擬似ラピディティ

Spatial coordinate used in experimental particle physics

擬似ラピディティ値を極座標で示します。素粒子物理学では、角度ゼロは通常ビーム軸に沿うため、擬似ラピディティ値の高い粒子はビームとともに検出器内の空間を抜けて失われる傾向があります。

極角がゼロに近づくにつれて、擬似急速性は無限大に近づく傾向があります。

実験粒子物理学において、擬ラピディティ（擬ラピディティ）は、ビーム軸に対する粒子の角度を表す空間座標として一般的に用いられる。これは次のように定義される。 ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta \equiv -\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right],}$

ここで、粒子の三元運動量とビーム軸の正方向との間の角度である。 ^[1]逆に、 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \theta =2\arctan \left(e^{-\eta }\right).}$

3元運動量の関数として擬ラピディティは次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\left|\mathbf {p} \right|+p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|-p_{\text{L}}}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|}}\right),}$

ここで、 はビーム軸に沿った運動量の成分（すなわち縦方向の運動量。ハドロン衝突型加速器物理学における従来の座標系を用いると、これは一般的に とも表記される）である。粒子が光速に近い速度で移動する極限、あるいは粒子の質量が無視できる近似においては、 と置き換えることができる（すなわち、この極限においては、粒子の唯一のエネルギーは光子の場合と同様に運動量エネルギーである）。したがって、擬ラピディティは実験粒子物理学におけるラピディティの定義に収束する。 ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ ${\displaystyle p_{z}}$ ${\displaystyle m\ll |\mathbf {p} |\Rightarrow E\approx |\mathbf {p} |\Rightarrow \eta \approx y}$

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {E+p_{\text{L}}}{E-p_{\text{L}}}}\right)}$

これは、の代わりに を用いる特殊相対論におけるラピディティの定義とは若干異なります。しかし、擬ラピディティは粒子の軌道の極角のみに依存し、粒子のエネルギーには依存しません。ハドロン衝突型加速器実験において「前方」方向という表現は、高い におけるビーム軸に近い検出器の領域を指します。 「前方」と「後方」の区別が重要な文脈では、前者は正のz方向、後者は負のz方向を指します。 ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ ${\displaystyle |\eta |}$

ハドロン衝突型加速器物理学では、極角よりもラピディティ（または擬ラピディティ）が好まれる。これは、大まかに言えば、粒子生成はラピディティの関数として一定であり、ラピディティの差は縦軸方向のブーストに対してローレンツ不変であるためである。つまり、ガリレイ相対論における速度と同様に、ラピディティは加算的に変換する。したがって、粒子間のラピディティ差の測定（または関与する粒子が質量を持たないかどうか）は、基準系（実験室系など）の縦方向ブーストには依存しない。これは、衝突するパートンの縦方向運動量比xが異なるハドロン衝突型加速器物理学にとって重要な特徴であり、これは、パートン-パートン衝突の静止系が異なる縦方向ブーストを持つことを意味する。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta \eta }$

擬似ラピディティの関数としてのラピディティは次のように与えられる。

${\displaystyle y=\ln \left({\frac {{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}\cosh ^{2}\eta }}+p_{\text{T}}\sinh \eta }{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}}}}\right),}$

ここで、横方向の運動量（つまり、ビーム軸に垂直な 3 次元運動量の成分）です。 ${\textstyle p_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{x}}^{2}+p_{\text{y}}^{2}}}}$

1で表される2次マクローリン展開を使用すると、ラピディティは次のように近似できる。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m/p_{\text{T}}}$

${\displaystyle y\approx \eta -{\frac {p_{\text{L}}}{2|\mathbf {p} |}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\tanh {\eta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\cos {\theta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2},}$

これにより、 の相対論的粒子の場合、擬ラピディティが（真の）ラピディティに等しくなることが簡単にわかります。 ${\displaystyle p_{\text{T}}\gg m}$

