平坦射影

Scheme theory concept

数学、特に代数幾何学において、スキームXからスキームYへの平坦射fとは、あらゆる茎上の誘導写像が環の平坦写像と なるような射である。

${\displaystyle f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}}$

はXのすべてのPに対して平坦写像である。^[1]環の写像は、それがB を平坦A -加群とする準同型である場合に平坦と呼ばれる。スキームの射影は、それが射影的かつ平坦である場合に忠実平坦と呼ばれる。 ^[2] ${\displaystyle A\to B}$

平坦射に関する 2 つの基本的な直感は次のとおりです。

• 平坦性は一般的な特性であり、
• 平坦性の破綻は射影の跳躍集合上で起こる。

最初のものは可換代数から来ます。 fの有限性条件を前提として、 Yの空でない開部分スキームが存在し、fを に制限すると平坦射（ジェネリック平坦性）になることが示されます。ここで「制限」は、 fに適用されたスキームのファイバー積と、のYへの包含写像によって解釈されます。 ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y'}$

2つ目の考え方は、代数幾何学における射は、平坦性によって検出されるような不連続性を示す可能性があるというものです。例えば、代数曲面の双有理幾何学において、ブローダウン演算を行うと、他のすべてのファイバーが0次元であるにもかかわらず、1次元のファイバーが1つだけ生成されます。 （後から考えてみると）射における平坦性は、この種の半連続性、つまり片側への飛び移りを制御することに直接関係していることがわかります。

平坦射は、平坦トポス（の複数のバージョン）と、そこから生じる層の平坦コホモロジーを定義するために使用されます。これは深層理論であり、扱いが容易であるとは考えられていません。エタール射（そしてエタールコホモロジー）の概念は、平坦射の概念に依存しています。エタール射とは、平坦で、有限型であり、非分岐 であるということです。

例/非例

アフィンスキームの射影を考える

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

代数の射影から誘導される

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t.\\\end{cases}}}$

この射の平坦性はTor群の消失と等価である^[3]

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),}$

複素数を解く

${\displaystyle {\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}}$

そして、我々のスキームを表すモジュールによってテンソルが与えられ、-モジュール の列を与える。 ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

${\displaystyle 0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\xrightarrow {\cdot t} {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0.}$

tは零因子ではないので、自明な核を持ちます。したがってホモロジー群は消滅します。

奇跡の平坦さ

^{平坦射の他の例としては、「奇跡の平坦性」 [4]}が挙げられます。これは、コーエン・マコーレースキームと正則スキームとの間の射が等次元ファイバーを持つ場合、その射は平坦であることを意味します。この簡単な例としては、楕円ファイバー、滑らかな射、そして各層において奇跡の平坦性を満たす層状多様体への射が挙げられます。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

ヒルベルトスキーム

スキームの平坦射の普遍的な例は、ヒルベルトスキームによって与えられる。これは、ヒルベルトスキームが平坦射の普遍的な類をパラメータ化し、すべての平坦射が何らかのヒルベルトスキームからの引き戻しとなるためである。すなわち、が平坦であれば、可換図式が存在する。 ${\displaystyle f\colon X\to S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}}$

へのすべての平坦射のヒルベルトスキームに対して となります。は平坦なので、すべてのファイバーは同じヒルベルト多項式 を持ちます。したがって、上記のヒルベルトスキームに対して同様に記述できます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }}$

非例

爆発

非例の1つのクラスは、ブローアップマップ によって与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X.}$

簡単な例として、 の点の爆発が挙げられます。原点を取ると、これは射影によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}}$送信 ${\displaystyle x\mapsto x,y\mapsto y,}$

ここで、点上のファイバーは のコピーであり、すなわち、 ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} ,}$

これは

${\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}.}$

しかし、 については同型性が得られる。 ${\displaystyle a=b=0}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t].}$

これが平坦にならない理由は、局所的に確認できるミラクル平坦性補題によるものです。

無限の解像度

平坦射の単純な非例はこれで ある。 ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.}$

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k}$

は無限複素数であり、kの平坦な分解を取ることで見つけることができる。

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}$

そしてkで解像度をテンソル化すると、次の式が得られる。

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}$

射が平坦ではあり得ないことを示す。平坦射のもう一つの非例として、平坦射は必然的に等次元ファイバーを持つため、爆発が起こる。

平坦射の性質

をスキームの射とする。射 に対して、と とする。射fが平坦であるための必要十分条件は、任意のgに対して、引き戻しが準連接 -加群のカテゴリから準連接 - 加群のカテゴリへの正確な関数となることである。^[5] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ ${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ ${\displaystyle f'=(f,1_{Y'})\colon X'\to Y'.}$ ${\displaystyle f'^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y'}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X'}}$

