Orbit in which natural drifting has been minimized
軌道力学 において 、 凍結軌道とは、 軌道パラメータ を慎重に選択することで 摂動が 最小限に抑えられた 人工 衛星の 軌道 のことである。摂動は、 中心天体 の形状やその他の要因 による自然な漂流から生じる可能性がある。通常、凍結軌道上の衛星の 高度は 、長期間にわたり、各公転の同じ地点で一定に保たれる。 [ 1] 軌道傾斜角 、 軌道遠心位置、 離心 率 の 変動は 、摂動が打ち消されるような 初期値を 選択することにより最小限に抑えられている。 [2]その結果、 軌道維持用 燃料の使用を最小限に抑えた長期安定軌道が得られる 。
背景と動機 地球周回軌道上の宇宙船の場合、 地球の扁平率 、太陽と月の重力、 太陽放射圧 、 空気抵抗 によって軌道パラメータが変化する。 [3] これらは摂動力と呼ばれ、宇宙船を所定の軌道に維持するためには、これらの力を打ち消すための操作が必要となる。 静止軌道上の宇宙船 の場合、太陽と月の重力によって軌道面が地球の赤道面から遠ざかるため、年間40～50 m/s（89～112 mph）程度の修正操作が必要となる。 [ 要出典 ]
太陽同期宇宙船 では 、軌道面の意図的なシフト（「 歳差運動 」と呼ばれる）がミッションの効率化のために用いられることがあります。これらのミッションでは、高度600～900kmのほぼ円軌道が用いられます。軌道面の歳差運動が地球の太陽の周りを回る速度（1日あたり約1度）と等しくなるように、適切な傾斜角（97.8～99.0度） [4] が選択されます。
その結果、宇宙船は毎回の軌道において、地球上の同じ時刻の地点を通過することになります。例えば、軌道が太陽に対して直角の場合、北行き区間では常に午前6時、南行き区間では常に午後6時（またはその逆）の地点を通過します。これは「夜明け・夕暮れ」軌道と呼ばれます。一方、太陽が軌道面内にある場合、宇宙船は北行き区間では常に正午、南行き区間では常に真夜中の地点を通過します（またはその逆）。これらは「正午・真夜中」軌道と呼ばれます。このような軌道は、気象観測、画像撮影、地図作成など、多くの地球観測ミッションに適しています。
地球の扁平性によって生じる摂動力は、一般に軌道面だけでなく軌道離心率ベクトルにも摂動を与えます 。しかしながら、離心率ベクトルに永年的／長周期的な摂動がなく、軌道周期に等しい周期的な摂動のみが生じる、ほぼ円軌道も存在します。このような軌道は（軌道面 歳 差 運動 を 除いて）完全に周期的であるため、「凍結軌道」と呼ばれます。このような軌道は、地球の同一領域を可能な限り一定の観測条件下で繰り返し観測する必要がある地球観測ミッションにおいて、しばしば好ましい選択肢となります。
地球 観測衛星は 、観測上の利点があるため、太陽同期の固定軌道で運用されることが多いです。
月の凍結軌道 低軌道 多くの月周回 衛星の研究を通して 、科学者たちはほとんどの 低月軌道 （LLO）が不安定であることを発見しました。 [5] 傾斜角27度、50度、76度、86度の4つの 凍結月軌道 が確認されています。NASAは2006年にこれを次のように説明しています。
月のマスコンは 、ほとんどの低月軌道を不安定にします…衛星が頭上50マイルまたは60マイルを通過すると、マスコンは衛星を前後、左、右、または下に引っ張ります。引っ張る方向と大きさは、衛星の軌道によって異なります。搭載ロケットによる定期的な推進力によって軌道を修正しない限り、低月軌道（約60マイルまたは100キロメートル未満）に放出されたほとんどの衛星は、最終的には月に衝突します。…宇宙船が低月軌道に無期限に留まることができる「凍結軌道」がいくつかあります。それらは27度、50度、76度、86度の4つの傾斜角で発生し、最後の86度は月の極のほぼ上空を通過します。比較的長寿命だったアポロ15号の補助衛星 PFS-1 の軌道傾斜角は28度で、凍結軌道の1つの傾斜角に近いことが判明しましたが、不運な PFS-2の 軌道傾斜角はわずか11度でした。 [6]
楕円傾斜軌道 高度500～20,000km（310～12,430マイル）の範囲にある月の軌道では、 地球の重力によって軌道 摂動 が生じる 。2005年に発表された研究では、この影響を受けない楕円傾斜軌道を持つ月の軌道が示されており、これもまた軌道が固定されている。 [7]
古典理論 凍結軌道の古典理論は、本質的には NASA との契約に基づいて作成され 1959年に発表された ディルク・ブラウワー による人工衛星の解析的 摂動解析に基づいています 。[8]
この分析は次のように実行できます。
軌道摂動解析の 記事では、 ジオポテンシャルモデル の項 から 軌道極の永年摂動が 次のように示される。 Δ z ^ {\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,} J 2 {\displaystyle J_{2}\,}
Δ z ^ = − 2 π J 2 μ p 2 3 2 cos i sin i g ^ {\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \sin i\quad {\hat {g}}} 1
これは軌道要素で次のように表現できます。
Δ i = 0 {\displaystyle \Delta i\ =\ 0} 2
Δ Ω = − 2 π J 2 μ p 2 3 2 cos i {\displaystyle \Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i} 3
同様の分析を（地球が わずかに洋ナシ型で あるという事実に対応する ）項について行うと、次のようになる。 J 3 {\displaystyle J_{3}\,}
Δ z ^ = 2 π J 3 μ p 3 3 2 cos i ( e h ( 1 − 15 4 sin 2 i ) g ^ − e g ( 1 − 5 4 sin 2 i ) h ^ ) {\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ -\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)} 4
これは軌道要素を使って次のように表すことができる。
Δ i = − 2 π J 3 μ p 3 3 2 cos i e g ( 1 − 5 4 sin 2 i ) {\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)} 5
Δ Ω = 2 π J 3 μ p 3 3 2 cos i sin i e h ( 1 − 15 4 sin 2 i ) {\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac {\cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)} 6
