4次元多面体

Four-dimensional geometric object with flat sides

6つの凸正則4次元多面体のグラフ

{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
5細胞 ペンタトープ 4単体	16細胞 オルソプレックス 4細胞オルソプレックス	8セルの Tesseract 4キューブ
{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
24セル オクタプレックス	600セル テトラプレックス	120細胞 ドデカプレックス

幾何学において、 4次元多面体（4-polytope 、ポリクロロン^[1] 、ポリセル[2] 、ポリヘドロイド[3]とも呼ばれる）は、 4次元 多面体である。^{[2] [3]}は、頂点、辺、面（多角形）、セル（多面体）といった低次元多面体要素から構成される、連結した閉じた図形である。各面はちょうど2つのセルによって共有される。4次元多面体は、1853年以前にスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって発見された。^[4]

4 次元多面体の 2 次元類似体は多角形であり、 3 次元類似体は多面体です。

位相的に、4次元多面体は、3次元空間をタイル状に敷き詰める立方体ハニカムなどの一様ハニカムと密接な関係があります。同様に、3次元立方体は、無限の2次元正方形タイル張りと関連しています。凸4次元多面体は、3次元空間において網目状に切断したり展開したりすることができます。

意味

4次元多面体は、閉じた4次元図形です。頂点（角）、辺、面、セルで構成されます。セルは面の3次元版であり、したがって多面体です。各面は2つのセルと正確に結合する必要があります。これは、多面体の各辺が2つの面とのみ結合するのと同様です。他の多面体と同様に、4次元多面体の要素は、同じく4次元多面体である2つ以上の集合に分割することはできません。つまり、4次元多面体は複合図形ではありません。

幾何学

凸正四次元多面体は、プラトン立体の四次元版です。最もよく知られている四次元多面体は、立方体の四次元版であるテッセラクト（超立方体）です。

凸正則4次元多面体は、同じ半径における4次元コンテンツ（超体積）の尺度として、大きさで順序付けることができます。この列における大きな多面体はそれぞれ、前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くのコンテンツ^{[5]を囲んでいます。4次元単体（5セル）が極限最小の場合であり、120セルが最大です。複雑さ（}配置行列の比較、または単に頂点数で測定）も同様の順序付けに従います。

正凸4次元多面体
対称群	A4​	B4​		F4​	H4​
名前	5セル 超四面体 5点	16セル 超八面体 8点	8セル ハイパーキューブ 16ポイント	24セル 24ポイント	600セル 超二十面体 120点	120セル 超十二面体 600ポイント
シュレーフリ記号	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
コクセターミラー
鏡面二面角	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
グラフ
頂点	5つの四面体	8面体	16 四面体	24立方体	120面体	600 四面体
エッジ	10個の三角形	24平方	32 三角形	96三角形	720五角形	1200 三角形
顔	10個の三角形	32個の三角形	24個の正方形	96個の三角形	1200個の三角形	720個の五角形
細胞	5つの四面体	16個の四面体	8個のキューブ	24個の八面体	600個の四面体	120面体
トリ	1 5面体	2 8面体	2 4キューブ	4 6面体	20 30四面体	12 10面体
内接	120セルで120個	120セルで675	2 16セル	3 8セル	25 24セル	10 600セル
素晴らしいポリゴン		2つの正方形×3	長方形4つ×4	4つの六角形×4	12角形×6	不規則な六角形100 個x 4
ペトリー多角形	五角形1個×2	八角形1個×3	八角形2個×4	十二角形2個×4	30角形4個×6	30角形20個×4
長半径	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
エッジの長さ	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
短い半径	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
エリア	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
音量	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-コンテンツ	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

視覚化

24セルのいくつかのプレゼンテーション

断面		ネット
予測
シュレーゲル	2D直交	3D直交

4次元多面体は、その余分な次元のため、3次元空間では見ることができません。4次元多面体を視覚化するために、いくつかの手法が用いられます。

正射影

直交投影は、 4次元多面体の様々な対称方向を示すために使用できます。2次元では頂点-辺グラフとして描画でき、3次元では立体面を可視射影包として描画できます。

透視投影

3次元形状を平らなシートに投影できるのと同様に、4次元形状を3次元空間、あるいは平らなシートに投影することができます。一般的な投影法の一つにシュレーゲル図があります。これは、 3次元球面上の点を3次元空間に投影し、直線、面、そして3次元空間に描かれたセルで結んだ立体投影図です。

