Electromagnetic radiation due to deceleration of charged particles
原子核の電場によって偏向された高エネルギー電子によって生成される制動放射線 素粒子物理学 では 、 制動放射 ( ; [1] ドイツ語: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ] 制動 放射線（せいどうひゃく 、 ドイツ語の bremsen 「 ブレーキ 」 と Strahlung 「 放射線 」 ）は、 荷電粒子 が 別の荷電粒子（典型的には 電子 と 原子核 減速 に発生する 電磁放射線 運動エネルギーを 、それが放射線（すなわち 光子 ）に変換されるため、 エネルギー保存の法則が満たさ 。この用語は、放射線を生成する過程を指す際にも使用されます。制動放射線は 連続スペクトル 、減速粒子のエネルギー変化が大きくなるにつれて強度が増し、ピーク強度は高周波側へとシフトします。
広義には、制動放射線（または 制動放射） とは、荷電粒子の加速（正または負）によって発生するあらゆる放射線を指します。これには、 シンクロトロン放射 （すなわち、 相対論的粒子 による光子放出）、 サイクロトロン放射 （すなわち、非相対論的粒子による光子放出）、そして ベータ崩壊 中の電子と 陽電子 の放出が含まれます。ただし、この用語は、電子（発生源は問わない）が物質中で減速する際に発生する放射線という、より狭義の意味でよく使用されます。
プラズマ から放出される制動放射線は、 自由-自由放射線 と呼ばれることもあります 。これは、光子の放出前は 自由 （つまり、原子または分子に 束縛されて いない）状態にあり、放出後も自由状態を維持する電子によって生成される放射線です。同様に、 束縛-束縛放射線は離散的な スペクトル線 （電子が2つの束縛状態の間を「ジャンプ」する） を指し、 自由-束縛 放射線は自由電子が イオンと 再結合する放射結合過程を指します。
この記事では、SI 単位とスケールされた単一粒子電荷を使用します 。 q ¯ ≡ q / ( 4 π ϵ 0 ) 1 / 2 {\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}
古典的な説明 最初に一定速度で移動し、その後急停止して発生した制動放射線を示す、（負の）電荷によって生成された電場の磁力線と係数。 量子 効果が無視できる場合 、加速する荷電粒子は、 ラーモアの公式 とその相対論的一般化によって説明されるとおりにエネルギーを放射します。
総放射電力 全放射電力は [2] で 、（粒子の速度÷光速）、 は ローレンツ因子 、 は 真空の誘電率 、 はの時間微分 、 q は 粒子の電荷である。速度が加速度に平行な場合（すなわち直線運動の場合）、式は [3] のように簡約される。
ここで、は加速度である。 例えば シンクロトロン における、速度に垂直な加速度（）の場合 、全放射電力は P = 2 q ¯ 2 γ 4 3 c ( β ˙ 2 + ( β ⋅ β ˙ ) 2 1 − β 2 ) , {\displaystyle P={\frac {2{\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),} β = v c {\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}} γ = 1 / 1 − β 2 {\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}} ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} β ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}} β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} P a ∥ v = 2 q ¯ 2 a 2 γ 6 3 c 3 , {\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},} a ≡ v ˙ = β ˙ c {\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c} β ⋅ β ˙ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0} P a ⊥ v = 2 q ¯ 2 a 2 γ 4 3 c 3 . {\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.}
2つの極限ケースで放射される電力は、 またはに比例します 。 なので 、同じエネルギーを持つ粒子の場合、 放射される電力の合計は または になる こと がわかり、これが、電子が制動放射線によってより重い荷電粒子（ミューオン、陽子、アルファ粒子など）よりもはるかに急速にエネルギーを失う理由を説明しています。これが、TeVエネルギーの電子-陽電子衝突型加速器（提案されている 国際リニアコライダーなど）が円形トンネルを使用できない（一定の加速が必要）のに対し、陽子-陽子衝突型加速器（ 大型ハドロン衝突型加速器 など ）が円形トンネルを利用できる理由です。電子は、陽子よりも 倍高い速度で制動放射線によってエネルギーを失います 。 γ 4 {\displaystyle \gamma ^{4}} ( a ⊥ v ) {\displaystyle \left(a\perp v\right)} γ 6 {\displaystyle \gamma ^{6}} ( a ∥ v ) {\displaystyle \left(a\parallel v\right)} E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}} E {\displaystyle E} m − 4 {\displaystyle m^{-4}} m − 6 {\displaystyle m^{-6}} ( m p / m e ) 4 ≈ 10 13 {\displaystyle (m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^{4}\approx 10^{13}}
角度分布 角度の関数としての放射電力の最も一般的な式は [4] である。