ラピディティは、粒子物理学で一般的に用いられる粒子間の角度間隔の尺度を定義するために用いられ、縦方向（ビーム方向）のブーストに対してローレンツ不変である。この表現のラピディティ項はしばしば擬ラピディティに置き換えられ、純粋に角度量のみによる定義が得られる。これは、関係する粒子が質量を持たない場合、ローレンツ不変である。方位角の差 は、ビームライン（z軸）に沿ったローレンツブーストに対して不変である。これは、ビームラインに直交する平面（すなわち「横」xy平面）で測定されるためである。 ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta y\right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$ ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta \eta \right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

価値観

極角と擬似ラピディティの関係を示すグラフ。

代表的な値は次のとおりです。

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \eta }$
0°	∞	180°	−∞
0.1°	7.04	179.9°	−7.04
0.5°	5.43	179.5°	−5.43
1°	4.74	179°	−4.74
2°	4.05	178°	−4.05
5°	3.13	175°	−3.13
10°	2.44	170°	−2.44
20°	1.74	160°	−1.74
30°	1.32	150°	−1.32
45°	0.88	135°	−0.88
60°	0.55	120°	−0.55
80°	0.175	100°	−0.175
90°	0

擬似ラピディティは について奇数です。言い換えると、 です。 ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$ ${\displaystyle \eta (\theta )=-\eta (180^{\circ }-\theta )}$

直交座標系での運動量への変換

ハドロン衝突型加速器は、横方向運動量、横方向面における極角、擬ラピディティを用いて物理的な運動量を測定し、直交座標系における運動量（ -軸をビーム軸と定義）を求めるために、以下の変換式を用いる。 ${\displaystyle p_{\text{T}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \langle p_{\text{x}},p_{\text{y}},p_{\text{z}}\rangle }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=p_{\text{T}}\sinh {\eta },}$

これにより、 が得られます。は縦方向の運動量成分であり、上記のテキストでは と表記されていることに注意してください（はハドロン衝突型加速器における標準的な表記法です）。 ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p_{\text{T}}\cosh {\eta }}$ ${\displaystyle p_{\text{z}}}$ ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ ${\displaystyle p_{\text{z}}}$

「真の」ラピディティを使用して完全な4 元運動量(自然単位) を取得するための同等の関係は次のとおりです。 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=m_{\text{T}}\sinh {y}}$

${\displaystyle E=m_{\text{T}}\cosh {y},}$

横方向の質量はどこにあるか。 ${\displaystyle m_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{T}}^{2}+m^{2}}}}$

ビーム軸に沿った速度の増加は、関係式を用いてラピディティの付加的な変化に対応する。このようなローレンツ変換の下では、粒子のラピディティは となり、四元運動量は となる。 ${\displaystyle \beta _{\text{z}}}$ ${\displaystyle y_{\text{boost}}}$ ${\displaystyle \beta _{\text{z}}=\tanh {y_{\text{boost}}}}$ ${\displaystyle y'=y+y_{\text{boost}}}$

${\displaystyle p'_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{z}}=m_{\text{T}}\sinh {\left(y+y_{\mathrm {boost} }\right)}}$

${\displaystyle E'=m_{\text{T}}\cosh {\left(y+y_{\mathrm {boost} }\right)}.}$

この種の変化はハドロン衝突型加速器では一般的である。例えば、同じ種類の2つのハドロンが同じ速度でビーム軸に沿って非弾性衝突を起こした場合、対応するラピディティは

${\displaystyle y_{\mathrm {boost} }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x_{1}}{x_{2}}},}$

ここで、およびは衝突するパートンの運動量比である。複数の粒子が同一の衝突で生成される場合、任意の2つの粒子と間のラピディティの差は、ビーム軸に沿ったいかなるブーストに対しても不変であり、両方の粒子が質量ゼロ（）の場合、擬ラピディティ（）についてもこの関係が成り立つ。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \Delta y_{ij}=y_{i}-y_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{i}=m_{j}=0}$ ${\displaystyle \Delta \eta _{ij}}$

参考文献

1. Cheuk-Yin Wong著『高エネルギー重イオン衝突入門』、ラピディティの定義については24ページを参照。

参考文献

• V. Chiochia (2010)チューリッヒ大学の加速器と粒子検出器

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