前進策

金融において、Tフォワード指標はリスク中立指標と同等の価格設定指標であるが、金融市場を基準値として用いるのではなく、満期Tの債券を用いる。フォワード指標の使用はファルシッド・ジャムシディアン（1987）によって開拓され、後に債券オプションの価格計算手段として用いられた。^[1]

数学的な定義

[ ^2]

B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)

銀行口座またはマネーマーケット口座の番号と

D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)

満期Tにおける時点0の市場における割引率とする。リスク中立尺度がならば、フォワード尺度はラドン・ニコディム導関数によって定義され、 $Q_{*}$ $Q_{T}$

{\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.

これは、金利が決定論的である場合、フォワード指標とリスク中立指標が一致することを意味することに留意されたい。また、これは、ニューメレールをマネーマーケットまたは銀行口座B ( t )からT満期債券P ( t , T )に変更することによる、ニューメレール変更式の特殊な形である。実際、一般に

P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]

はt時点での満期Tのゼロクーポン債の価格であり、t時点での市場情報を表すフィルタリングであるので、次のように書くことができる。 ${\mathcal {F}}(t)$

{\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}

このことから、フォワードT指標はT満期ゼロクーポン債のnumeraire（ニューメレール）と関連していることは明らかである。より詳細な議論については、Brigo and Mercurio (2001)を参照のこと。

結果

「フォワード測度」という名称は、フォワード測度の下ではフォワード価格がマルチンゲールであるという事実に由来しており、この事実はGeman (1989)（この測度の正式な定義の責任者）によって初めて観察された。^[3] リスク中立測度の下では先物価格がマルチンゲールであるのと比較されたい。金利が決定論的である場合、これはフォワード価格と先物価格が同じであることを意味することに注意されたい。

たとえば、割引株価はリスク中立尺度ではマルチンゲールです。

S(t)D(t)=E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)].\,

先物価格はで与えられる。したがって、 $F_{S}(t,T)={\frac {S(t)}{P(t,T)}}$ $F_{S}(T,T)=S(T)$

F_{S}(t,T)={\frac {E_{Q_{*}}[D(T)S(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)]{\frac {E_{Q_{*}}[D(T)|{\mathcal {F}}(t)]}{D(t)P(t,T)}}

ラドン・ニコディム導関数と等式を用いて、最後の項は債券価格の定義により1に等しいので、 ${\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}$ $F_{S}(T,T)=S(T)$

F_{S}(t,T)=E_{Q_{T}}[F_{S}(T,T)|{\mathcal {F}}(t)].\,

参考文献

^ ジャムシディアン、ファルシッド（1989）「正確な債券オプション価格決定式」、ファイナンスジャーナル、44：205-209、doi：10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x
^ 金融モデリングにおけるマーチンゲール法。第2版。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、2004年。印刷。
^ Geman, H. (1989) 金利の確率論的アプローチにおけるフォワード中立確率の重要性。ワーキングペーパー、ESSEC。

ダミアーノ・ブリゴ、ファビオ・メルクリオ（2001年）『金利モデル ― 理論と実践』（スマイル、インフレーション、クレジット第2版、2006年）。シュプリンガー出版社。ISBN 978-3-540-22149-4。

参照

[1] ジャムシディアン、ファルシッド（1989）「正確な債券オプション価格決定式」、ファイナンスジャーナル、44：205-209、doi：10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x

[2] 金融モデリングにおけるマーチンゲール法。第2版。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、2004年。印刷。

[3] Geman, H. (1989) 金利の確率論的アプローチにおけるフォワード中立確率の重要性。ワーキングペーパー、ESSEC。