ここで、は 粒子から観測者に向かう 単位ベクトル であり、 は無限小の 立体角 である。 d P d Ω = q ¯ 2 4 π c | n ^ × ( ( n ^ − β ) × β ˙ ) | 2 ( 1 − n ^ ⋅ β ) 5 {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}} n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} d Ω {\displaystyle d\Omega }
速度が加速度に平行な場合（例えば直線運動）、これは [4] のように簡略化されます。
ここで、は 観測方向と 間の角度です 。 d P a ∥ v d Ω = q ¯ 2 a 2 4 π c 3 sin 2 θ ( 1 − β cos θ ) 5 {\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}} θ {\displaystyle \theta } β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
簡略化された量子力学的記述 制動放射の完全な量子力学的扱いは非常に複雑です。1個の電子、1個のイオン、1個の光子の相互作用による「真空の場合」には、純粋クーロンポテンシャルを用いた厳密解が存在し、これはおそらく 1931年に アーノルド・ゾンマーフェルトによって初めて発表されたものです 。[5] この解析解は複雑な数学的要素を含んでおり、KarzasとLatterによる数値計算などがいくつか発表されています。 [6]また、Weinberg [7] やPradlerとSemmelrock による最近の研究などで、近似式も提示されています 。 [8]
このセクションでは、前のセクションの量子力学的な類似物を、重要な物理を説明するためにいくつか簡略化して示します。 質量 、電荷 、初期速度の電子が、電荷 と数密度 の重イオンのガスのクーロン場で減速するという特殊なケースを、非相対論的に扱います。放出される放射線は、周波数 と エネルギー の光子です。 （光子速度空間の立体角 * 光子周波数）あたりの放射電力を両方の横方向光子偏光について合計した 放射率を求めます。 これを 、量子補正およびその他の補正を考慮した
近似的な古典的結果に自由−自由放射の ゴーント因子 g ff を 乗じたものとして表します。の場合 、つまり、電子は光子を放出するのに十分な運動エネルギーを持っていません。 の一般的な量子力学の式は 存在しますが、非常に複雑で、通常は数値計算によって求められます。 次の追加の仮定を加えた近似結果をいくつか示します。 m e {\displaystyle m_{\text{e}}} − e {\displaystyle -e} v {\displaystyle v} Z e {\displaystyle Ze} n i {\displaystyle n_{i}} ν = c / λ {\displaystyle \nu =c/\lambda } h ν {\displaystyle h\nu } j ( v , ν ) {\displaystyle j(v,\nu )} j ( v , ν ) = 8 π 3 3 Z 2 e ¯ 6 n i c 3 m e 2 v g f f ( v , ν ) {\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )} j ( ν , v ) = 0 {\displaystyle j(\nu ,v)=0} h ν > m v 2 / 2 {\displaystyle h\nu >mv^{2}/2} g f f {\displaystyle g_{\rm {ff}}}
真空相互作用：プラズマ遮蔽効果など、背景媒質の影響は無視します。これは、プラズマ電子密度 において、光子周波数が プラズマ周波数 よりもはるかに高い場合、妥当な値です。ただし、光波はエバネッセント波であるため 、大きく異なるアプローチが必要となることに注意してください。 ν p e ∝ n e 1 / 2 {\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}} n e {\displaystyle n_{\text{e}}} ν < ν p e {\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}} ソフト光子: つまり、光子のエネルギーは初期の電子の運動エネルギーよりもはるかに小さくなります。 h ν ≪ m e v 2 / 2 {\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2} これらの仮定のもと、2つの単位のないパラメータがプロセスを特徴づける。 は電子-イオンクーロン相互作用の強さを測るパラメータであり 、 は光子の「柔らかさ」を測るパラメータである。また、 は常に小さいと仮定する（係数2の選択は、後の便宜のためである）。 の極限において 、量子力学的な ボルン近似は 以下を与える。 η Z ≡ Z e ¯ 2 / ℏ v {\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v} η ν ≡ h ν / 2 m e v 2 {\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}} η Z ≪ 1 {\displaystyle \eta _{Z}\ll 1} g ff,Born = 3 π ln 1 η ν {\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}
反対の極限では 、完全な量子力学的結果は純粋に古典的な結果に帰着します
。 ここで、は オイラー・マスケローニ定数 です。 これはプランク定数を含まない純粋に古典的な表現である ことに注意してください 。 η Z ≫ 1 {\displaystyle \eta _{Z}\gg 1} g ff,class = 3 π [ ln ( 1 η Z η ν ) − γ ] {\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]} γ ≈ 0.577 {\displaystyle \gamma \approx 0.577} 1 / η Z η ν = m e v 3 / π Z e ¯ 2 ν {\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu } h {\displaystyle h}
