Motion of particles in a fluid
振り子 の微分方程式によって規定される 位相空間 における流れ 。水平軸は振り子の位置、垂直軸は速度を表す。 数学 において 、 フローとは 流体中の粒子の運動の概念を形式化したものです。フローは 工学 や 物理学を含む科学のあらゆる分野で広く用いられています。フローの概念は 常微分方程式 の研究の基礎となります 。非公式には、フローは点の時間経過に伴う連続的な運動と見なすことができます。より正式には、フローとは 集合 における 実数 の 群作用 です。
ベクトルフロー 、すなわち ベクトル場 によって決定されるフローの概念は、 微分位相幾何 学、 リーマン幾何学 、 リー群 の分野で登場する 。ベクトルフローの具体的な例としては、 測地線フロー 、 ハミルトンフロー 、 リッチフロー 、 平均曲率フロー 、 アノソフフローなどが挙げられる。フローは 確率変数 系や 確率過程 に対しても定義され、 エルゴード 力学系 の研究にも用いられる 。これらの中で最も有名なのは、おそらく ベルヌーイフローで あろう。
集合 X 上のフロー は、 実数 の 加法群 の X 上の 群作用 である 。より明確に言えば、フローは 写像である。
φ : X × R → X {\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \to X} 全ての x∈Xと全て の 実数 s と t に対して 、
φ ( x , 0 ) = x ; φ ( φ ( x , t ) , s ) = φ ( x , s + t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}} 慣例的に φ ( x , t ) ではなく φ t ( x ) と書き、上記の式を ( 恒等関数 ) および (群則) と表すことができます。すると、すべての に対して、写像 は逆写像 を持つ一対一写像となります。 これは上記の定義から導かれ、実パラメータ tは 関数反復 のように、一般化された 関数のべき乗 として捉えることができます 。 φ 0 = Id {\displaystyle \varphi ^{0}={\text{Id}}} φ s ∘ φ t = φ s + t {\displaystyle \varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}} t ∈ R , {\displaystyle t\in \mathbb {R} ,} φ t : X → X {\displaystyle \varphi ^{t}:X\to X} φ − t : X → X . {\displaystyle \varphi ^{-t}:X\to X.}
フローは通常、集合 X上に備えられた 構造 と両立することが求められる 。特に、 X が 位相 を備える場合 、 φ は通常 連続 で あることが求められる 。X が 微分可能構造 を備える場合 、 φ は通常 微分可能 であることが求められる 。これらの場合、フローはそれぞれ同相写像と微分同相写像の 1パラメータ群 を形成する。
特定の状況では、 ローカルフロー は 、一部のサブセットでのみ定義されます
d o m ( φ ) = { ( x , t ) | t ∈ ( a x , b x ) , a x < 0 < b x , x ∈ X } ⊂ X × R {\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in (a_{x},b_{x}),\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} } と呼ばれる φ の 流れ領域 。これは、ベクトル場の流れ において、これらのベクトル場が完備でない場合によく見られる現象である 群体 または 擬群 の概念によって記述できる 。
代替表記 工学 、 物理学、 微分方程式 の研究など、多くの分野では 、流れを暗黙的に表す表記法が 一般的に用いられています。例えば、 x ( t )は φ t ( x 0 ) , {\displaystyle \varphi ^{t}(x_{0}),} に対して書かれ、変数 x は 時刻 t と初期条件 x = x 0 に依存すると言えます 。以下に例を示します。
滑らかな多様体 X 上の ベクトル場 V の流れの場合 、その流れは生成元が明示的に示されるような方法で表記されることが多い。例えば、
Φ V : X × R → X ; ( x , t ) ↦ Φ V t ( x ) . {\displaystyle \Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}
軌道 X における x が与えられたとき 、その集合は φ による x の 軌道 と呼ばれる。非公式には、これは初期位置が x であった粒子の軌道とみなすことができる 。流れが ベクトル場によって生成される場合、その軌道はその 積分曲線 の像となる 。 { φ ( x , t ) : t ∈ R } {\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}
例
代数方程式 を f : R → X {\displaystyle f:\mathbb {R} \to X} 時間依存の軌道とし、これは全単射関数とする。すると、フローは次のように定義される 。
φ ( x , t ) = f ( t + f − 1 ( x ) ) . {\displaystyle \varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}
常微分方程式の自律系 F : R n → R n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} を （時間に依存しない）ベクトル場とし、 x : R → R n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} 初期値問題の解を
x ˙ ( t ) = F ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.} すると、 ベクトル場 F のフローが成立する 。ベクトル場 が リプシッツ連続 であるならば、これは明確に定義された局所フローとなる 。すると 、 も、定義される場所に関係なくリプシッツ連続となる。一般に、フロー φ が大域的に定義されていることを示すのは難しいかもしれない が、ベクトル場 F がコンパクトに支えられて いるという単純な基準がある 。 φ ( x 0 , t ) = x ( t ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)} F : R n → R n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} φ : R n × R → R n {\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
