マグマ（代数）

抽象代数学において、マグマ、二項演算子^[1]、あるいは稀に群素は、代数構造の基本的な種類である。具体的には、マグマは定義により閉じた単一の二項演算子を備えた集合から構成される。その他の性質は課されない。

歴史と用語

群体という用語は、1927年にハインリヒ・ブラントがブラント群体について記述した際に導入されました。その後、B. A. ハウスマンとオイステイン・オーレ(1937) ^[2]によって、この論文で用いられている意味（二項演算を伴う集合）でこの用語が採用されました。その後Zentralblatt誌に掲載されたいくつかの論文のレビューにおいて、ブラントはこの用語の過剰な使用に強く反対しました。ブラント群体は圏論で用いられる意味での群体であり、ハウスマンとオーレが用いた意味での群体ではありません。しかしながら、クリフォードとプレストン(1961) やハウイー(1995) といった半群論における影響力のある書籍では、ハウスマンとオーレの意味で群体を使用しています。ホリングス (2014) は、群体という用語は「おそらく現代数学で最も頻繁に使用されている」のは圏論で与えられた意味であると記しています。^[3]

バーグマンとハウスクネヒト（1996）によると、「必ずしも結合的ではない二項演算を持つ集合を表す、一般的に受け入れられている用語はない。群体（groupoid）という言葉は多くの普遍代数学者によって使用されているが、圏論や関連分野の研究者は、この用法に強く反対している。なぜなら、彼らは同じ言葉を「すべての射が可逆である圏」という意味で使用しているからである。マグマ（magma）という用語は、セール（Lie Algebras and Lie Groups, 1965）によって使用された。」^[4]また、ブルバキの『数学の原論』（Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970）にも登場する。^[5]

意味

マグマとは、任意の2つの要素a , b ∈ Mを別の要素a • b ∈ Mに渡す演算• を持つ集合 Mである。記号 • は、適切に定義された演算のための一般的なプレースホルダーである。M 内のすべての a , b に対して、演算 a • b の結果も M に含まれるというこの要件は、マグマ性または閉包性と呼ばれる。数学的記法では次のように表される。

\forall a,b\colon a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

もし•が部分演算であるならば、( M ,•)は部分マグマ^[6]または、より一般的には部分群と呼ばれる。^[6]^[7]

マグマの形態形成

マグマの射影は、マグマ( M、 • )をマグマ( N、 ∗ )に写像し、二項演算を保存する関数f : M → Nである。

f ( x • y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) です。

たとえば、Mが正の実数、•が幾何平均、N が実数直線、∗ が算術平均の場合、対数 fはマグマ ( M、•) から ( N、∗) への写像です。

証拠：

\log {\sqrt {xy}}\ =\ {\frac {\log x+\log y}{2}}.}

これらの可換マグマは結合的ではなく、単位元も持たないことに注意してください。このマグマの射は、1863年にW・スタンレー・ジェヴォンズが著書『金の価値の深刻な下落の検証』 （7ページ）でイギリスにおける39種の商品のインフレ率を計算して以来、経済学で利用されてきました。

表記法と組み合わせ論

マグマ演算は繰り返し適用することができ、一般に非結合的な場合には順序が重要となり、括弧で囲んで表記されます。また、演算•は省略され、並置表記されることがよくあります。

(a • (b • c)) • d \equiv (a (bc)) d

.

括弧の数を減らすために、しばしば省略形が用いられます。省略形では、最も内側の演算と括弧のペアが省略され、単に並置されます。例： $xy • z \equiv (x • y) • z$ 。例えば、上記の式は括弧を含みつつ、以下のように省略されます。

(a • bc) d

.