断面

多面体を切断すると切断面が現れるのと同様に、4次元多面体を切断すると三次元の「超曲面」が現れます。このような切断面を連続的に観察することで、全体の形状を理解することができます。余分な次元を時間と等しくすることで、これらの断面を滑らかにアニメーション化することができます。

ネット

4 次元多面体のネットは、面で接続され、すべて同じ 3 次元空間を占める多面体セルで構成されます。これは、多面体のネットのポリゴン面が辺で接続され、すべて同じ平面を占めるのと同じです。

位相特性

マックス・ブルックナー(1909)による 8 つのセルを持つ 4 次元多面体。四次元体のシュレーゲル図も含まれています。

任意の4次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[6]

多面体を特徴付けるために用いられるオイラー標数の値は、高次元には有用に一般化できず、その基礎となる位相に関わらず、すべての4次元多面体に対して0となる。高次元において異なる位相を確実に区別するにはオイラー標数が不十分であるというこの事実が、より洗練されたベッティ数の発見につながった。^[6]

同様に、多面体の向き付け可能性の概念は、トーラス状4次元多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^[6]

分類

基準

すべての多面体と同様に、4 多面体は「凸性」や「対称性」などの特性に基づいて分類できます。

• 4次元多面体は、その境界（セル、面、辺を含む）が自己交差せず、かつ4次元多面体の任意の2点を結ぶ線分が4次元多面体またはその内部に含まれる場合、凸面である。そうでない場合、非凸面である。自己交差する4次元多面体は、非凸星型多角形やケプラー・ポアンソ多面体の星型形状との類似性から、星型4次元多面体とも呼ばれる。
• 4次元多面体は、その旗に関して推移的である場合に正多面体である。これは、そのセルがすべて合同な正多面体であり、同様にその頂点図形も合同で、別の種類の正多面体であることを意味する。
• 凸4次元多面体は、対称群においてすべての頂点が等価（頂点推移的）であり、かつそのセルが正多面体である場合、半正多面体である。セルは、面の種類が同じであれば、2種類以上あってもよい。 1900年にソロルド・ゴセットによって特定されたのは、修正5セル、修正600セル、およびスナブ24セルの3つの場合のみである。
• 4次元多面体は、すべての頂点が等価となる対称群を持ち、そのセルが一様多面体である場合、一様多面体である。一様4次元多面体の面は必ず正多面体でなければならない。
• 4次元多面体は、頂点推移性を持ち、すべての辺の長さが等しい場合、楔形多面体と呼ばれます。これにより、正面凸ジョンソン立体のように、セルが一様でない形状も可能になります。
• 正 4 次元多面体であり、かつ凸面でもあるものを、凸正 4 次元多面体といいます。
• 4次元多面体は、2つ以上の低次元多面体の直積である場合、プリズマティック多面体です。プリズマティック4次元多面体は、その因数が一様である場合、一様です。超立方体はプリズマティック（2つの正方形の積、または立方体と線分の積）ですが、因数から継承される対称性以外の対称性を持つため、別途考慮されます。
• 3次元空間のタイリングまたはハニカムは、 3次元ユークリッド空間を多面体セルの繰り返し格子に分割したものです。このようなタイリングまたはモザイクは無限であり、「4次元」の体積を囲まず、無限4次元多面体の例です。3次元空間の一様タイリングとは、頂点が合同で空間群によって関連し、セルが一様多面体であるものです。

クラス

以下に、上記の基準に従って分類された 4 次元多面体のさまざまなカテゴリを示します。

切頂120セルは、47個の凸非柱状一様4次元多面体のうちの1つである。

一様4次元多面体（頂点推移的）:

• 凸一様4次元多面体（64個、さらに2つの無限族）
  • 47 個の非柱状凸一様 4 次元多面体には以下が含まれます。
    • 6凸正4次元多面体
  • プリズマティック均一4次元多面体:
    • {} × {p,q} : 18 個の多面体超プリズム（立方体超プリズム、正多面体を含む）
    • 反プリズム上に構築されたプリズム（無限族）
    • {p} × {q} :デュオプリズム（無限族）
• 非凸一様4次元多面体（10 + 未知数）

  

