4-dimensional analogue of force used in theories of relativity
特殊相対性理論 では 、 4 元力は古典的な 力 に代わる 4 元ベクトル です 。
特殊相対論では 四元力は、粒子の 固有時間 に対する粒子の 四元運動量 の変化率として定義されます。したがって、
F = d P d τ . {\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }.}
一定不変質量 の粒子の場合 、四元運動量は関係式 で与えられます。 ここでは 四元速度 です。 ニュートンの第二法則 と同様に 、四元力と 四元加速度 は、 次の式で関連付けることができます。 m > 0 {\displaystyle m>0} P = m U {\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} } U = γ ( c , u ) {\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )} A {\displaystyle \mathbf {A} }
F = m A = ( γ f ⋅ u c , γ f ) . {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right).}
ここ
f = d d t ( γ m u ) = d p d t {\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}
そして
f ⋅ u = d d t ( γ m c 2 ) = d E d t . {\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}
ここで 、、 は それぞれ粒子の速度、運動量、粒子に作用する力を記述する 3次元 ベクトルであり、 は粒子の全エネルギーです。 u {\displaystyle \mathbf {u} } p {\displaystyle \mathbf {p} } f {\displaystyle \mathbf {f} } E {\displaystyle E}
熱力学的相互作用を含む 前のセクションの公式から、四元力の時間成分は、 相対論的補正を除けば、消費される力 であることがわかります 。これは、熱交換がゼロになるか無視できる、純粋に力学的な状況でのみ当てはまります。 f ⋅ u {\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} } γ / c {\displaystyle \gamma /c}
完全な熱力学的ケースでは、 仕事 だけでなく 熱 もエネルギー変化に寄与し、これが エネルギー・運動量共ベクトル の時間成分となる。この場合、四元力の時間成分には 、仕事に加えて加熱率も含まれる 。 [1] ただし、仕事と熱はどちらも慣性を持つため、意味のある形で分離することはできないことに注意されたい。 [2]この事実は接触力、つまり 応力・エネルギー・運動量テンソル にも当てはまる 。 [3] [2] h {\displaystyle h} f ⋅ u {\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }
したがって、熱機械的な状況では、4元力の時間成分は 電力に比例 せず 、より一般的な表現（ケースバイケース）を持ち、これは仕事と熱の組み合わせからの内部エネルギーの供給を表し、 [2] [1] [4] [3] となり、ニュートン力の極限では となる 。 f ⋅ u {\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} } h + f ⋅ u {\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }
一般相対論では 一般相対性理論 では、4 元力と 4 元加速度 の関係は同じままですが、4 元力の要素は 、固有時間に関する 共変微分 を通じて 4 元運動量 の要素に関連付けられます。
F λ := D P λ d τ = d P λ d τ + Γ λ μ ν U μ P ν {\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}
さらに、異なる座標系間の 座標変換 の概念を用いて力を定式化することができます。粒子が瞬間的に静止している座標系における力の正しい表現を知っていると仮定します。そして、別の座標系への変換を行うことで、対応する力の表現を得ることができます。 [5] 特殊相対性理論 では、この変換は相対的に一定速度で運動する座標系間のローレンツ変換ですが、 一般相対性理論 では 一般座標変換となります。
ある座標系において瞬間的に静止している 質量を持つ粒子に作用する 四元力を考えてみましょう。ある座標系に対して 一定速度で運動する別の座標系における相対論的力は 、ローレンツ変換を用いて次のように表されます。 F μ = ( F 0 , F ) {\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )} m {\displaystyle m} f μ {\displaystyle f^{\mu }} v {\displaystyle v}
f = F + ( γ − 1 ) v v ⋅ F v 2 , f 0 = γ β ⋅ F = β ⋅ f . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^{2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end{aligned}}}
どこ 。 β = v / c {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}
一般相対論 では 、力の表現は次のようになる。
f μ = m D U μ d τ {\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}
共変微分 を持つ 。運動方程式は D / d τ {\displaystyle D/d\tau }
m d 2 x μ d τ 2 = f μ − m Γ ν λ μ d x ν d τ d x λ d τ , {\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}
ここでは クリストッフェル記号 です。外力が作用しない場合、これは 曲がった時空 における 測地線 の方程式となります 。上記の方程式の2番目の項 は重力の役割を果たします。 が 自由落下系 における力の正しい表現である場合 、 等価原理 を用いて任意の座標 における四元力 を次のように表すことができます 。 Γ ν λ μ {\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }} f f α {\displaystyle f_{f}^{\alpha }} ξ α {\displaystyle \xi ^{\alpha }} x μ {\displaystyle x^{\mu }}
f μ = ∂ x μ ∂ ξ α f f α . {\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}
例 特殊相対性理論では、 ローレンツの 4 元力 (電磁場内に位置する荷電粒子に作用する 4 元力) は次のように表現されます。 f μ = q F μ ν U ν , {\displaystyle f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },}
どこ
F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} は電磁テンソル であり 、 U ν {\displaystyle U^{\nu }} は 4元速度 であり、 q {\displaystyle q} は電荷 です 。
参照
参考文献 ^ ab Grot, Richard A.; Eringen, A. Cemal (1966). 「相対論的連続体力学：第1部 力学と熱力学」. Int. J. Engng Sci . 4 (6): 611– 638, 664. doi :10.1016/0020-7225(66)90008-5. ^ abc エッカート, カール (1940). 「不可逆過程の熱力学. III. 単純流体の相対論的理論」. Phys. Rev. 58 ( 10): 919– 924. Bibcode :1940PhRv...58..919E. doi :10.1103/PhysRev.58.919. ^ ab CA Truesdell, RA Toupin: The Classical Field Theories (in S. Flügge (ed.): Encyclopedia of Physics, Vol. III-1 , Springer 1960). §§152–154および288–289。 ^ モーギン, ジェラール・A. (1978). 「連続体の相対論的電磁力学の共変方程式について. I. 一般方程式」. J. Math. Phys . 19 (5): 1198– 1205. Bibcode :1978JMP....19.1198M. doi :10.1063/1.523785. ^ スティーブン・ワインバーグ（1972年） 『重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社 ISBN 0-471-92567-5 。 