とがスキームの射影であり、f がXにおいてxで平坦であると仮定する。すると、gがxで平坦となる必要十分条件は、 gf がx で平坦となる場合である。^[6]特に、fが忠実平坦ならば、gが平坦となる必要十分条件は、 gfが平坦となる必要十分条件は、それぞれ忠実平坦となる場合である。^[7] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle f(x)}$

基本的な特性

• 二つの平坦射の合成は平坦である。^[8]
• 2つの平坦射または忠実平坦射のファイバー積は、それぞれ平坦射または忠実平坦射である。^[9]
• 平坦性と忠実平坦性は基底変換によって保存される：fが平坦または忠実平坦で、の場合、ファイバー積はそれぞれ平坦または忠実平坦である。^[10] ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ ${\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$
• 射（局所的に有限表示）が平坦となる点の集合は開である。^[11]
• fが忠実平坦かつ有限表現であり、gfが有限型または有限表現である場合、gはそれぞれ有限型または有限表現である。^[12]

がスキームの平坦な射影であると仮定します。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• F がY上の有限表示の準連接層である場合（特に、Fが連接している場合）、JがY上のFの消滅子である場合、包含写像の引き戻しは注入であり、 における の像はX上のの消滅子である。^[13] ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}J}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}F}$
• fが忠実平坦でGが準コヒーレントな-加群であれば、大域セクション上の引き戻し写像は単射である。^[14] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$

が平坦であると仮定する。XとYをSスキームとし、およびをhによる基底変化とする。 ${\displaystyle h\colon S'\to S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y'}$

• が準コンパクトかつ優勢である場合、その基底変化も準コンパクトかつ優勢である。^[15] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$
• hが忠実に平坦であれば、プルバックマップは単射である。^[16] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')}$
• が準コンパクトかつ準分離であると仮定する。ZをXの閉像とし、を標準射影とする。すると、基底変換によって決定される閉部分スキームは の閉像となる。^[17] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle j\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle j'\colon Z'\to Y'}$ ${\displaystyle X'}$

位相的性質

が平坦である場合、次のすべての特性を持ちます。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Xのあらゆる点xとy = f ( x )のあらゆる一般化y ′に対して、 y ′ = f ( x ′ )となるようなxの一般化x ′が存在する。^[18]
• Xのあらゆる点xについて、. ^[19] ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$
• Yのあらゆる既約閉部分集合Y ′に対して、f ⁻¹ ( Y ′ )のあらゆる既約成分はY ′を支配する。^[20]
• ZとZ ′ がYの2つの既約閉部分集合で、 ZがZ ′に含まれる場合、 f ⁻¹ ( Z )のすべての既約成分Tに対して、 Tを含むf ⁻¹ ( Z ′ )の既約成分T ′が存在する。^[21]
• Xのあらゆる既約成分Tに対して、 f ( T )の閉包はYの既約成分である。^[22]
• Yが一般点yと既約で、f ⁻¹ ( y )が既約なら、Xは既約である。^[23]
• fも閉じている場合、 Xのすべての連結成分の像はYの連結成分である。^[24]
• Yの任意のプロ構成可能部分集合Zについて、. ^[25] ${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$

fが平坦かつ局所的に有限表示の場合、 fは普遍的に開である。^[26]しかし、fが忠実平坦かつ準コンパクトの場合、XとYがネーターであっても、fが開であるということは一般には真ではない。^[27]さらに、このステートメントの逆は成り立たない。fが縮約されたスキームX _redからXへの標準写像である場合、fは普遍同相であるが、 X が非縮約かつネーターである場合、fは決して平坦にならない。^[28]

が忠実に平坦かつ準コンパクトな場合、次のようになります。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Y上の位相はfに対する商位相である。^[29]
• ZがYの部分集合である場合、ZがYの局所的に閉じたプロ構成可能部分集合となるのは、 f ⁻¹ ( Z )がXの局所的に閉じたプロ構成可能部分集合である場合に限る。^[30]

fが平坦かつ局所的に有限表示である場合、以下の各特性Pに対して、 fがPを満たす点の集合は開集合となる: ^[31]