ゴーント因子を理解するための半古典的な発見的な方法は、次のように書くことです。 ここで 、 と は 、光子電場が存在する場合の電子-イオン衝突における「衝突パラメータ」の最大値と最小値です。我々の仮定によれば、 衝突パラメータが大きい場合、光子電場の正弦波振動によって「位相混合」が生じ、相互作用が大幅に減少します。 は、量子力学的なド・ブロイ波長 と古典的な最接近距離のいずれか大きい方であり 、電子-イオンのクーロンポテンシャルエネルギーは電子の初期運動エネルギーに匹敵します。 g ff ≈ ln ( b max / b min ) {\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})} b max {\displaystyle b_{\max }} b min {\displaystyle b_{\min }} b m a x = v / ν {\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu } b m i n {\displaystyle b_{\rm {min}}} ≈ h / m e v {\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v} ≈ e ¯ 2 / m e v 2 {\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}
上記の近似は、対数の引数が大きい限り一般的に適用され、1より小さい場合は破綻します。つまり、ゴーント因子のこれらの形は負になり、これは物理的に不可能です。適切なボルン極限と古典極限を用いた完全な計算の大まかな近似は、次のようになります。 g ff ≈ max [ 1 , 3 π ln [ 1 η ν max ( 1 , e γ η Z ) ] ] {\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}
媒体中の熱制動放射: 放出と吸収 このセクションでは、巨視的媒質における制動放射線放出と逆吸収過程（逆制動放射線と呼ばれる）について論じる。まず、制動放射線だけでなく一般的な過程にも適用される放射伝達方程式から始める。 1 c ∂ t I ν + n ^ ⋅ ∇ I ν = j ν − k ν I ν {\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}
I ν ( t , x ) {\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )} は放射スペクトル強度、つまり（面積 ×光子 速度空間における立体角 × 光子周波数）あたりの、両偏光における合計のパワーです。 は放射率で、 上で定義したものと類似しています 。は吸収率です。 と は 放射ではなく物質の特性であり、媒質中のすべての粒子を考慮します。前のセクションのように、電子とイオンのペアだけではありません。が 空間と時間で均一である場合、伝達方程式の左辺はゼロとなり、 j ν {\displaystyle j_{\nu }} j ( v , ν ) {\displaystyle j(v,\nu )} k ν {\displaystyle k_{\nu }} j ν {\displaystyle j_{\nu }} k ν {\displaystyle k_{\nu }} I ν {\displaystyle I_{\nu }} I ν = j ν k ν {\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}
物質と放射がある温度で熱平衡状態にある場合、 黒体スペクトルは でなければなりません 。 と は に依存しない ため 、これは、物質がある温度で平衡状態にある場合、放射の状態にかかわらず、黒体スペクトルが必ず であることを意味します。これにより、平衡状態にある物質について、片方が分かれば 、 と の両方を即座に知ることができます 。 I ν {\displaystyle I_{\nu }} B ν ( ν , T e ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k B T e − 1 {\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}} j ν {\displaystyle j_{\nu }} k ν {\displaystyle k_{\nu }} I ν {\displaystyle I_{\nu }} j ν / k ν {\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }} j ν {\displaystyle j_{\nu }} k ν {\displaystyle k_{\nu }}
血漿中：近似的な古典的な結果 注 ：このセクションでは、現在レイリー・ジーンズ限界 に適用される公式を示しており 、量子化された（プランク）放射の扱いは用いていません。したがって、 のような通常の因子は現れません。以下 で が現れるのは、 衝突の量子力学的扱いによるものです。 ℏ ω ≪ k B T e {\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}} exp ( − ℏ ω / k B T e ) {\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})} ℏ ω / k B T e {\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}} y {\displaystyle y}
マクスウェル分布の電子からの制動放射線放出パワースペクトルに関するベケフィの古典的な結果。 が大きい場合 、急速に減少し、 付近でも抑制されます。このプロットは 、 、 の 量子ケースです 。青い曲線は の完全な式 、赤い曲線は の近似対数形です 。 ω {\displaystyle \omega } ω = ω p {\displaystyle \omega =\omega _{\rm {p}}} T e > Z 2 E h {\displaystyle T_{\text{e}}>Z^{2}E_{\text{h}}} ℏ ω p / T e = 0.1 {\displaystyle \hbar \omega _{\text{p}}/T_{\text{e}}=0.1} E 1 ( y ) {\displaystyle E_{1}(y)} y ≪ 1 {\displaystyle y\ll 1} プラズマ では 、自由電子がイオンと絶えず衝突し、制動放射線が発生します。完全な解析には、二体クーロン衝突と集団（誘電）挙動の両方を考慮する必要があります。詳細な扱いはBekefi [9] によって示されており、簡略化された扱いはIchimaru [10] によって示されています。本節では、Bekefiの誘電的扱いに従い、衝突はカットオフ波数 によって近似的に考慮されます 。 k max {\displaystyle k_{\text{max}}}