時間依存常微分方程式 時間依存ベクトル場 F : R n × R → R n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} の場合 、 は φ t , t 0 ( x 0 ) = x ( t + t 0 ) , {\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),} x : R → R n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
x ˙ ( t ) = F ( x ( t ) , t ) , x ( t 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.} すると は φ t , t 0 ( x 0 ) {\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})} F の時間依存フロー となる 。これは上記の定義では「フロー」ではないが、引数を並べ替えることで簡単にフローであるとみなすことができる。つまり、写像
φ : ( R n × R ) × R → R n × R ; φ ( ( x 0 , t 0 ) , t ) = ( φ t , t 0 ( x 0 ) , t + t 0 ) {\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})} 最後の変数については群法則を確かに満たしています。
φ ( φ ( ( x 0 , t 0 ) , t ) , s ) = φ ( ( φ t , t 0 ( x 0 ) , t + t 0 ) , s ) = ( φ s , t + t 0 ( φ t , t 0 ( x 0 ) ) , s + t + t 0 ) = ( φ s , t + t 0 ( x ( t + t 0 ) ) , s + t + t 0 ) = ( x ( s + t + t 0 ) , s + t + t 0 ) = ( φ s + t , t 0 ( x 0 ) , s + t + t 0 ) = φ ( ( x 0 , t 0 ) , s + t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}} ベクトル場の時間依存フローは、次のトリックによって時間非依存フローの特別なケースとして見ることができる。定義
G ( x , t ) := ( F ( x , t ) , 1 ) , y ( t ) := ( x ( t + t 0 ) , t + t 0 ) . {\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).} すると y ( t ) は「時間に依存しない」初期値問題の解となる。
y ˙ ( s ) = G ( y ( s ) ) , y ( 0 ) = ( x 0 , t 0 ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})} は、 x ( t ) が 元の時間依存初期値問題の解である場合に限ります。さらに、その場合、写像 φはまさに「時間非依存」ベクトル場 G の流れとなります 。
多様体上のベクトル場の流れ 時間独立ベクトル場と時間依存ベクトル場の流れは、ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上で定義されるのと全く同じように滑らかな多様体上で定義され、局所的な振る舞いも同様です。しかし、滑らかな多様体の大域的な位相構造は、それがどのような大域的なベクトル場を支持できるかに強く表れており、滑らかな多様体上のベクトル場の流れは、微分位相幾何学において重要なツールとなっています。力学系の研究の大部分は、応用分野においては「パラメータ空間」として考えられる滑らかな多様体上で行われています。
正式には、 を 微分可能多様体 とする 。 を点の 接 空間 とする。を完備接多様体とする。すなわち、 を 上の 時間依存 ベクトル場 とする 。すなわち、 f は滑らかな写像であり、各 およびに対して 、 が成り立つ。 すなわち、写像は 各点をそれ自身の接空間の元に写す。 0 を含む適切な区間に対して、 f のフローは次 を満たす 関数である。 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} T p M {\displaystyle \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}} p ∈ M . {\displaystyle p\in {\mathcal {M}}.} T M {\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}} T M = ∪ p ∈ M T p M . {\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.} f : R × M → T M {\displaystyle f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } p ∈ M {\displaystyle p\in {\mathcal {M}}} f ( t , p ) ∈ T p M ; {\displaystyle f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};} x ↦ f ( t , x ) {\displaystyle x\mapsto f(t,x)} I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } ϕ : I × M → M {\displaystyle \phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}} ϕ ( 0 , x 0 ) = x 0 ∀ x 0 ∈ M d d t | t = t 0 ϕ ( t , x 0 ) = f ( t 0 , ϕ ( t 0 , x 0 ) ) ∀ x 0 ∈ M , t 0 ∈ I {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}}
熱方程式の解 Ω を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} （ n は整数） の部分領域（有界または無界）とする 。Γ でその境界（滑らかであると仮定）を表す。T > 0 に対して 、 Ω × (0, T ) 上 の次の 熱方程式 を考える。