同じ論文では、 によって引き起こされる 離心率ベクトル の成分の永年摂動は次のように示されています。 J 2 {\displaystyle J_{2}\,}
( Δ e g , Δ e h ) = − 2 π J 2 μ p 2 3 2 ( 3 2 sin 2 i − 1 ) ( − e h , e g ) + 2 π J 2 μ p 2 3 2 cos 2 i ( − e h , e g ) = − 2 π J 2 μ p 2 3 ( 5 4 sin 2 i − 1 ) ( − e h , e g ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_{h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\left(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end{aligned}}} 7
どこ：
最初の項は、摂動力の面内成分によって引き起こされる偏心ベクトルの面内摂動である。 2番目の項は、新しい軌道面における昇交点の新しい位置の影響であり、軌道面は面外力成分によって乱される。 解析を行うと、 最初の項、すなわち面内力成分からの偏心ベクトルの摂動が得られる。 J 3 {\displaystyle J_{3}\,}
2 π J 3 μ p 3 3 2 sin i ( 5 4 sin 2 i − 1 ) ( ( 1 − e g 2 + 4 e h 2 ) g ^ − 5 e g e h h ^ ) {\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)} 8
傾斜角が97.8～99.0度の範囲では、式 （ 6 ）で与えられる値は式（ 3 ）で与えられる値よりもはるかに小さく、無視できる。同様に、式（ 8 ）の離心率ベクトル成分の2次項は、 ほぼ円軌道では無視できる。つまり、式（ 8 ）は次のように近似できる。 Δ Ω {\displaystyle \Delta \Omega \,}
2 π J 3 μ p 3 3 2 sin i ( 5 4 sin 2 i − 1 ) g ^ {\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}} 9
貢献 を追加する J 3 {\displaystyle J_{3}\,} 2 π J 3 μ p 3 3 2 sin i ( 5 4 sin 2 i − 1 ) ( 1 , 0 ) {\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}
（ ７ ） に１つは
( Δ e g , Δ e h ) = − 2 π J 2 μ p 2 3 ( 5 4 sin 2 i − 1 ) ( − ( e h + J 3 sin i J 2 2 p ) , e g ) {\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)} 10
差分方程式は、離心率ベクトルが点を中心とする円を描くことを示しています 。離心率ベクトルの極引数は、 連続する軌道間のラジアンとともに増加します。 ( 0 , − J 3 sin i J 2 2 p ) {\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,} − 2 π J 2 μ p 2 3 ( 5 4 sin 2 i − 1 ) {\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}
として
μ = 398600.440 km 3 / s 2 {\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,} J 2 = 1.7555 10 10 km 5 / s 2 {\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,} J 3 = − 2.619 10 11 km 6 / s 2 {\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,} 極軌道 ( ) では、 円の中心は にあり 、極引数の変化は 1 周あたり 0.00400 ラジアンになります。 i = 90 ∘ {\displaystyle i=90^{\circ }\,} p = 7200 km {\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,} ( 0 , 0.001036 ) {\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}
後者の数字は、離心率ベクトルが1569回の軌道で一周することを意味します。平均離心率ベクトルとして初期平均離心率ベクトルを選択すると、その後の軌道においても一定になります。 つまり、( 7 )で与えられる項と ( 9 )で与えられる項の永年摂動が打ち消されるため、軌道は固定されます 。 ( 0 , 0.001036 ) {\displaystyle (0,\ 0.001036)\,} J 2 {\displaystyle J_{2}\,} J 3 {\displaystyle J_{3}\,}
古典的な軌道要素の観点から言えば、これは、固定軌道が次の平均要素を持つ必要があることを意味します。
e = − J 3 sin i J 2 2 p {\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,} ω = 90 ∘ {\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}
現代理論 凍結軌道の現代理論は、1989年にマッツ・ローゼングレンが発表した論文で示されたアルゴリズムに基づいています。 [9]
このため、解析式( 7 )を用いて初期（平均）離心率ベクトルを反復更新し、数軌道後の精密数値伝播によって計算される（平均）離心率ベクトルが正確に同じ値をとるようにします。このように、 項によって引き起こされる離心率ベクトルの永年摂動は、項によって引き起こされる（支配的な）永年摂動だけでなく、すべての永年摂動を打ち消すために使用されます 。このようにして補償できる追加の永年摂動の一つは、 太陽放射圧によって引き起こされる摂動であり、この摂動については「 軌道摂動解析（宇宙船） 」の論文で論じられています 。 J 2 {\displaystyle J_{2}\,} J 3 {\displaystyle J_{3}\,}
このアルゴリズムを上で議論したケース、つまり極軌道 ( ) に適用し、数値伝播の および 以外のすべての摂動力を無視すると、 「 古典 理論」の場合とまったく同じ最適な平均離心率ベクトル、つまり が得られます 。 i = 90 ∘ {\displaystyle i=90^{\circ }\,} p = 7200 km {\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,} J 2 {\displaystyle J_{2}\,} J 3 {\displaystyle J_{3}\,} ( 0 , 0.001036 ) {\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}