均一なプラズマを考えます。このプラズマでは、熱電子は 温度 の マクスウェル・ボルツマン分布 に従って分布しています。Bekefi に従って、放射される制動放射線のパワースペクトル密度（体積あたりの角周波数間隔あたりのパワーを立体角の sr 全体で積分し、偏光にわたって合計したもの）は次のように計算されます。 ここで 、 は電子プラズマ周波数、 は光子周波数、 は電子とイオンの数密度、その他の記号は 物理定数 です。2 番目の括弧内の係数はプラズマ内の光波の屈折率で、 では放射が大幅に抑制されることがわかります （これはプラズマ内の光波のカットオフ条件です。この場合、光波はエバネッセント です ） 。したがって、この式は にのみ適用されます 。この式は、複数種のイオン種プラズマ内のイオン種にわたって合計される必要があります。 T e {\displaystyle T_{\text{e}}} 4 π {\displaystyle 4\pi } d P B r d ω = 8 2 3 π e ¯ 6 ( m e c 2 ) 3 / 2 [ 1 − ω p 2 ω 2 ] 1 / 2 Z i 2 n i n e ( k B T e ) 1 / 2 E 1 ( y ) , {\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),} ω p ≡ ( n e e 2 / ε 0 m e ) 1 / 2 {\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}} ω {\displaystyle \omega } n e , n i {\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}} ω < ω p {\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}} ω > ω p {\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}
関数は 指数積分 であり 、単位のない量 は E 1 {\displaystyle E_{1}} y {\displaystyle y} y = 1 2 ω 2 m e k max 2 k B T e {\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}
k max {\displaystyle k_{\text{max}}} は二元衝突によって生じる最大波数またはカットオフ波数であり、イオン種によって変化する可能性があります。おおよそ、 （それほど低温ではないプラズマでは典型的です）の とき、 eVは ハートリーエネルギー 、 （ 説明が必要 ） は電子の 熱ド・ブロイ波長 です。それ以外の場合、 は 最接近時の古典的なクーロン距離です。 k max = 1 / λ B {\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}} k B T e > Z i 2 E h {\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}} E h ≈ 27.2 {\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2} λ B = ℏ / ( m e k B T e ) 1 / 2 {\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}} k max ∝ 1 / l C {\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}} l C {\displaystyle l_{\text{C}}}
通常の場合 、 k m = 1 / λ B {\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}} y = 1 2 [ ℏ ω k B T e ] 2 . {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}
の式は 近似値であり、 よりわずかに高い値で発生する放出の増加を無視します 。 d P B r / d ω {\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega } ω {\displaystyle \omega } ω p {\displaystyle \omega _{\text{p}}}
の極限において、 は オイラー ・マスケロニ定数 として 近似 できます 。先頭の対数項は頻繁に使用され、他の衝突プラズマ計算で見られるクーロン対数に似ています。 対数項は負であり、この近似は明らかに不十分です。Bekefiは、詳細な二体衝突計算と一致する対数項の修正された式を示しています。 y ≪ 1 {\displaystyle y\ll 1} E 1 {\displaystyle E_{1}} E 1 ( y ) ≈ − ln [ y e γ ] + O ( y ) {\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)} γ ≈ 0.577 {\displaystyle \gamma \approx 0.577} y > e − γ {\displaystyle y>e^{-\gamma }}
全周波数にわたって積分された総放射電力密度は P B r = ∫ ω p ∞ d ω d P B r d ω = 16 3 e ¯ 6 m e 2 c 3 Z i 2 n i n e k max G ( y p ) G ( y p ) = 1 2 π ∫ y p ∞ d y y − 1 / 2 [ 1 − y p y ] 1 / 2 E 1 ( y ) y p = y ( ω = ω p ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}
G ( y p = 0 ) = 1 {\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1} は とともに減少し 、常に正である。 については 、 y p {\displaystyle y_{\text{p}}} k max = 1 / λ B {\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}} P B r = 16 3 e ¯ 6 ( m e c 2 ) 3 2 ℏ Z i 2 n i n e ( k B T e ) 1 2 G ( y p ) {\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}