• セールの条件 S _k (任意の固定kに対して)。
• 幾何学的に規則的。
• 幾何学的には正常です。

さらにfが適切であれば、以下の各特性についても同様である。^[32]

• 幾何学的に縮小されます。
• 幾何学的に縮小され、k 個の幾何学的連結成分を持ちます (任意の固定kに対して)。
• 幾何学的に積分。

平坦性と寸法

XとYが局所的にネーターであると仮定し、 とします。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• をの点とし、 が平坦であれば となる。[ 33 ^{]逆に、この等式がすべての}xに対して成り立ち、Xがコーエン・マコーレーであり、Y が正則であり、さらにf が閉点を閉点に写す場合、fは平坦となる。^[34] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \dim _{x}X=\dim _{y}Y+\dim _{x}f^{-1}(y)}$
• fが忠実平坦ならば、 Yの各閉部分集合Zに対して、codim _Y ( Z ) = codim _X ( f ⁻¹ ( Z ))が成り立つ。^[35]
• fが平坦で、FがY上の準連接加群であるとする。Fの射影次元が高々nならば、 fの射影次元も高々nである。^[36] ${\displaystyle f^{*}F}$

降下特性

• fがXのxにおいて平坦であると仮定する。Xがxにおいて縮小または正規分布である場合、Y はf ( x )においてそれぞれ縮小または正規分布となる。^[37]逆に、fも有限表示であり、f ⁻¹ ( y ) がxにおいてそれぞれ縮小または正規分布である場合、Xはxにおいてそれぞれ縮小または正規分布となる。^[38]
• 特に、fが忠実平坦である場合、X が縮約または正規であることは、それぞれYが縮約または正規であることを意味します。fが忠実平坦かつ有限表示である場合、 fのすべてのファイバーが縮約または正規であることは、それぞれXが縮約または正規であることを意味します。
• もしfがXのxで平坦であり、Xがxで整式または整閉であるならば、Yはf ( x )でそれぞれ整式または整閉である。^[39]
• fが忠実平坦で、Xが局所整で、Yの位相空間が局所ノイザンであれば、Yは局所整である。^[40]
• fが忠実平坦かつ準コンパクトで、Xが局所ネーターならば、Yも局所ネーターである。^[41]
• fが平坦で、XとY が局所的にネーター的であると仮定する。Xがxにおいて正則ならば、Y はf ( x )において正則である。逆に、Yがf ( x )において正則で、 f ⁻¹ ( f ( x )) がxにおいて正則ならば、Xはxにおいて正則である。^[42]
• fが平坦で、XとY が局所的にネーター行列であると仮定する。Xがxにおいて正規ならば、Y はf ( x )において正規となる。逆に、Yがf ( x )において正規で、 f ⁻¹ ( f ( x )) がxにおいて正規ならば、Xはxにおいて正規となる。^[43]

g  : Y ′ → Y を忠実平坦とする。FをY上の準連接層とし、F ′ をFからY ′への引き戻しとする。このとき、 FがY上平坦であることと、F ′がY ′上平坦であることは同値である。^[44]

fは忠実平坦かつ準コンパクトであると仮定する。GをY上の準連接層とし、F をそのXへの引き戻しと表記する。すると、 Fが有限型、有限表示、あるいはn階数から局所的に自由となるのは、 G が対応する性質を持つ場合のみである。 ^[45]

f  : X → YがS -スキームのS -射であるとする。g  : S ′ → Sは忠実平坦かつ準コンパクトであり、X ′、Y ′、f ′はgによる基底変化を表すものとする。すると、以下の各性質Pに対し、f ′ がPを持つならば、fはPを持つ。^[46]

• 開ける。
• 閉店しました。
• 準コンパクトとその像への同相写像。
• 同相写像。

さらに、以下の各性質Pについて、fがPを持つのは、 f ′がPを持つ場合のみである。^[47]