括弧の使用を完全に避ける方法としては、前置記法があります。前置記法では、同じ式は $•• a • bcd$ と書きます。プログラマーに馴染みのある別の方法としては、後置記法（逆ポーランド記法）があります。後者では、同じ式は $abc •• d •$ と書きます。この場合、実行順序は単純に左から右（カリー化なし）です。

マグマの要素を表す記号と、釣り合った括弧の集合からなるすべての可能な文字列の集合は、ダイク言語と呼ばれます。マグマ演算子の $n$ 通りの適用の書き方の総数は、カタラン数 $C n$ で与えられます。したがって、たとえば $C 2 = 2は、$ $(ab) c$ と $a (bc)$ が、2 つの演算でマグマの 3 つの要素を組み合わせる唯一の 2 つの方法であるというステートメントです。より自明ではないのは、 $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ 、 $(a (bc)) d$ 、 $(ab)(cd)$ 、 $a ((bc) d)$ 、および $a (b (cd))$ です。

$n$ 個の元素を持つマグマは $n n 2個$ あるので、1、1、16、19683、4 294 967 296 , ... ( OEISの配列A002489 ) のマグマは、0、1、2、3、4、... の元素で構成されています。対応する非同型マグマの数は 1、1、10、3330、178 981 952 、...（ OEISのシーケンスA001329）であり、同時に非同形および非反同形であるマグマの数は1、1、7、1734、89 521 056 、…（ OEISの配列A001424）。^[8]

自由マグマ

集合X上の自由マグマ M _Xは、 Xによって生成される「最も一般的な」マグマです（つまり、生成元に関係や公理が課せられていないということです。自由対象を参照してください）。M _X上の二項演算は、 2つの被演算子をそれぞれ括弧で囲み、同じ順序で並べることによって形成されます。例えば、

a • b = (a)(b)、

a • (a • b) = (a)((a)(b))、

(a • a) • b = ((a)(a))(b)。

M _Xは括弧を保持したX上の非結合語の集合として記述できる。^[9]

これは、コンピュータサイエンスでよく使われる用語で言えば、 Xの要素でラベル付けされた葉を持つ完全二分木のマグマと見なすこともできます。この操作は、木を根で結合する操作です。

自由マグマは、 f : X → NがXから任意のマグマNへの関数である場合、マグマの射f ′へのfの唯一の拡張が存在するという普遍的な性質を持っています。

f ′ : M _X → N。

マグマの種類

マグマはそれ自体として研究されることはあまりありません。むしろ、操作が満たすべき公理に応じて、いくつかの異なる種類のマグマが存在します。一般的に研究されているマグマの種類には、以下のものがあります。

準群:分割が常に可能なマグマ。
- ループ:単位元を持つ準群。
半群:演算が結合的であるマグマ。
- モノイド: 単位元を持つ半群。
グループ: 逆元、結合元、単位元を持つマグマ。

除算可能性と可逆性のそれぞれは、キャンセル特性を意味することに注意してください。

可換性を持つマグマ

可換マグマ：可換性を持つマグマ。
可換モノイド: 可換性を持つモノイド。
アーベル群: 可換性を持つ群。

特性による分類

グループのような構造
	合計	連想	身元	分割可能	可換性
部分的なマグマ	不要	不要	不要	不要	不要
半群体	不要	必須	不要	不要	不要
小規模カテゴリ	不要	必須	必須	不要	不要
群体	不要	必須	必須	必須	不要
マグマ	必須	不要	不要	不要	不要
準群	必須	不要	不要	必須	不要
ユニタルマグマ	必須	不要	必須	不要	不要
ループ	必須	不要	必須	必須	不要
セミグループ	必須	必須	不要	不要	不要
モノイド	必須	必須	必須	不要	不要
グループ	必須	必須	必須	必須	不要
アーベル群	必須	必須	必須	必須	必須