の量子的な性質により の出現に注意すること 。実用的な単位では、この式の一般的なバージョンは [11] である。 ℏ {\displaystyle \hbar } λ B {\displaystyle \lambda _{\rm {B}}} G = 1 {\displaystyle G=1} P B r [ W / m 3 ] = Z i 2 n i n e [ 7.69 × 10 18 m − 3 ] 2 T e [ e V ] 1 2 . {\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}
この式は上記の式の1.59倍であり、この差は二元衝突の詳細によるものです。このような曖昧さは、しばしば ゴーント因子 を導入することで表現されます。例えば [12]では、すべてが CGS 単位 で表されている箇所が 見られます
。 g B {\displaystyle g_{\rm {B}}} ε ff = 1.4 × 10 − 27 T 1 2 n e n i Z 2 g B , {\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}
相対論的補正 陽子に衝突する電子による 30 keV 光子の放出に対する相対論的補正。 非常に高い温度では、この式に相対論的な補正、つまり のオーダーの追加項が加わります 。 [13] k B T e / m e c 2 {\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}
制動放射線冷却 プラズマが 光学的に薄い 場合、制動放射線はプラズマから放出され、プラズマ内部のエネルギーの一部を運び去ります。この効果は 制動放射線冷却として知られており、 放射冷却 の一種です 。制動放射線によって持ち去られるエネルギーは 制動放射線損失 と呼ばれ、放射損失の一種です。 制動放射線損失という用語は、一般的に、核 融合プラズマ など、プラズマの冷却が望ましくない場合に用いられます 。
偏光制動放射線 分極制動放射線（「原子制動放射線」と呼ばれることもある）は、入射荷電粒子のクーロン場によって標的原子が分極される際に、標的原子の電子から放出される放射線である。 [14] [15] 分極制動放射線が全制動放射線スペクトルに及ぼす寄与は、比較的質量の大きい入射粒子、 [16] 共鳴過程、 [17]自由原子 [18] を用いた実験で観測されている。 しかし、固体標的に高速電子を入射させる実験において、分極制動放射線が有意に寄与するかどうかについては、依然として議論の余地がある。 [19] [20] [21]
「偏光」という用語は、放出される制動放射線が偏光していることを意味するものではないことに注意する必要がある。また、偏光制動放射線の角度分布は、理論的には通常の制動放射線とは大きく異なる。 [22]
出典
X線管 ロジウム ターゲットを用いた X線管（60 kV で動作） から放出されるX線のスペクトル 。連続した曲線は制動放射線によるもので、スパイク状の線はロジウムに 特徴的なK線 である。この曲線は、本文で説明されている デュアン・ハントの法則 と一致して、 午後 21時にゼロとなる。 X線管 では、真空中の電子が 電界 によって加速され、 「ターゲット」と呼ばれる物質に向かって進みます。電子がターゲットに衝突すると、X線が放出されます。
物理学者たちは20世紀初頭にすでに、X線が2つの成分、すなわち標的物質に依存しない成分と 蛍光 特性を持つ成分から成り立つことを発見していた。 [23] 現在では、出力スペクトルは、特定のエネルギーにおいて鋭いピークを持つX線の連続スペクトルから成り立っていると言われている。前者は制動放射線によるもので、後者は標的の原子に関連する 特性X線 である。このため、この文脈における制動放射線は 連続X線 とも呼ばれる。 [24] このドイツ語自体は、最初の種類のX線の性質を説明するために、 1909年に アーノルド・ゾンマーフェルト によって導入された。 [23]
この連続スペクトルの形状は、 クラマースの法則 によってほぼ説明されます。
クラマースの法則の式は、通常、放射される放射線の 波長 に対する 強度（光子数）の分布として表される。 [25] I {\displaystyle I} λ {\displaystyle \lambda } I ( λ ) d λ = K ( λ λ min − 1 ) d λ λ 2 {\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}
定数 K は対象元素の原子番号 に比例し 、 デュアン・ハントの法則 によって与えられる最小波長です 。 λ min {\displaystyle \lambda _{\min }}
スペクトルは で鋭くカットオフしますが 、 これは入射電子のエネルギーが限られているためです。例えば、管内の電子が 60 kV で加速されると、運動エネルギーは 60 keVとなり、 エネルギー保存則 により、標的に衝突すると最大で 60 keV のエネルギーを持つX線を発生します 。（この上限は、電子がX線 光子を 1つだけ放出して停止することに対応しています。通常、電子は多数の光子を放出し、それぞれのエネルギーは 60 keV 未満です。）エネルギーが最大で 60 keV の光子の波長は少なくとも λ min {\displaystyle \lambda _{\min }} 21 pm なので、グラフに示されているように、連続X線スペクトルはまさにそのカットオフを持っています。より一般的には、低波長カットオフの式、すなわちデュアン・ハントの法則は、以下の通りです。 [26] ここで、 h は プランク定数 、 c は 光速 、 V は 電子が加速される 電圧、 e は 素電荷 、 pm は ピコメートル 、そして右端の式では電圧の単位はキロボルト（kV）です。 λ min = h c e V ≈ 1239.8 V p m ⋅ k V {\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm{\cdot }kV} }