• 普遍的にオープン。
• 全体的に閉鎖。
• 普遍同相写像。
• 準コンパクト。
• 準コンパクトで優勢。
• 準コンパクトかつ普遍的に二連続。
• 分離しました。
• 準分離。
• 局所的に有限型です。
• 有限のプレゼンテーションのローカル。
• 有限型。
• 有限のプレゼンテーション。
• ちゃんとした。
• 同型性。
• 単相性。
• オープンイマージョン。
• 準コンパクトな浸水。
• 密閉された浸水。
• アフィン。
• 準アフィン。
• 有限。
• 準有限。
• 積分。

f ′が局所同型であってもfが局所浸漬でなくても、f′が局所同型となることは可能である。 ^[48]

fが準コンパクトでLがX上の可逆層である場合、Lがf -サンプルまたはf -非常にサンプルである場合と、その引き戻しL ′がそれぞれf ′ -サンプルまたはf ′ -非常にサンプルである場合とで同値である。^[49]しかし、fが射影的である場合と、f ′が射影的である場合とで同値である、というわけではない。 fが真でf ′が射影的である場合、 fが準射影的である、というわけでもない。なぜなら、 X ′上にf ′ -サンプル層があって、それがXに下降しない可能性があるからである。^[50]

参照

• fpqc 射影
• 相対有効カルティエ因子、平坦射の例
• 退化（代数幾何学）

注記

1. EGA IV _2、2.1.1。
2. EGA 0 _I、6.7.8。
3. Sernesi, E. (2010).代数スキームの変形. Springer . pp. 269–279.
4. 「平坦射と平坦性」。
5. EGA IV ₂、命題2.1.3。
6. EGA IV ₂、コロレア 2.2.11(iv)。
7. EGA IV ₂、コロレア 2.2.13(iii)。
8. EGA IV ₂、コロレア 2.1.6。
9. EGA IV ₂、コロレア 2.1.7、および EGA IV ₂、コロレア 2.2.13(ii)。
10. EGA IV ₂、提案 2.1.4、および EGA IV ₂、コロレア 2.2.13(i)。
11. EGA IV ₃、テオレム 11.3.1。
12. EGA IV ₃、命題11.3.16。
13. EGA IV ₂、命題2.1.11。
14. EGA IV ₂、コロレア 2.2.8。
15. EGA IV ₂、命題2.3.7(i)。
16. EGA IV ₂、コロレア 2.2.16。
17. EGA IV ₂、命題2.3.2。
18. EGA IV ₂、命題2.3.4(i)。
19. EGA IV ₂、提案 2.3.4(ii)。
20. EGA IV ₂、提案 2.3.4(iii)。
21. EGA IV ₂、コロレア 2.3.5(i)。
22. EGA IV ₂、コロレア 2.3.5(ii)。
23. EGA IV ₂、コロレア 2.3.5(iii)。
24. EGA IV ₂、提案 2.3.6(ii)。
25. EGA IV ₂、テオレム 2.3.10。
26. EGA IV ₂、テオレム 2.4.6。
27. EGA IV _2、2.4.8 (i)を参照。
28. EGA IV ₂、注意事項 2.4.8(ii)。
29. EGA IV ₂、コロレア 2.3.12。
30. EGA IV ₂、コロレア 2.3.14。
31. EGA IV ₃、テオレム 12.1.6。
32. EGA IV ₃、テオレム 12.2.4。
33. EGA IV ₂、コロレア 6.1.2。
34. EGA IV _{2 、命題6.1.5。ここでは}Yの正則性仮定が重要であることに注意。この拡張により、 Xが正則、 Yが正規、 fが有限射影的だが平坦ではないという反例が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]}$
35. EGA IV ₂、コロレア 6.1.4。
36. EGA IV ₂、コロレア 6.2.2。
37. EGA IV ₂、命題2.1.13。
38. EGA IV ₃、命題11.3.13。
39. EGA IV ₂、命題2.1.13。
40. EGA IV ₂、命題2.1.14。
41. EGA IV ₂、命題2.2.14。
42. EGA IV ₂、コロレア 6.5.2。
43. EGA IV ₂、コロレア 6.5.4。
44. EGA IV ₂、命題2.5.1。
45. EGA IV ₂、命題2.5.2。
46. EGA IV ₂、命題2.6.2。
47. EGA IV ₂、コロレア 2.6.4 および提案 2.7.1。
48. EGA IV ₂、注意事項 2.7.3(iii)。
49. EGA IV ₂、コロレア 2.7.2。
50. EGA IV ₂、注意事項 2.7.3(ii)。

参考文献

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