マグマ $(S, •)$ （ $x, y, u, z$ ∈ $S$ ）は、

内側: $xy$ $•$ $uz$ $\equiv$ $xu$ $•$ $yz$ を満たす場合
左半内側: $xx$ $•$ $yz$ $\equiv$ $xy$ $•$ $xz$ の恒等式を満たす場合
右半内側: $yz$ $•$ $xx$ $\equiv$ $yx$ $•$ $zx$ の恒等式を満たす場合
半内側: 左半内側と右半内側の両方の場合
左分配法: $x$ $•$ $yz$ $\equiv$ $xy$ $•$ $xz$ を満たす場合
右分配法: $yz$ $・$ $x\equivyx$ $・$ $zx$ $の恒等式$ $を$ 満たす場合
自動配布: 左分配と右分配の両方の場合
可換性: $xy$ $\equiv$ $yx$ を満たす場合
べき等性: $xx\equivx$ $の恒等式$ $を$ 満たす場合
単能性: $xx\equivyy$ $の恒等$ $式$ を満たす場合
ゼロポテンシャル: $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]の恒等式を満たす場合
代替: $xx • y \equiv x • xy$ と $x$ $•$ $yy$ $\equiv$ $xy$ $•$ $y$ の等式を満たす場合
パワーアソシエイティブ: 任意の元素によって生成されたサブマグマが結合的である場合
フレキシブル: $xy$ $•$ $x$ $\equiv$ $x$ $•$ $yx$ の場合
連想: $x • yz \equiv xy • z$ を満たす場合、半群と呼ばれる
左片側: $xy\equivxz$ $の恒等式$ $を$ 満たす場合
右片麻痺: $yx$ $\equiv$ $zx$ を満たす場合
乗算がゼロの半群、またはヌル半群: $xy$ $\equiv$ $uv$ の恒等式を満たす場合
ユニタル: アイデンティティ要素がある場合
左相殺: $すべてのx 、 y 、 z$ について、関係 $xy = xzが$ $y$ $=$ $z$ を意味する場合
右相殺: $すべてのx 、 y 、 z$ について、 $yx = zxの関係が$ $y$ $=$ $z$ を意味する場合
相殺的: 右キャンセルと左キャンセルの両方の場合
左零点を持つ半群: $それが半群であり、恒等式xy$ $\equiv$ $x$ を満たす場合
右零点を持つ半群: $それが半群であり、恒等式$ $yx\equivx$ $を$ 満たす場合
三内側: （必ずしも異なるとは限らない）任意の３つの要素が中間サブマグマを生成する場合
エントロピー: それが中性相殺マグマの準同型像である場合。^[11]
中央: $もしそれが$ $xy$ $・$ $yz\equivy$ $を$ 満たすならば

与えられた特性を満たすマグマの数

冪等性	交換法則	結合法則	キャンセルプロパティ	OEIS配列（ラベル付き）	OEISシーケンス（同型クラス）
不要	不要	不要	不要	A002489	A001329
必須	不要	不要	不要	A090588	A030247
不要	必須	不要	不要	A023813	A001425
不要	不要	必須	不要	A023814	A001423
不要	不要	不要	必須	A002860 a(0)=1 を加える	A057991
必須	必須	不要	不要	A076113	A030257
必須	不要	必須	不要
必須	不要	不要	必須
不要	必須	必須	不要	A023815	A001426
不要	必須	不要	必須		A057992
不要	不要	必須	必須	A034383 a(0)=1 を加える	A000001（a(0)=0ではなく1）
必須	必須	必須	不要
必須	必須	不要	必須		n=0およびすべての奇数nに対してa(n)=1、n≥2のすべての偶数nに対してa(n)=0
必須	不要	必須	必須	a(0)=a(1)=1, a(n)=0（n≥2の場合）	a(0)=a(1)=1, a(n)=0（n≥2の場合）
不要	必須	必須	必須	A034382 a(0)=1 を加える	A000688 a(0)=1 を加える
必須	必須	必須	必須	a(0)=a(1)=1, a(n)=0（n≥2の場合）	a(0)=a(1)=1, a(n)=0（n≥2の場合）

マグマの分類

マグマの圏Magは、その対象がマグマであり、その射がマグマ準同型である圏である。圏Magは直積を持ち、包含関手: Set ↪ Mag を自明なマグマとみなし、その演算は射影 $x$ $T$ $y$ $=$ $y$ で与えられる。より一般に、Magは代数的であるため、完備圏である。^[12]