ベータ崩壊 ベータ粒子放出物質は、制動放射線（下記の「外方制動放射線」を参照）による連続スペクトルの弱い放射線を呈することがあります。この場合、制動放射線は「二次放射線」の一種であり、一次放射線（ ベータ粒子）の放出を阻止（または減速）する結果として発生します。制動放射線は、 X線発生装置 で金属ターゲットに電子を照射することで発生するX線 （上記参照）と非常によく似ていますが、制動放射線はベータ線から放出された高速電子によって生成される点が異なります。
内側と外側の制動放射 「内制動放射線」（「内部制動放射線」とも呼ばれる）は、電子の生成と、崩壊過程にある原子核の領域に存在する強い 電場 によって電子が原子核から放出される際にエネルギーを失うことによって生じる。このような放射線は原子核におけるベータ崩壊の特徴であるが、自由中性子から陽子へのベータ崩壊においても時折（あまり一般的ではないが）見られる。この場合には、ベータ電子が陽子から放出される際に生成される。
ベータ崩壊による電子と 陽電子の 放出では、光子のエネルギーは電子- 核子 対から得られ、制動放射線のスペクトルはベータ粒子のエネルギーが増加するにつれて連続的に減少します。電子捕獲では、エネルギーはニュートリノを犠牲にして得られ 、 スペクトルは通常のニュートリノエネルギーの約3分の1で最大になり、通常のニュートリノエネルギーで電磁エネルギーがゼロに減少します。電子捕獲の場合、荷電粒子が放出されなくても制動放射線が放出されることに注意します。代わりに、制動放射線は捕獲された電子が吸収される方向に加速されるときに生成されると考えられます。このような放射線は軟 ガンマ線と同じ周波数である可能性がありますが、 ガンマ崩壊 の鋭いスペクトル線を示さないため 、厳密にはガンマ線ではありません。
内部過程は、上で述べたように、外部から来た電子（つまり、別の原子核から放出された電子）が原子核に衝突することによって生じる「外部」制動放射線とは対照的である。 [27]
放射線安全 場合によっては、 32 P 、通常使用される高密度材料（例えば鉛 ） でベータ線を 遮蔽する ことによって生成される制動放射線 自体が危険である。そのような場合には、遮蔽はプレキシガラス （ ルーサイト ）、 プラスチック 、 木材 、 水 などの低密度材料で行う必要がある。 [28] これらの材料の原子番号は低いので、制動放射線の強度は大幅に減少するが、電子（ベータ線）を止めるためにはより厚い遮蔽が必要となる。
天体物理学では 銀河団における支配的な発光成分は、10 7 ～ 10 8 ケルビンの 銀河間媒質である。銀河間媒質からの放射は、熱制動放射によって特徴付けられる。この放射はX線のエネルギー領域にあり、 チャンドラX線観測衛星 、 XMM-ニュートン 、 ROSAT 、 ASCA 、 EXOSAT 、 すざく 、 RHESSI などの宇宙望遠鏡、そして将来の IXO [1]やAstro-H [2] といったミッションによって容易に観測できる。
制動放射は、電波波長における H II 領域 の主な放出メカニズムでもあります。
放電の場合 電気放電、例えば実験室における二電極間の放電、あるいは雲と地面の間や雲内部における雷放電においては、電子は空気分子を散乱させる際に制動放射線光子を生成する。これらの光子は 地上ガンマ線閃光 として現れ、電子、陽電子、中性子、陽子のビーム源となる。 [29] 制動放射線光子の出現は、酸素濃度の低い窒素・酸素混合気体における放電の伝播と形態にも影響を与える。 [30]
量子力学的記述 完全な量子力学的記述は、ベーテとハイトラーによって初めて行われた。 [31]彼らは、原子核で散乱する電子が平面波であると仮定し、その過程の完全な幾何学的形状と放出された光子の周波数を関連付ける断面積を導出した。 対生成 に対する量子力学的対称性を示す四重微分断面積 は、
d 4 σ = Z 2 α fine 3 ℏ 2 ( 2 π ) 2 | p f | | p i | d ω ω d Ω i d Ω f d Φ | q | 4 × [ p f 2 sin 2 Θ f ( E f − c | p f | cos Θ f ) 2 ( 4 E i 2 − c 2 q 2 ) + p i 2 sin 2 Θ i ( E i − c | p i | cos Θ i ) 2 ( 4 E f 2 − c 2 q 2 ) + 2 ℏ 2 ω 2 p i 2 sin 2 Θ i + p f 2 sin 2 Θ f ( E f − c | p f | cos Θ f ) ( E i − c | p i | cos Θ i ) − 2 | p i | | p f | sin Θ i sin Θ f cos Φ ( E f − c | p f | cos Θ f ) ( E i − c | p i | cos Θ i ) ( 2 E i 2 + 2 E f 2 − c 2 q 2 ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}} ここで 、は 原子番号 、 微細 構造定数 、 換算 プランク定数 、 光速です 。 電子の 運動エネルギーは、電子の全エネルギー または 運動量と、 電子の質量 によって 次 のように結びついています 。 エネルギー保存則 により、光子のエネルギーは
次のように 表されます
。放出された光子と散乱した電子の方向は 、光子の運動量 によって 表されます
。 Z {\displaystyle Z} α fine ≈ 1 / 137 {\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137} ℏ {\displaystyle \hbar } c {\displaystyle c} E kin , i / f {\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}} E i , f {\displaystyle E_{i,f}} p i , f {\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}} E i , f = E kin , i / f + m e c 2 = m e 2 c 4 + p i , f 2 c 2 , {\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},} m e {\displaystyle m_{\text{e}}} E f = E i − ℏ ω , {\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,} ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } Θ i = ∢ ( p i , k ) , Θ f = ∢ ( p f , k ) , Φ = Angle between the planes ( p i , k ) and ( p f , k ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}} k {\displaystyle \mathbf {k} }
