Bieberbach, L. (1911)、「Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I」、Mathematische Annalen、70 (3): 297–336、doi :10.1007/BF01564500、S2CID  124429194。

• Bieberbach, L. (1912)、「Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich」、Mathematische Annalen、72 (3): 400–412、doi :10.1007/BF01456724、S2CID  119472023。

• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（1963年初版の再版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、pp.  209– 224、ISBN 0-471-15733-3
• シェーンフライズ、A. (1891)、クリスタルシステムとクリスタル構造、トイブナー。

• Vinberg, EB (2001) [1994], 「結晶学群」,数学百科事典, EMS Press

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「平坦多様体」。MathWorld。

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