自由粒子

Particle that is not bound by an external force

物理学において、自由粒子とは、ある意味で外力によって束縛されていない粒子、あるいはそれと同義で、そのポテンシャルエネルギーが変化する領域に存在しない粒子のことである。古典物理学においては、これは粒子が「場のない」空間に存在することを意味する。量子力学においては、これは粒子が均一なポテンシャル領域に存在することを意味する。この領域は通常、対象領域内ではゼロに設定される。これは、空間内の任意の点でポテンシャルを任意にゼロに設定できるためである。

古典的自由粒子

古典的な自由粒子は、固定速度 vで特徴付けられます。質量mの粒子の運動量は で与えられ、運動エネルギー（全エネルギーに等しい）は で与えられます。 ${\displaystyle p=mv}$ ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

量子自由粒子

1次元におけるド・ブロイ波の伝播-複素振幅の実部は青、虚部は緑です。粒子が特定の点xに存在する確率（色の不透明度で表示）は波形のように広がり、粒子の位置は確定していません。振幅がゼロを超えて増加すると曲率は減少し、それに応じて も減少します。逆もまた同様です。結果として、振幅が変化する波が発生します。上：平面波。下：波束。

数学的記述

非相対論的量子力学における質量を持つ自由粒子は、自由シュレーディンガー方程式によって記述されます。 ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

ここで、ψは位置r、時刻tにおける粒子の波動関数である。運動量pまたは波動ベクトルkを持つ粒子の角周波数ωまたはエネルギーEにおける解は、複素平面波で与えられる。

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

振幅 Aを持ち、質量に応じて2つの異なる規則があります。

1. 粒子の質量が: (またはそれと同等の) の場合。 ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. 粒子が質量を持たない粒子である場合： ${\displaystyle \omega =kc}$

固有値スペクトルは無限に退化しています。なぜなら、各固有値E >0 に対して、異なる方向に対応する無限の数の固有関数が対応するからです。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

ド・ブロイの関係式が適用されます。位置エネルギーはゼロ（と仮定）なので、全エネルギーEは運動エネルギーに等しく、これは古典物理学における運動エネルギーと同じ形をとります。 ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

自由粒子、束縛粒子を問わず、すべての 量子粒子にはハイゼンベルクの不確定性原理が適用される。平面波は一定の運動量（一定のエネルギー）を持つため、粒子の位置を見つける確率は空間全体にわたって一様かつ無視できるほど小さいことは明らかである。言い換えれば、波動関数はユークリッド空間において正規化できず、これらの定常状態は物理的に実現可能な状態に対応できない。^{[1] [2]} ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

測定と計算

波動関数の正規化条件は、波動関数が量子状態空間^{[3]に属する場合、} 確率密度関数の積分は $${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2},}$$

ここで、* は複素共役を表し、全空間にわたって は全空間において粒子が見つかる確率であり、粒子が存在する場合、この値は 1 でなければなりません。平面波解によって与えられる自由粒子の状態は、任意の固定時間に対して正規化できません。しかし、波束を用いることで、状態は正規化可能な関数として表すことができます。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1.}$$ $${\displaystyle Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\notin L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$ ${\displaystyle t}$

1次元におけるスピン0の粒子1個の波動関数の解釈。示されている波動関数は連続、有限、単一値、正規化されている。粒子の色の不透明度（%）は、x軸上の点に粒子が存在する確率密度（%で測定可能）に対応する。

波束

フーリエ反転定理を用いると、自由粒子の波動関数は運動量固有関数の重ね合わせ、つまり波束によって表すことができる。^[4]ここで 、およびは「十分に良好な」初期波動関数のフーリエ変換である。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega (\mathbf {k} )t)}d^{3}\mathbf {k} ,}$$ $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}},}$$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)}$

複素平面波の 運動量pの期待値は

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

そして一般の波束の場合は

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

エネルギーEの期待値は

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

群速度と位相速度

波束の伝播。紫色で示されているのは、単一のピークの動きです。ピークは位相速度で移動し、波束全体は群速度で移動します。

位相速度は平面波の解が伝播する速度として定義され、すなわち

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

は運動量を持つ古典粒子の速度ではなく、古典速度の半分であることに注意してください。 ${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$ ${\displaystyle p}$