高次のゾーン項による力も含めると、最適値は に変わります 。 ( 0 , 0.001285 ) {\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}
さらに、適切な太陽圧力（断面積 0.05 m 2 /kg 、太陽への方向が昇交点に向かう方向）を想定すると、平均離心率ベクトルの最適値は となり、 これは に対応します。 つまり、最適値は ではなくなります 。 ( 0.000069 , 0.001285 ) {\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,} ω = 87 ∘ {\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,} ω = 90 ∘ {\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}
このアルゴリズムは、地球観測衛星 ERS-1、ERS-2 、 Envisat に使用される軌道制御ソフトウェアに実装されています。
軌道を固定するために打ち消すべき主な摂動力は「 力」、すなわち地球の南北対称性の不完全性によって引き起こされる重力であり、「古典理論」はこの「 摂動」の閉じた形式の表現に基づいています。「現代理論」では、この明示的な閉じた形式の表現は直接用いられませんが、それでも導出することは確かに価値があります （ 誰にとって？ ） 。この表現の導出は以下のように行うことができます。 J 3 {\displaystyle J_{3}\,} J 3 {\displaystyle J_{3}\,}
帯状項から生じるポテンシャルは地球の極軸を中心に回転対称であり、対応する力は完全に経度平面内にあり、そのうち1つの成分は 半径方向、もう1つの成分は 半径方向に直交する北向きの 単位ベクトルである。これらの方向 と 成分は図1に示されている。 F r r ^ {\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,} F λ λ ^ {\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,} λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}\,} r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,} λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}
図1: 単位ベクトル ϕ ^ , λ ^ , r ^ {\displaystyle {\hat {\phi }},\ {\hat {\lambda }},\ {\hat {r}}} ジオポテンシャルモデルの 記事では、この 項 によって引き起こされるこれらの力の成分は、 J 3 {\displaystyle J_{3}\,}
F r = J 3 1 r 5 2 sin λ ( 5 sin 2 λ − 3 ) F λ = − J 3 1 r 5 3 2 cos λ ( 5 sin 2 λ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2}\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}} 11
軌道摂動解析（宇宙船）の 記事で導出された関係を適用するには、 力の成分を 2つの直交成分に分割する必要があり 、 図2に示すように F λ λ ^ {\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,} F t t ^ {\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}} F z z ^ {\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}
図2：運動方向と軌道極 に直交する 単位ベクトル 。力の成分 は「F」で示されている。 t ^ {\displaystyle {\hat {t}}\,} r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,} z ^ {\displaystyle {\hat {z}}\,} F λ {\displaystyle F_{\lambda }} 地球の中心（ 基準楕円体 の中心）を原点とする直交座標系を作成し、 が 北 の方向を指し、 が 地球の赤道面にあり、 が 昇交点 、つまり図 2 の青い点の方向を指す ようにします。 a ^ , b ^ , n ^ {\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,} n ^ {\displaystyle {\hat {n}}\,} a ^ , b ^ {\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,} a ^ {\displaystyle {\hat {a}}\,}
単位ベクトルの成分
r ^ , t ^ , z ^ {\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,} ローカル座標系（ 図2に示されています）を構成し、 との関係を表すものは 次のとおりです。 t ^ , z ^ , {\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},} a ^ , b ^ , n ^ {\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}
r a = cos u {\displaystyle r_{a}=\cos u\,} r b = cos i sin u {\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,} r n = sin i sin u {\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,} t a = − sin u {\displaystyle t_{a}=-\sin u\,} t b = cos i cos u {\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,} t n = sin i cos u {\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,} z a = 0 {\displaystyle z_{a}=0\,} z b = − sin i {\displaystyle z_{b}=-\sin i\,} z n = cos i {\displaystyle z_{n}=\cos i\,} ここで、 直交単位ベクトル の相対的な極引数は 軌道 面内で