  120 個の細胞からなる大星型多面体は、10 個の通常の星型 4 多面体の中で最大のもので、600 個の頂点を持ちます。

  • 10 (通常)シュレーフリ-ヘス ポリトープ
  • 非凸一様多面体上に構築された57個の超プリズム
  • 非凸一様4次元多面体の総数は不明である。ノーマン・ジョンソンと他の協力者は、 Stella4Dソフトウェアによって頂点図形によって構築された2191の形式（凸型と星型、無限族を除く）を特定した。^[7]

その他の凸4次元多面体:

• 多面体ピラミッド
• 多面体両錐体
• 多面体プリズム

正立方ハニカムは、ユークリッド 3 次元空間における唯一の無限正 4 次元多面体です。

ユークリッド3次元空間の無限均一4次元多面体（凸均一セルの均一なモザイク）

• 28 個の凸均一ハニカム: 均一凸多面体タイル分割。以下を含む:
  • 1つの正多角形、立方ハニカム: {4,3,4}

双曲型3次元空間の無限均一4次元多面体（凸均一セルの均一なタイル張り）

• 双曲空間における76 個のウィソフ凸均一ハニカム。これには以下が含まれます。
  • コンパクト双曲型3次元空間の4つの正則なタイル分割: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

双対一様4次元多面体（セル推移的）:

• 41個のユニークな双凸一様4次元多面体
• 17個のユニークな双凸均一多面体プリズム
• 双凸均一デュオプリズム（不規則な四面体セル）の無限族
• 以下を含む 27 個のユニークな凸型二重均一ハニカム:
  • 菱形十二面体ハニカム
  • 二蝶形四面体ハニカム

その他:

• ウィア・フェラン構造不規則なセルを持つ周期的な空間充填ハニカム

11 セルは、実射影平面に存在する抽象的な正 4 次元多面体であり、11 個の半二十面体の頂点とセルをインデックスと色で表示することで確認できます。

抽象的な正4次元多面体:

• 11セル
• 57セル

これらのカテゴリには、高い対称性を示す4次元多面体のみが含まれます。他にも多くの4次元多面体が存在する可能性がありますが、これらのカテゴリに含まれるものほど広範囲に研究されていません。

参照

• 正4次元多面体
• 3次元球面– 4次元空間における球面の類似体。多面体セルで囲まれていないため、4次元多面体ではない。
• デュオシリンダーは、デュオプリズムに関連する4次元空間上の図形です。また、その境界体積が多面体ではないため、4次元多面体ではありません。

参考文献

注記

1. NWジョンソン：幾何学と変換、（2018） ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.1多面体とハニカム、p.224
2. Vialar, T. (2009). 複雑かつカオス的な非線形ダイナミクス：経済と金融の進歩. Springer. p. 674. ISBN 978-3-540-85977-2。
3. Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. (2010). モデル、人工ニューラルネットワーク、芸術における数学の応用. Springer. p. 598. doi :10.1007/978-90-481-8581-8. ISBN 978-90-481-8580-1。
4. Coxeter 1973, p. 141, §7-x. 歴史的考察。
5. Coxeter 1973, pp. 292–293, 表I(ii): 4次元における16個の正多面体 { p, q, r }: [各4次元多面体の20個の計量すべてを辺の長さ単位で示す貴重な表。単位半径の多面体を比較するには、代数的に変換する必要がある。]
6. Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topopology、プリンストン、2008年。
7. Uniform Polychora、ノーマン・W・ジョンソン（ウィートン大学）、2005年の症例数は1845件

参考文献

• HSMコクセター：
  • コクセター, HSM (1973) [1948].正多面体（第3版）. ニューヨーク: ドーバー.
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller：Uniform Polyhedra、Philosophical Transactions of the Royal Society of London、ロンドン、1954年
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH ConwayとMJT Guy : 4 次元アルキメデス多面体、コペンハーゲン凸性コロキウムの議事録、38 および 39 ページ、1965 年
• NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
• 4次元アルキメデス多面体（ドイツ語）、マルコ・メラー、2004年博士論文[1] 2005年3月22日アーカイブ、Wayback Machine

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ポリコロン」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック W.「多面体公式」。マスワールド。
• ワイススタイン、エリック・W.「正則多次元オイラー特性」。MathWorld。
• ユニフォーム・ポリコーラ、ジョナサン・バウアーズ
• Uniform Polychoron Viewer - ソース付きJava3Dアプレット
• R. クリッツィング、ポリコラ

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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