u t − Δ u = 0 in Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on Γ × ( 0 , T ) , {\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}} 初期値条件は u (0) = u 0 in Ω です。
Γ × (0, T ) 上の 方程式 u = 0 は、 同次ディリクレ境界条件に対応する。この問題の数学的設定は半群アプローチで行うことができる。このツールを使用するには、定義域で 定義される 非有界演算子 Δ Dを導入する。 L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )}
D ( Δ D ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )} （およびの 古典 ソボレフ空間を 参照
） H k ( Ω ) = W k , 2 ( Ω ) {\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )}
H 0 1 ( Ω ) = C 0 ∞ ( Ω ) ¯ H 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}} は、 Ω におけるコンパクトなサポートを持つ無限微分可能関数の閉包であり、 ノルム に対して閉包である。 H 1 ( Ω ) − {\displaystyle H^{1}(\Omega )-}
任意の に対して 、 v ∈ D ( Δ D ) {\displaystyle v\in D(\Delta _{D})}
Δ D v = Δ v = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 v . {\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.} この演算子を用いると、熱方程式は u (0) = u 0 と なる 。したがって、この方程式に対応する流れは（上記の表記を参照）となる。 u ′ ( t ) = Δ D u ( t ) {\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)}
φ ( u 0 , t ) = e t Δ D u 0 , {\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},} ここで exp( tΔD )は ΔD によって 生成される（解析 的）半群で ある 。
波動方程式の解 再び、 Ωを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} （ n は整数） の部分領域（有界または無界）とする。その境界を Γ で表す（滑らかであると仮定）。次の 波動方程式 （ T > 0 の場合） を考える。 Ω × ( 0 , T ) {\displaystyle \Omega \times (0,T)}
u t t − Δ u = 0 in Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on Γ × ( 0 , T ) , {\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}} 初期条件は u (0) = u 1,0 in Ω であり、 u t ( 0 ) = u 2 , 0 in Ω . {\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .}
上記の熱方程式の場合と同じ半群アプローチを用いる。波動方程式は、次の非有界演算子を導入することで、時間に関する一階偏微分方程式として表される。
A = ( 0 I d Δ D 0 ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)} ドメインが オンの場合 （演算子 Δ D は前の例で定義されています）。 D ( A ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) × H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )} H = H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) {\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}
列ベクトルを導入する
U = ( u 1 u 2 ) {\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)} （ここで 、および ）および u 1 = u {\displaystyle u^{1}=u} u 2 = u t {\displaystyle u^{2}=u_{t}}
U 0 = ( u 1 , 0 u 2 , 0 ) . {\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).} これらの概念を用いると、波動方程式は U (0) = U 0 となります 。 U ′ ( t ) = A U ( t ) {\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)}
したがって、この式に対応する流れは
φ ( U 0 , t ) = e t A U 0 {\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}} ここで 、（ユニタリ）半群は e t A {\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}} A . {\displaystyle {\mathcal {A}}.}
ベルヌーイフロー エルゴード 力学系 、すなわちランダム性を示す系もフローを示す。その中で最も有名なのはおそらく ベルヌーイフロー だろう。 オルンシュタイン同型定理は 、任意の エントロピー H に対して、ベルヌーイフローと呼ばれるフロー φ ( x , t )が存在し、時刻 t = 1 におけるフロー 、 すなわち φ ( x , 1) はベルヌーイ シフト となることを述べている。
さらに、このフローは、時間の定数倍を除いて一意である。つまり、 ψ ( x , t ) が同じエントロピーを持つ別のフローである場合、 ある定数 cに対して ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) が成立する。ここでの一意性と同型性の概念は、 力学系の同型性の概念である。 シナイのビリヤード や アノソフフローを 含む多くの力学系は、 ベルヌーイシフトと同型である。
参照
参考文献