ある。 u {\displaystyle u\,} r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,} g ^ = a ^ {\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,} h ^ = cos i b ^ + sin i n ^ {\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}
まず
sin λ = r n = sin i sin u {\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,} ここで 、赤道面と（図2の緑の点の間の）角度であり、 ジオポテンシャルモデル の記事の式（12）から 次の式が得られる。 λ {\displaystyle \lambda \,} r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,}
F r = J 3 1 r 5 2 sin i sin u ( 5 sin 2 i sin 2 u − 3 ) {\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)} 12
次に、北方向の、 が張る平面 への投影は 、 n ^ {\displaystyle {\hat {n}}\,} t ^ , z ^ , {\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}
sin i cos u t ^ + cos i z ^ {\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,} そしてこの投影は
cos λ λ ^ {\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,} ここで 、図1に示されている北に向かう放射方向に直交する 単位ベクトルです。 λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}\,} λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}}
式（ １１ ）から、
F λ λ ^ = − J 3 1 r 5 3 2 ( 5 sin 2 λ − 1 ) cos λ λ ^ = − J 3 1 r 5 3 2 ( 5 sin 2 λ − 1 ) ( sin i cos u t ^ + cos i z ^ ) {\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,} したがって：
F t = − J 3 1 r 5 3 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) sin i cos u {\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u} 13
F z = − J 3 1 r 5 3 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) cos i {\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i} 14
軌道摂動解析（宇宙船） の記事では 、軌道極の永年摂動 が z ^ {\displaystyle {\hat {z}}\,}
Δ z ^ = 1 μ p [ g ^ ∫ 0 2 π F z r 3 cos u d u + h ^ ∫ 0 2 π F z r 3 sin u d u ] × z ^ {\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}} 15
（ １５ ） に （ １４ ）の式を導入すると、 F z {\displaystyle F_{z}\,}
Δ z ^ = − J 3 μ p 3 3 2 cos i ⋅ [ g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) cos u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) sin u d u ] × z ^ {\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}} 16
分数 は p r {\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}
p r = 1 + e ⋅ cos θ = 1 + e g ⋅ cos u + e h ⋅ sin u {\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u} どこ
e g = e cos ω {\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega } e h = e sin ω {\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega } 座標系における離心率ベクトルの成分です 。 g ^ , h ^ {\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}
型積分はすべて
∫ 0 2 π cos m u sin n u d u {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,} 両方がゼロ で 偶数でない場合は、 n {\displaystyle n\,} m {\displaystyle m\,}
∫ 0 2 π ( p r ) 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) cos u d u = 2 e g ( 5 sin 2 i ∫ 0 2 π sin 2 u cos 2 u d u − ∫ 0 2 π cos 2 u d u ) = 2 π e g ( 5 4 sin 2 i − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}} 17
そして
