解決（代数）

数学、より具体的にはホモロジー代数において、分解（または左分解、二重にコア分解または右分解^[1]）は、特定のモジュールまたはこのカテゴリのオブジェクトの構造を特徴付ける不変量を定義するために使用される、モジュール（またはより一般的には、アーベルカテゴリのオブジェクト）の正確なシーケンスです。通常、矢印が右向きの場合、シーケンスは、（左）分解の場合は左側に無限であり、右分解の場合は右側に無限であると想定されます。ただし、有限分解は、シーケンス内のオブジェクトの有限個のみがゼロ以外の場合です。これは通常、左端のオブジェクト（分解の場合）または右端のオブジェクト（コア分解の場合）がゼロオブジェクトである有限の正確なシーケンスによって表現されます。^[2]

一般に、列内のオブジェクトは、何らかの特性P（例えば自由であること）を持つように制限される。したがって、これをP 解決と呼ぶ。特に、すべてのモジュールには、自由解決、 射影解決、平坦解決が存在する。これらは、それぞれ自由モジュール、射影モジュール、平坦モジュールから構成される左解決である。同様に、すべてのモジュールには、単射解決が存在する。これらは、単射モジュールから構成される右解決である。

モジュールの解像度

定義

環上のモジュールが与えられたとき、の左分解（または単に分解）は-モジュールの正確な列（おそらく無限）である。 $M$ $R$ $M$ $R$

\cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.

準同型写像は境界写像と呼ばれる。写像は拡大写像と呼ばれる。簡潔にするために、上記の解は次のように書ける。 $d_{i}$ $\varepsilon$

E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.

双対概念は右分解（またはコア分解、あるいは単に分解）である。具体的には、環上の加群が与えられたとき、右分解は-加群の無限の正確な列となる可能性がある。 $M$ $R$ $R$

0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,

ここで、それぞれは -加群である（このような解決の双対性を示すために、解決における対象とそれらの間の写像に上付き文字を使用するのが一般的である）。簡潔にするために、上記の解決は次のように書くことができる。 $C^{i}$ $R$

0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.

（共）分解は、含まれる加群のうち有限個のみが非零である場合に有限であると言われる。有限分解の長さは、有限分解における非零加群の最大のインデックスである。 $n$

自由、射影、単射、平坦な解決

多くの場合、与えられた加群Mを解く加群E _iには条件が課されます。例えば、加群Mの自由解は、すべての加群E _iが自由R加群となる左解です。同様に、射影解と平坦解は、すべてのE _i がそれぞれ射影 R加群と平坦R加群となる左解です。単射解は、すべてのC ⁱが単射な加群となる右解です。

全てのR加群は自由左導出を持つ。^[3] ましてや、全ての加群は射影導出と平坦導出も持つ。証明のアイデアは、 E _{0 を}Mの元によって生成される自由R加群と定義し、E _{1 を自然写像}E ₀ → Mの核の元によって生成される自由R加群と定義することである。双対的に、全てのR加群は入射導出を持つ。射影導出（そしてより一般的には平坦導出）はTor 関数を計算するために使用できる。

モジュールMの射影分解は、連鎖ホモトピーを除いて一意です。つまり、M の 2 つの射影分解 P 0 → M と P 1 → M が与えられた場合、それらの間_には連鎖ホモトピーが_存在します。

ホモロジー次元を定義するには、解析が使用されます。モジュールMの有限射影解析の最小の長さは、その射影次元と呼ばれ、pd( M ) と表記されます。たとえば、モジュールの射影次元が 0 になるのは、それが射影モジュールである場合のみです。M が有限射影解析を許容しない場合、射影次元は無限です。たとえば、可換局所環 Rの場合、射影次元が有限になるのは、Rが正則である場合のみであり、この場合、射影次元はRのKrull 次元と一致します。同様に、モジュールに対しても、入射次元id( M ) と平坦次元fd( M ) が定義されます。

右R加群のカテゴリにおいて、Rのホモロジー次元を定義するために、入射次元と射影次元が用いられます。このホモロジー次元はRの右大域次元と呼ばれます。同様に、平坦次元は弱大域次元を定義するために用いられます。これらの次元の振る舞いは環の特性を反映します。例えば、環が右大域次元 0 を持つ場合と、それが半単純環である場合とで同値であり、環が弱大域次元 0 を持つ場合と、それがフォン・ノイマン正則環である場合とで同値です。

段階的モジュールと代数

M を次数代数上の次数付き加群とし、これは体上にその正次数の元によって生成されるものとする。すると、M は 自由分解を持ち、その中で自由加群E _{i は}、 d _iと ε が次数付き線型写像となるような次数を付けることができる。これらの次数付き自由分解のうち、最小の自由分解とは、各E _iの基底元の数が最小となるものである。各E _iの基底元の数とその次数は、次数付き加群のすべての最小の自由分解において同じである。

I が体上の多項式環の同次イデアルである場合、 Iによって定義される射影代数集合のカステルヌオーボ・マンフォード正則性は、 Iの最小自由解析におけるE _iの基底元の次数がすべてriより低くなるような最小の整数rです。

