フレームバンドル

Functions in mathematics

メビウスの帯の直交フレーム束は、円上の非自明な主 - 束です。 ${\displaystyle {\mathcal {F_{O}}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

数学において、フレームバンドルとは、任意のベクトルバンドルに関連付けられた主ファイバーバンドル です。点上の のファイバーは、 のすべての順序付き基底、つまりフレームの集合です。一般線型群は基底変換を介してに自然に作用し、フレームバンドルは主-バンドルの構造を持ちます（ただし、kは の階数です）。 ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$

滑らかな多様体の標構束は、その接束に関連付けられた標構束である。このため、標構束は接線標構束と呼ばれることもある。

定義と構築

位相空間上の階数 の実ベクトル束をとする。点におけるフレームはベクトル空間 の順序付き基底である。同様に、フレームは線型同型写像と見ることができる。 ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

で表される におけるすべてのフレームの集合は、可逆行列の一般線型群による自然な右作用を持つ。すなわち、群の要素は合成を介してフレームに作用し、新しいフレームを与える。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}$

のこの作用は自由かつ推移的である（これは、ある基底を別の基底へ変換する可逆な線形変換が唯一存在するという標準的な線型代数の結果から導かれる）。位相空間として、はと同相であるが、「優先フレーム」がないため群構造を欠く。この空間は-トルソーであると言われる。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

またはで表わされる のフレームバンドルは、のすべての の互いに素な和集合です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}$

の各点は( x , p )のペアであり、 は の点、は の座標系である。を に送る自然な射影が存在する。群は上記のように右側に作用する。この作用は明らかに自由であり、軌道はのファイバーに等しい。 ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi :F(E)\to X}$ ${\displaystyle (x,p)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \pi }$

主束構造

フレームバンドルには、 の位相とバンドル構造によって決まる自然な位相とバンドル構造を与えることができる。をの局所自明化とする。すると、各x ∈ U _iに対して線型同型 が存在する。このデータから、一対一の関係が決定される。 ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle \psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

与えられた

${\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\phi _{i,x}\circ p).}$

これらの全単射により、それぞれに の位相を与えることができる。 上の位相は、包含写像 によって共誘起される最終的な位相である。 ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})}$ ${\displaystyle U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)}$

上記のデータすべてを用いると、フレームバンドルは上の主ファイバーバンドルとなり、構造群と局所自明化がとなる。の遷移関数は の遷移関数と同じであることが確認できる。 ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$

上記はすべて滑らかなカテゴリでも機能します。 が滑らかな多様体上の滑らかなベクトルバンドルである場合、 のフレームバンドルには上の滑らかな主バンドルの構造を与えることができます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

関連するベクトル束

ベクトル束とその標構束は、付随束である。互いに決定し合う。標構束は上記のようにして構築することも、より抽象的にファイバー束構成定理を用いて構築することもできる。後者の方法を用いると、は、抽象ファイバーと同じ基底、構造群、自明化近傍、遷移関数を持つファイバー束となる。ただし、ファイバー に対する構造群の作用は左乗法となる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$

任意の線形表現 が与えられた場合、ベクトル束が存在する。 ${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )}$

${\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}$

に関連付けられている は、内のすべての に対する同値関係を法とした積によって与えられます。同値類を で表します。 ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle F(E)\times V}$ ${\displaystyle (pg,v)\sim (p,\rho (g)v)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [p,v]}$

ベクトル束は、上の の基本表現であるの束と自然に同型である。同型性は次のように与えられる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}$

ここでは のベクトルであり、は におけるフレームです。この写像がとして定義されていることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

に関連する任意のベクトル束は、上記の構成によって与えられます。例えば、の双対束はで与えられます。ここでは基本表現の双対です。のテンソル束も同様の方法で構成できます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle E}$

接線フレームバンドル

滑らかな多様体の接線標構束（または単に標構束）は、の接線束に関連付けられた標構束である。 の標構束は、ではなくまたは と表記されることが多い。物理学では、 と表記されることもある。 が-次元の場合、接線束の階数はなので、 の標構束は上の主束となる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (M)}$ ${\displaystyle F(TM)}$ ${\displaystyle LM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$

滑らかなフレーム

の標構束の局所切断は、上の滑らかな標構と呼ばれる。主束の断面定理は、 の任意の開集合（滑らかな標構を許容する）上で標構束が自明であることを述べている。滑らかな標構が与えられた場合、自明化は次のように与えられる 。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s:U\to FU}$ ${\displaystyle \psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}$

ここで、 は におけるフレームです。多様体は、のフレームバンドルが大域切断を許容する場合に限り、平行化可能であるといえます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

の接バンドルは の座標近傍上で自明化可能であるため、フレームバンドルも同様である。実際、任意の座標近傍と座標ベクトル場 が与えられれば、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}$