∫ 0 2 π ( p r ) 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) sin u d u = 2 e h ( 5 sin 2 i ∫ 0 2 π sin 4 u d u − ∫ 0 2 π sin 2 u d u ) = 2 π e h ( 15 4 sin 2 i − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}} 18
すると、
Δ z ^ = 2 π J 3 μ p 3 3 2 cos i [ e g ( 1 − 5 4 sin 2 i ) g ^ + e h ( 1 − 15 4 sin 2 i ) h ^ ] × z ^ = 2 π J 3 μ p 3 3 2 cos i [ e h ( 1 − 15 4 sin 2 i ) g ^ − e g ( 1 − 5 4 sin 2 i ) h ^ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}} 19
どこ
g ^ {\displaystyle {\hat {g}}\,} と は、 昇交点に向かう赤道面 内の基準ケプラー軌道の平面における直交座標系の基底ベクトルであり、 はこの赤道座標系に対する極引数である。 h ^ {\displaystyle {\hat {h}}\,} g ^ {\displaystyle {\hat {g}}\,} u {\displaystyle u\,} f z {\displaystyle f_{z}\,} 軌道極方向の力成分（単位質量あたり） z ^ {\displaystyle {\hat {z}}\,} 軌道摂動解析（宇宙船） の記事で は、離心率ベクトルの永年摂動は
Δ e ¯ = 1 μ ∫ 0 2 π ( − t ^ f r + ( 2 r ^ − V r V t t ^ ) f t ) r 2 d u {\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du} 20
どこ
r ^ , t ^ {\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,} 地球から遠ざかる方向の 単位ベクトルを持つ通常のローカル座標系である r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,} V r = μ p ⋅ e ⋅ sin θ {\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta } - 方向の速度成分 r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,} V t = μ p ⋅ ( 1 + e ⋅ cos θ ) {\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )} - 方向の速度成分 t ^ {\displaystyle {\hat {t}}\,} （ 12 ）と（ 13 ）の式を （ 20 ）
に導入すると、 F r , F t {\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}
Δ e ¯ = J 3 μ p 3 sin i ⋅ ∫ 0 2 π ( − t ^ ( p r ) 3 2 sin u ( 5 sin 2 i sin 2 u − 3 ) − ( 2 r ^ − V r V t t ^ ) ( p r ) 3 3 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) cos u ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned}}} 21
それを使って
V r V t = e g ⋅ sin u − e h ⋅ cos u p r {\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}} 上記の積分は8つの項に分割できます。
∫ 0 2 π ( − t ^ ( p r ) 3 2 sin u ( 5 sin 2 i sin 2 u − 3 ) − ( 2 r ^ − V r V t t ^ ) ( p r ) 3 3 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) cos u ) d u = − 10 sin 2 i ∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 3 sin 3 u d u + 6 ∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 3 sin u d u − 15 sin 2 i ∫ 0 2 π r ^ ( p r ) 3 sin 2 u cos u d u + 3 ∫ 0 2 π r ^ ( p r ) 3 cos u d u + 15 2 sin 2 i e g ∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 sin 3 u cos u d u − 15 2 sin 2 i e h ∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 sin 2 u cos 2 u d u − 3 2 e g ∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 sin u cos u d u + 3 2 e h ∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 cos 2 u d u {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ \cos u\ du\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}} 22
とすれば
r ^ = cos u g ^ + sin u h ^ {\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}} t ^ = − sin u g ^ + cos u h ^ {\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}} 我々は得る
p r = 1 + e ⋅ cos θ = 1 + e g ⋅ cos u + e h ⋅ sin u {\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u} そして、すべての積分は
∫ 0 2 π cos m u sin n u d u {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,} 両方がゼロ で 偶数の場合はゼロです。 n {\displaystyle n\,} m {\displaystyle m\,}
第1学期
∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 3 sin 3 u d u = − g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin 4 u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin 3 u cos u d u = − g ^ ( ∫ 0 2 π sin 4 u d u + 3 e g 2 ∫ 0 2 π cos 2 u sin 4 u d u + 3 e h 2 ∫ 0 2 π sin 6 u d u ) + h ^ 6 e g e h ∫ 0 2 π cos 2 u sin 4 u d u = − g ^ ( 2 π ( 3 8 + 3 16 e g 2 + 15 16 e h 2 ) ) + h ^ ( 2 π ( 3 8 e g e h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}} 23
第2学期
∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 3 sin u d u = − g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin 2 u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin u cos u d u = − g ^ ( ∫ 0 2 π sin 2 u d u + 3 e g 2 ∫ 0 2 π cos 2 u sin 2 u d u + 3 e h 2 ∫ 0 2 π sin 6 u d u ) + h ^ 6 e g e h ∫ 0 2 π cos 2 u sin 2 u d u = − g ^ ( 2 π ( 1 2 + 3 8 e g 2 + 9 8 e h 2 ) ) + h ^ ( 2 π ( 3 4 e g e h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}} 24
第3学期
∫ 0 2 π r ^ ( p r ) 3 sin 2 u cos u d u = g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin 2 u cos 2 u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin 3 u cos u d u = g ^ ( ∫ 0 2 π sin 2 u cos 2 u d u + 3 e g 2 ∫ 0 2 π cos 4 u sin 2 u d u + 3 e h 2 ∫ 0 2 π sin 4 u cos 2 u d u ) + h ^ 6 e g e h ∫ 0 2 π cos 2 u sin 4 u d u = g ^ ( 2 π ( 1 8 + 3 16 e g 2 + 3 16 e h 2 ) ) + h ^ ( 2 π ( 3 8 e g e h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}} 25
第4学期
∫ 0 2 π r ^ ( p r ) 3 cos u d u = g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 cos 2 u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 3 sin u cos u d u = g ^ ( ∫ 0 2 π cos 2 u d u + 3 e g 2 ∫ 0 2 π cos 4 u d u + 3 e h 2 ∫ 0 2 π sin 2 u cos 2 u d u ) + h ^ 6 e g e h ∫ 0 2 π cos 2 u sin 2 u d u = g ^ ( 2 π ( 1 2 + 9 8 e g 2 + 3 8 e h 2 ) ) + h ^ ( 2 π ( 3 4 e g e h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}} 26
第5学期
∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 sin 3 u cos u d u = − g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin 4 u cos u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin 3 u cos 2 u d u = − g ^ 2 e g ∫ 0 2 π sin 4 u cos 2 u d u + h ^ 2 e h ∫ 0 2 π sin 4 u cos 2 u d u = − g ^ ( 2 π 1 8 e g ) + h ^ ( 2 π 1 8 e h ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}} 27
第6学期
∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 sin 2 u cos 2 u d u = − g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin 3 u cos 2 u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin 2 u cos 3 u d u = − g ^ 2 e h ∫ 0 2 π sin 4 u cos 2 u d u + h ^ 2 e g ∫ 0 2 π sin 2 u cos 4 u d u = − g ^ ( 2 π 1 8 e h ) + h ^ ( 2 π 1 8 e g ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}} 28
第7学期
∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 sin u cos u d u = − g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin 2 u cos u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin u cos 2 u d u = − g ^ 2 e g ∫ 0 2 π sin 2 u cos 2 u d u + h ^ 2 e h ∫ 0 2 π sin 2 u cos 2 u d u = − g ^ ( 2 π 1 4 e g ) + h ^ ( 2 π 1 4 e h ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}} 29
第8学期