重要な特性は、注入的な自己準同型がマグマ拡大の自己同型、つまり（の定数列）自己準同型性の極限まで拡張できることです。

参照

参考文献

^ バーグマン、クリフォード（2011）、ユニバーサル代数：基礎と選択されたトピック、CRCプレス、ISBN 978-1-4398-5130-2
^ ハウスマン, BA; オーレ, オイスタイン (1937年10月)、「準群の理論」、アメリカ数学誌、59 (4): 983– 1004、doi :10.2307/2371362、JSTOR 2371362 。
^ ホリングス、クリストファー（2014）、鉄のカーテンを越えた数学：半群の代数理論の歴史、アメリカ数学会、pp. 142-143、ISBN 978-1-4704-1493-1。
^ バーグマン、ジョージ・M.; ハウスクネヒト、アダム・O. (1996)、「連想環のカテゴリーにおける共群と共環」、アメリカ数学会、p. 61、ISBN 978-0-8218-0495-7。
^ Bourbaki, N. (1998) [1970]、「代数構造：§1.1 合成法則：定義1」、代数I：第1章～第3章、Springer、p.1、ISBN 978-3-540-64243-5。
^ ab ミュラー＝ホイッセン、フォルケルト;パロ、ジャン・マルセル。スタシェフ、ジム編。 (2012)、Associahedra、Tamari Lattices and Associated Structures: Tamari Memorial Festschrift、Springer、p. 11、ISBN 978-3-0348-0405-9。
^ Evseev, AE (1988)、「部分群の概観」、Silver, Ben (編)、代数的半群に関する19の論文、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3115-1。
^ ワイスタイン、エリック・W.「グループイド」.マスワールド。
^ Rowen, Louis Halle (2008)、「定義 21B.1」、Graduate Algebra: Noncommutative View、Graduate Studies in Mathematics、American Mathematical Society、p. 321、ISBN 978-0-8218-8408-9。
^ ケプカ、T.; Němec, P. (1996)、「単純なバランスの取れたグループイド」(PDF)、Acta Universitatis Palackianae Olomucensis。ファカルタス・レルム・ナチュラリウム。マセマティカ、35 (1) : 53–60。
^ イェジェク、ヤロスラフ; Kepka、Tomáš (1981)、「Free entropic groupoids」(PDF)、Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae、22 (2): 223–233、MR 0620359。
^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0。

Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「マグマ」、数学百科事典、EMS Press
Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「Groupoid」、数学百科事典、EMS Press
Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「自由マグマ」、数学百科事典、EMS Press
ワイスタイン、エリック・W.「グループイド」。マスワールド。

さらに読む

ブルック、リチャード・ヒューバート（1971年）、バイナリシステムの概説（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-03497-3

[1] バーグマン、クリフォード（2011）、ユニバーサル代数：基礎と選択されたトピック、CRCプレス、ISBN 978-1-4398-5130-2

[2] ハウスマン, BA; オーレ, オイスタイン (1937年10月)、「準群の理論」、アメリカ数学誌、59 (4): 983– 1004、doi :10.2307/2371362、JSTOR 2371362 。

[Hollings2014-3] ホリングス、クリストファー（2014）、鉄のカーテンを越えた数学：半群の代数理論の歴史、アメリカ数学会、pp. 142-143、ISBN 978-1-4704-1493-1。

[BergmanHausknecht1996-4] バーグマン、ジョージ・M.; ハウスクネヒト、アダム・O. (1996)、「連想環のカテゴリーにおける共群と共環」、アメリカ数学会、p. 61、ISBN 978-0-8218-0495-7。

[Bourbaki1998-5] Bourbaki, N. (1998) [1970]、「代数構造：§1.1 合成法則：定義1」、代数I：第1章～第3章、Springer、p.1、ISBN 978-3-540-64243-5。

[Müller-HoissenPallo2012-6] ミュラー＝ホイッセン、フォルケルト;パロ、ジャン・マルセル。スタシェフ、ジム編。 (2012)、Associahedra、Tamari Lattices and Associated Structures: Tamari Memorial Festschrift、Springer、p. 11、ISBN 978-3-0348-0405-9。

[Silver-7] Evseev, AE (1988)、「部分群の概観」、Silver, Ben (編)、代数的半群に関する19の論文、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3115-1。

[8] ワイスタイン、エリック・W.「グループイド」.マスワールド。

[9] Rowen, Louis Halle (2008)、「定義 21B.1」、Graduate Algebra: Noncommutative View、Graduate Studies in Mathematics、American Mathematical Society、p. 321、ISBN 978-0-8218-8408-9。

[10] ケプカ、T.; Němec, P. (1996)、「単純なバランスの取れたグループイド」(PDF)、Acta Universitatis Palackianae Olomucensis。ファカルタス・レルム・ナチュラリウム。マセマティカ、35 (1) : 53–60。

[11] イェジェク、ヤロスラフ; Kepka、Tomáš (1981)、「Free entropic groupoids」(PDF)、Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae、22 (2): 223–233、MR 0620359。

[12] Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0。