微分は次のように与えられる。 d Ω i = sin Θ i d Θ i , d Ω f = sin Θ f d Θ f . {\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}
原子核と電子の間の 仮想光子 の 絶対 値は
− q 2 = − | p i | 2 − | p f | 2 − ( ℏ c ω ) 2 + 2 | p i | ℏ c ω cos Θ i − 2 | p f | ℏ c ω cos Θ f + 2 | p i | | p f | ( cos Θ f cos Θ i + sin Θ f sin Θ i cos Φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}} 有効範囲はボルン近似によって与えられ、
この関係は 初期状態と最終状態の電子の 速度に対して満たされる必要があります。 v ≫ Z c 137 {\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}} v {\displaystyle v}
実際の応用（例えば モンテカルロコード ）では、放出された光子の周波数 と、この光子と入射電子との間の角度の関係に注目することが興味深い場合がある。ケーンと エーバートは 、ベテとハイトラーによる四重微分断面積をとについて積分し 、次 式 を得た。 [32] ω {\displaystyle \omega } Φ {\displaystyle \Phi } Θ f {\displaystyle \Theta _{f}} d 2 σ ( E i , ω , Θ i ) d ω d Ω i = ∑ j = 1 6 I j {\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}
I 1 = 2 π A Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ln ( Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( Δ 1 + Δ 2 ) + Δ 1 Δ 2 − Δ 2 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( Δ 1 − Δ 2 ) + Δ 1 Δ 2 ) × [ 1 + c Δ 2 p f ( E i − c p i cos Θ i ) − p i 2 c 2 sin 2 Θ i ( E i − c p i cos Θ i ) 2 − 2 ℏ 2 ω 2 p f Δ 2 c ( E i − c p i cos Θ i ) ( Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ] , I 2 = − 2 π A c p f ( E i − c p i cos Θ i ) ln ( E f + p f c E f − p f c ) , I 3 = 2 π A ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 4 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i × ln [ ( [ E f + p f c ] [ 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( E f − p f c ) + ( Δ 1 + Δ 2 ) ( [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] − [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ] ) [ ( E f − p f c ) ( 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i [ − E f − p f c ] + ( Δ 1 − Δ 2 ) ( [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] − ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ] ) ] − 1 × [ − ( Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ( E f 3 + E f p f 2 c 2 ) + p f c ( 2 [ Δ 1 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ] E f p f c + Δ 1 Δ 2 [ 3 E f 2 + p f 2 c 2 ] ) ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − c ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) p f ( E i − c p i cos Θ i ) − 4 E i 2 p f 2 ( 2 [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 − 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ( Δ 1 E f + Δ 2 p f c ) ( [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) 2 + 8 p i 2 p f 2 m 2 c 4 sin 2 Θ i ( E i 2 + E f 2 ) − 2 ℏ 2 ω 2 p i 2 sin 2 Θ i p f c ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) + 2 ℏ 2 ω 2 p f m 2 c 3 ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) ( E i − c p i cos Θ i ) ( [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ] , I 4 = − 4 π A p f c ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − 16 π E