上に滑らかなフレームを定義します。フレームバンドルを用いる利点の一つは、座標フレーム以外のフレームを扱えることです。つまり、問題に適したフレームを選択できるのです。これは移動フレーム法と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle U}$

はんだ付けフォーム

多様体の標構バンドルは、その幾何学が の幾何学に根本的に結びついているという意味で、特別な種類の主バンドルである。この関係は、はんだ形式（基本1形式またはトートロジー1形式とも呼ばれる）と呼ばれる上のベクトル値1形式によって表現できる。を多様体の点とし、における標構とすると、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M}$

はの接空間におけるの線型同型である。 のはんだ形式はで定義される値1形式である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )}$

ここで、ξは点におけるへの接ベクトルであり、はフレーム写像の逆写像、 は射影写像の微分である。はんだ形式は、 のファイバーに接するベクトル上では消えるという意味で水平であり、 は右同変であるという意味で右同変である。 ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle (x,p)}$ ${\displaystyle p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\pi }$ ${\displaystyle \pi :FM\to M}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }$

ここでは による正しい平行移動である。これらの性質を持つ形式は上の基本形式またはテンソル形式と呼ばれる。このような形式は上の -値1形式と1-1対応しており、さらに上の滑らかなバンドル写像と1-1対応している。この観点から見ると、上の恒等写像とちょうど同じである。 ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle TM}$

命名規則として、「トートロジー一形式」という用語は、通常、本文のように形式が標準的な定義を持つ場合に用いられ、「はんだ形式」という用語は、形式が標準的な定義を持たない場合に用いられる。しかし、本文ではこの規則は適用されていない。

直交フレームバンドル

ベクトル束がリーマン束計量を備えている場合、各ファイバーはベクトル空間であるだけでなく、内積空間でもある。このとき、のすべての直交座標系の集合について議論することが可能になる。 の直交座標系はの順序付き直交基底、あるいはそれと同値な線型等長座標である。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}$

ここでは標準的なユークリッド計量を備えている。直交群は、右合成を介してすべての直交座標系の集合に自由かつ推移的に作用する。言い換えれば、すべての直交座標系の集合は右-トルソーである。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

の直交フレームバンドル（と表記）は、基底空間 の各点におけるすべての直交フレームの集合である。これは、通常のフレームバンドルと全く同様の方法で構築できる。階数リーマンベクトルバンドルの直交フレームバンドルは、上の主 -バンドルである。この構成は、滑らかなカテゴリでも同様に機能する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$ ${\displaystyle X}$

ベクトル束が向き付け可能である場合、の向き付けされた直交フレーム束（と表記）を、すべての正向きの直交フレームの主 - 束として定義することができます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (k)}$

が-次元リーマン多様体である場合、 の直交座標系バンドル（またはと表記）は、 の接線バンドル（定義によりリーマン計量を備える）に関連付けられた直交座標系バンドルである。が向き付け可能である場合、向き付けされた直交座標系バンドル も存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {SO} }M}$

リーマンベクトル束が与えられたとき、直交フレーム束は一般線型フレーム束の主部分束となる。言い換えれば、包含写像は ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

${\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}$

は主束写像である。は からへの構造群の縮約であると言える。 ${\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (k)}$

G-構造

滑らかな多様体に付加的な構造が付随する場合、その構造に適合する完全な標構束の部分束を考えるのが自然な場合が多い。例えば、 がリーマン多様体である場合、 の直交標構束を考えるのが自然であることは既に述べた。直交標構束は、 の構造群を直交群 に縮約したものに過ぎない。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$

一般に、が滑らかな-多様体でが のリー部分群である場合、上のG -構造をの構造群のへの縮約として定義する。明示的には、これは上の主-バンドルと、-同変バンドル写像である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{G}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}$

以上。 ${\displaystyle M}$

この言語では、 上のリーマン計量は上の -構造を生じます。以下に他の例をいくつか示します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle M}$

• すべての有向多様体には、上の -構造である有向フレームバンドルがあります。 ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• 上の体積形式は上の -構造を決定します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• 次元シンプレクティック多様体は自然な構造を持ちます。 ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$
• -次元複素多様体またはほぼ複素多様体は自然な-構造を持ちます。 ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

これらの例の多くでは、上の -構造は上の対応する構造を一意に決定します。例えば、上の -構造は上の体積形式を決定します。しかし、シンプレクティック多様体や複素多様体など、場合によっては追加の積分可能条件が必要になります。上の -構造は上の非退化2-形式を一意に決定しますが、 がシンプレクティックであるためには、この2-形式も で閉じている必要があります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

参考文献

• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30 , retrieved 2008-08-02
• スターンバーグ、S.（1983）、微分幾何学講義（第2版）、ニューヨーク：チェルシー出版社、ISBN 0-8218-1385-4

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