∫ 0 2 π t ^ ( p r ) 2 cos 2 u d u = − g ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 sin u cos 2 u d u + h ^ ∫ 0 2 π ( p r ) 2 cos 3 u d u = − g ^ 2 e h ∫ 0 2 π sin 2 u cos 2 u d u + h ^ 2 e g ∫ 0 2 π cos 4 u d u = − g ^ ( 2 π 1 4 e h ) + h ^ ( 2 π 3 4 e g ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}} 30
として
− 10 sin 2 i ( − g ^ ( 3 8 + 3 16 e g 2 + 15 16 e h 2 ) + h ^ ( 3 8 e g e h ) ) + 6 ( − g ^ ( 1 2 + 3 8 e g 2 + 9 8 e h 2 ) + h ^ ( 3 4 e g e h ) ) − 15 sin 2 i ( g ^ ( 1 8 + 3 16 e g 2 + 3 16 e h 2 ) + h ^ ( 3 8 e g e h ) ) + 3 ( g ^ ( 1 2 + 9 8 e g 2 + 3 8 e h 2 ) + h ^ ( 3 4 e g e h ) ) + 15 2 sin 2 i e g ( − g ^ ( 1 8 e g ) + h ^ ( 1 8 e h ) ) − 15 2 sin 2 i e h ( − g ^ ( 1 8 e h ) + h ^ ( 1 8 e g ) ) − 3 2 e g ( − g ^ ( 1 4 e g ) + h ^ ( 1 4 e h ) ) + 3 2 e h ( − g ^ ( 1 4 e h ) + h ^ ( 3 4 e g ) ) = 3 2 ( 5 4 sin 2 i − 1 ) ( ( 1 − e g 2 + 4 e h 2 ) g ^ − 5 e g e h h ^ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&-10\sin ^{2}i\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+6\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&-15\sin ^{2}i\ \left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+3\left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\right)\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\right)\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\right)=\\&{\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}} 31
すると、
Δ e ¯ = J 3 μ p 3 sin i ⋅ ∫ 0 2 π ( − t ^ ( p r ) 3 2 sin u ( 5 sin 2 i sin 2 u − 3 ) − ( 2 r ^ − V r V t t ^ ) ( p r ) 3 3 2 ( 5 sin 2 i sin 2 u − 1 ) cos u ) d u = 2 π J 3 μ p 3 sin i 3 2 ( 5 4 sin 2 i − 1 ) ( ( 1 − e g 2 + 4 e h 2 ) g ^ − 5 e g e h h ^ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du=\\&2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ {\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}} 32
参考文献 ^ Eagle, C. David. 「Frozen Orbit Design」 （PDF） . Orbital Mechanics with Numerit . 2011年11月21日時点の オリジナル （PDF）からアーカイブ。 2012年 4月5日 閲覧 。 ^ Chobotov, Vladimir A. (2002). 軌道力学（第3版）. アメリカ航空宇宙学会 . p. 221. ^ レイ、ヴィルフリート;ヴィットマン、クラウス。ウィリ、ホールマン (2019)。 Handbuch der Raumfault (5. ed.)。カール・ハンザー・フェルラーク・ミュンヘン。 p. 109.ISBN 978-3-446-45429-3 。 ^ レイ、ヴィルフリート;ヴィットマン、クラウス。ホールマン、ウィリ。 Handbuch der Raumfahrtechnik (第 5 版)。カール・ハンザー・フェルラーク・ミュンヘン。 p. 560。 ^ 月の周りの凍結軌道。2003年 ^ Bell, Trudy E. (2006年11月6日). Phillips, Tony (編). 「奇妙な月の軌道」. Science@NASA . NASA . 2021年12月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年9月8日 閲覧 。 ^ Ely, Todd (2005年7月). 「凍結楕円傾斜月軌道の安定星座」. The Journal of the Astronautical Sciences . 53 (3): 301– 316. Bibcode :2005JAnSc..53..301E. doi :10.1007/BF03546355. ^ ディルク・ブラウワー：「人工衛星の抗力問題の解決」 天文学ジャーナル 、64（1959） ^ Mats Rosengren (1989). 「受動偏心制御のための改良技術 (AAS 89-155)」. 宇宙科学の進歩 . 第69巻. AAS/NASA. 書誌コード :1989ommd.proc...49R.
さらに読む 凍結軌道近傍における軌道要素の研究。大気抵抗とJ5 項 を含む 
![{\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcecccf0d05ab51a82bae4a8e1622cf05335c826)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cb5545781fd02a77a205dbed5b477a35411b35)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93aa6be7f9244b9c6019fbb95588d799dcdc75a)