i 2 p f 2 A ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 ( [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) 2 , I 5 = 4 π A ( − Δ 2 2 + Δ 1 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ( [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) × [ ℏ 2 ω 2 p f 2 E i − c p i cos Θ i × E f ( 2 Δ 2 2 [ Δ 2 2 − Δ 1 2 ] + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i [ Δ 2 2 + Δ 1 2 ] ) + p f c ( 2 Δ 1 Δ 2 [ Δ 2 2 − Δ 1 2 ] + 16 Δ 1 Δ 2 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i + 2 ℏ 2 ω 2 p i 2 sin 2 Θ i ( 2 Δ 1 Δ 2 p f c + 2 Δ 2 2 E f + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i E f ) E i − c p i cos Θ i + 2 E i 2 p f 2 ( 2 [ Δ 2 2 − Δ 1 2 ] [ Δ 2 E f + Δ 1 p f c ] 2 + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i [ ( Δ 1 2 + Δ 2 2 ) ( E f 2 + p f 2 c 2 ) + 4 Δ 1 Δ 2 E f p f c ] ) ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( E i 2 + E f 2 ) ( Δ 2 p f c + Δ 1 E f ) E i − c p i cos Θ i ] , I 6 = 16 π E f 2 p i 2 sin 2 Θ i A ( E i − c p i cos Θ i ) 2 ( − Δ 2 2 + Δ 1 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}} そして
A = Z 2 α fine 3 ( 2 π ) 2 | p f | | p i | ℏ 2 ω Δ 1 = − p i 2 − p f 2 − ( ℏ c ω ) 2 + 2 ℏ c ω | p i | cos Θ i , Δ 2 = − 2 ℏ c ω | p f | + 2 | p i | | p f | cos Θ i . {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}} しかし、同じ積分に対するはるかに単純な表現が[33] (式2BN)と [34] (式4.1) に見つかります。
上記の二重微分断面積の分析により、運動エネルギーが静止エネルギー (511 keV) より大きい電子は前方に光子を放出するのに対し、エネルギーが小さい電子は等方的に光子を放出することが分かります。
電子-電子制動放射 原子番号が小さい場合、重要と考えられるメカニズムの一つは 、 原子または分子の殻電子による自由電子の散乱である。 [35] 電子-電子制動放射線は の関数であり 、通常の電子-原子核制動放射線は の関数であるため 、金属の場合、電子-電子制動放射線は無視できる。しかし、空気の場合、電子-電子制動放射線は 地球ガンマ線フラッシュ の生成に重要な役割を果たしている 。 [36] Z {\displaystyle Z} Z {\displaystyle Z} Z 2 {\displaystyle Z^{2}}
参照
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さらに読む エバーハルト・ハウグ、ヴェルナー・ナケル (2004). 制動放射の素過程. 物理学講義ノート. 第73巻. ニュージャージー州リバーエッジ: ワールド・サイエンティフィック. ISBN 978-981-238-578-9 。
外部リンク 無料辞書のウィクショナリーで 「bremsstrahlung」 を調べてください。
![{\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c67f130c76cc8dfecceab3f87a2fb4ec7b7538e)
![{\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ce030f6dd8faeeea66451c37a456612edf1b3e)
![{\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b9712d308b467102bd26f75331e4adf23dd1af)
![{\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8672c7463e69e0dfbb8cbd1b1eb4fe786b08f484)
![{\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63a1d62fc262690e6ae46bf9b72413d56b0268d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fe0841898dd1a9120126d5f4b8058b9a1a1b9e)
![{\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70927e25319f7972de2254705212662db6a17856)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\シータ_{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f995d8ba8f0ce1a818b1663321499aa001538d57)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left。{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3020405a454cd99ff1a872e9d1503a4e831ec20)