例

自由分解の典型的な例としては、局所環内の正則列のコシュル複体、または体上に有限生成された次数付き代数内の同次正則列のコシュル複体が挙げられる。

X を非球面空間、すなわちその普遍被覆 Eが縮約可能とする。すると、Eの任意の特異（または単体）鎖複体は、環Z上だけでなく群環Z [ π ₁ ( X )]上でも加群Zの自由分解となる。

アーベル圏における解決

アーベル範疇AにおけるオブジェクトMの分解の定義は上記と同じですが、E _iとC ⁱはA内のオブジェクトであり、含まれるすべての写像はA内の射です。

射影的加群と単射的加群の類似概念は、射影的対象と単射的対象、そしてそれぞれ射影的解決と単射的解決である。しかし、そのような解決は一般アーベル圏Aには必ずしも存在する必要はない。Aのすべての対象が射影的（または単射的）解決を持つ場合、A は十分な数の射影的（または十分な数の単射的）解決を持つと言われる。たとえそれらが存在するとしても、そのような解決は扱いが難しい場合が多い。例えば、上で指摘したように、すべてのR加群は単射的解決を持つが、この解決は関数的ではない。すなわち、準同型M → M'と単射的解決が与えられた場合である。

0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},

一般に、との間の写像を得るための関数的な方法は存在しない。 $I_{*}$ $I'_{*}$

一般に射影分解のないアーベル圏

射影分解を持たないアーベル圏の例の一つとして、スキーム上の連接層の圏が挙げられる。例えば、が射影空間である場合、上の任意の連接層は、正確な列によって表現される。 ${\text{Coh}}(X)$ $X$ $X=\mathbb {P} _{S}^{n}$ ${\mathcal {M}}$ $X$

\bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.

最初の2つの項は、に対してとなるため、一般には射影的ではありません。しかし、どちらの項も局所的に自由であり、局所的に平坦です。どちらの層のクラスも、特定の計算においてそのまま使用することができ、導来関数を計算する際の射影的解決を置き換えることができます。 $H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0$ $s>0$

非巡回解決

多くの場合、実際に関心があるのは、導出に現れるオブジェクトではなく、与えられた関数に対する導出の振る舞いである。そのため、多くの状況では非巡回導出の概念が用いられる。例えば、2つのアーベル圏間の左完全関数 F : A → Bが与えられたとき、導出は

0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots

AのオブジェクトMの導来関手R _i F ( E _n ) がすべてのi > 0 およびn ≥ 0 に対して消えるとき、そのオブジェクト M の左解決はF非巡回的であると呼ばれます。同様に、左解決は、その導来関手が解決のオブジェクト上で消えるとき、右完全関手に関して非巡回的です。

例えば、R加群Mが与えられたとき、テンソル積は右完全関数Mod ( R ) → Mod ( R ) である。この関数に関して、すべての平坦な解決は非巡回的である。平坦な解決は、すべてのMによるテンソル積に対して非巡回的である。同様に、すべての関数Hom ( ⋅ , M ) に対して非巡回的な解決は射影的解決であり、関数Hom ( M , ⋅ ) に対して非巡回的な解決は入射的解決である。 $\otimes _{R}M$

任意の左完全（右完全）な関数に対して、任意の入射（射影）解決はF非巡回です。

非巡回解決の重要性は、導来関手R _i F（左完全関手の導来関手、および同様に右完全関手のL _i F ）がF非巡回解決のホモロジーとして得られるという事実にある。つまり、オブジェクトMの非巡回解決が与えられたとき、 $E_{*}$

R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),

ここで右辺は複素数のi番目のホモロジーオブジェクトである。 $F(E_{*}).$

この状況は多くの状況に当てはまります。例えば、微分可能多様体M上の定数層 Rは、滑らかな微分形式の層によって分解できます。 ${\mathcal {C}}^{*}(M)$

0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.

層は細層であり、大域切断関数に関して非巡回であることが知られている。したがって、大域切断関数Γの導来関数である層コホモロジーは次のように計算される。 ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ $\Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)$ $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$

同様に、Godement 解決はグローバルセクション関数に関して非循環的です。

参照

注記

^ Jacobson 2009, §6.5ではcoresolutionが使用されているが、Weibel 1994, Chap. 2のようにright resolution の方が一般的である。
^ nラボでの射影解像度、 n ラボでの解像度
^ ジェイコブソン 2009、§6.5

参考文献

イアン・T・アダムソン（1972）「初等環と加群」、大学数学テキスト、オリバー・アンド・ボイド、ISBN 0-05-002192-3
アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）「可換代数。代数幾何学への視点から」『Graduate Texts in Mathematics』第150巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-94268-8、MR 1322960、Zbl 0819.13001
ジェイコブソン、ネイサン(2009) [1985]、Basic algebra II (Second ed.)、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47187-7
ラング、セルジュ（1993年）、代数学（第3版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-55540-0、Zbl 0848.13001
ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究. 第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4MR 1269324. OCLC 36131259 .

[1] Jacobson 2009, §6.5ではcoresolutionが使用されているが、Weibel 1994, Chap. 2のようにright resolution の方が一般的である。

[2] ラボでの射影解像度、 n ラボでの解像度

[3] ジェイコブソン 2009、§6.5