一方、初期波動関数が、フーリエ変換が特定の波動ベクトル付近に集中する波束であると仮定する。この場合、平面波の群速度は次のように定義される。 ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

これは粒子の古典速度の式と一致しています。群速度は波束全体が伝播する（おおよその）速度であり、位相速度は波束内の個々のピークが移動する速度です。^[5]図はこの現象を示しており、波束内の個々のピークは全体の速度の半分の速度で伝播しています。

波束の広がり

群速度の概念は、特定の値付近における分散関係の線形近似に基づいています。^[6]この近似では、波束の振幅は形状を変えることなく、群速度に等しい速度で移動します。この結果は、自由量子粒子の進化における興味深い側面を捉えきれていない近似です。特に、位置の不確実性によって測定される波束の幅は、長時間にわたって線形に増加します。この現象は、自由粒子の波束の広がりと呼ばれます。 ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle k}$

具体的には、不確定性を時間の関数として正確に表す式を計算することは難しくありません。ここで は位置演算子です。簡略化のため、空間1次元で計算すると、次式が得られます。^[7]は時間ゼロの波動関数です。右辺第2項の括弧内の式は、 と の量子共変性です。 ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

したがって、大きな正の時間に対して、 の不確実性は線形に増加し、 の係数は に等しくなります。初期波動関数の運動量が非常に局所的である場合、波束はゆっくりと広がり、群速度近似は長期間にわたって良好に保たれます。直感的に言えば、この結果は、初期波動関数の運動量が非常に明確に定義されている場合、粒子は明確に定義されている速度を持ち、（良好な近似で）長期間にわたってこの速度で伝播することを意味します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

相対論的量子自由粒子

相対論的粒子を記述する方程式は数多くあります。相対論的波動方程式を参照してください。

参照

• 波束
• 群速度
• 箱の中の粒子
• 有限平方井戸
• デルタ電位

注記

1. 「講義9」（PDF） .
2. コーエン-タンヌージ、ディウ & ラロエ、2019 年、15、19 ページ。
3. ブランチャード＆ブリュニング 2015、210ページ。
4. ホール 2013 セクション 4.1
5. ホール 2013 セクション 4.3 および 4.4
6. ホール 2013 式 4.24
7. ホール 2013 提案 4.10

参考文献

• ブランチャード、フィリップ、ブリュニング、エルウィン (2015). 「物理学における数学的手法」.数理物理学の進歩. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. doi :10.1007/978-3-319-14045-2. ISBN 978-3-319-14044-5. ISSN  1544-9998。
• コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（2019）。量子力学、第 1 巻。ワインハイム：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-3-527-34553-3。
• 量子力学、E.アバーズ、ピアソン編、アディソン・ウェスリー、プレンティス・ホール社、2004年、ISBN 978-0-13-146100-0
• 原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学（第2版）、R.アイスバーグ、R.レスニック、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1985年、ISBN 978-0-471-87373-0
• 定常状態、A.ホールデン、カレッジ物理学モノグラフ（米国）、オックスフォード大学出版局、1971年、ISBN 0-19-851121-3
• ホール、ブライアン・C. (2013)、「数学者のための量子理論」、数学大学院テキスト、第267巻、シュプリンガー、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158
• 量子力学の謎を解き明かす、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145546 9
• 初等量子力学、NF Mott、Wykeham Science、Wykeham Press（Taylor & Francis Group）、1972年、ISBN 0-85109-270-5
• 量子力学、E. Zaarur、Y. Peleg、R. Pnini、Schaum's Outlines、Mc Graw Hill（米国）、1998年、ISBN 007-0540187

さらに読む

• 新しい量子宇宙、T.ヘイ、P.ウォルターズ、ケンブリッジ大学出版局、2009年、ISBN 978-0-521-56457-1。
• 量子場理論、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2008年、ISBN 978-0-07-154382-8
• 量子力学、E. Zaarur、Y. Peleg、R. Pnini、Schaum's Easy Outlines Crash Course、Mc Graw Hill（米国）、2006年、ISBN 978-007-145533-6

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