関数方程式

Equation whose unknown is a function

数学において、関数方程式^{[1] [2] [無関係な引用]}は、最も広い意味では、1つまたは複数の関数が未知数として現れる方程式です。したがって、微分方程式や積分方程式は関数方程式です。ただし、より限定的な意味で使われることが多く、関数方程式とは、同じ関数の複数の値を関係付ける方程式です。例えば、対数関数は本質的に対数関数方程式によって特徴付けられます。 ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)}$

未知関数の定義域が自然数であると仮定すると、関数は一般に列と見なされ、この場合、関数方程式（狭義の）は再帰関係と呼ばれます。したがって、関数方程式という用語は、主に実関数と複素関数に使用されます。さらに、解には滑らかさの条件がしばしば想定されます。なぜなら、そのような条件がないと、ほとんどの関数方程式は非常に不規則な解を持つからです。たとえば、 ガンマ関数は、関数方程式と初期値を満たす関数です。これらの条件を満たす関数は多数ありますが、ガンマ関数は、複素平面全体で有理型であり、x が実数かつ正である場合に対数的に凸である唯一の関数です（ボーア・モレルプの定理）。 ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$

例

• 再帰関係は、整数または自然数上の関数における関数方程式として見ることができ、項の添え字の差はシフト演算子の適用として見ることができます。例えば、フィボナッチ数列、、を定義する再帰関係は、および ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$
• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$、これは周期関数を特徴づける
• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$は偶関数を特徴づけ、同様に奇関数を特徴づける。 ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$
• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$関数gの関数平方根を特徴付ける。
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$（コーシーの関数方程式）は、線型写像によって満たされる。この方程式は、選択公理に依存して、他の病的な非線型解も持つ可能性があり、その存在は実数に対するハメル基底によって証明できる。
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),}$すべての指数関数が満たす。コーシーの加法関数方程式と同様に、これも病的な不連続解を持つ可能性がある。
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$は、すべての対数関数と、互いに素な整数引数を持つ加法関数によって満たされる。
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$、すべてのべき乗関数と互いに素な整数引数上の乗法関数が満たす。
• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]}$（二次方程式または平行四辺形の法則）
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2}$（ジェンセンの関数方程式）
• ${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]}$（ダランベールの関数方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$（アーベル方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$（シュレーダー方程式）。
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}}$（ベッチャーの式）。
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)}$（ジュリアの方程式）。
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)}$（レヴィ＝チヴィタ）
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)}$（正弦の加法公式と双曲線正弦の加法公式）、
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)}$（余弦の加法公式）、
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)}$（双曲線余弦の加法公式）。
• 交換法則と結合法則は関数方程式です。一般的な形では、結合法則は二項演算を中置記法で表しますが、a ○ bの代わりにf ( a , b )と書くと、結合法則はより一般的な関数方程式に近くなります。 $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$ $${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).}$$
• この関数方程式はリーマンゼータ関数^[a]によって満たされる。大文字のΓはガンマ関数を表す。 $${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$
• ガンマ関数は、次の3つの方程式の唯一の解である。^[要出典]
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          （オイラーの 反射公式）
• a、b、c、dが、すなわち= 1を満たす整数である関数方程式は、 f をk次モジュラー形式として定義します。 $${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

上記のすべての例に共通する特徴は、各ケースにおいて、解くべき未知の関数の引数の中に、2 つ以上の既知の関数 (定数による乗算、2 つの変数の加算、恒等関数など) が含まれていることです。

すべての解を求める場合、数学的解析からの条件を適用する必要があるかもしれません。例えば、前述のコーシー方程式の場合、連続関数となる解は「合理的な」解ですが、実用的ではない解も構築できます（実数を有理数上のベクトル空間としてハメル基底を用いることで）。ボーア＝モレルプ定理もよく知られた例です。

退縮

反転は関数方程式によって特徴付けられる。これはバベッジの関数方程式（1820）^{[3]に現れる。} ${\displaystyle f(f(x))=x}$

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

その他の反転や方程式の解としては、

• ${\displaystyle f(x)=a-x\,,}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$そして
• ${\displaystyle f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,}$

これには、前の 3 つが特別なケースまたは制限として含まれます。

解決

動的計画法では、ベルマンの関数方程式を解くために、固定小数点反復に基づく方法を含むさまざまな逐次近似法^{[4] [5]}が使用されます。

参照

• 関数方程式（L関数）
• ベルマン方程式
• 動的計画法
• 暗黙関数
• 関数微分方程式

注記

1. リーマンゼータ関数で証明§ リーマンの関数方程式

参考文献

1. ラシアス、テミストクレス・M. (2000). 関数方程式と不等式. 3300 AA ドルドレヒト、オランダ:クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ. p. 335. ISBN 0-7923-6484-8。{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
2. Czerwik, Stephan (2002). 『多変数関数方程式と不等式』 PO Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410. ISBN  981-02-4837-7。{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
3. Ritt, JF (1916). 「バベッジの関数方程式の特定の実数解について」.数学年報. 17 (3): 113– 122. doi :10.2307/2007270. JSTOR  2007270.
4. ベルマン、R.（1957年）『動的計画法』プリンストン大学出版局。
5. Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, Taylor & Francis .

参考文献

• János Aczél著『関数方程式とその応用に関する講義』Academic Press、1966年、Dover Publicationsより再版、ISBN 0486445232。
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Multiple Variables , Cambridge University Press , 1989.
• C. エフティミウ『関数方程式入門』 AMS、2011年、ISBN 978-0-8218-5314-6 ; オンライン。
• Pl. Kannappan, Function Equations and Inequalities with Applications , Springer, 2009.
• Marek Kuczma、『関数方程式と不等式の理論入門』、第 2 版、Birkhäuser、2009 年。
• Henrik Stetkær、「群の関数方程式」、初版、World Scientific Publishing、2013 年。
• クリストファー・G・スモール（2007年4月3日）『関数方程式とその解法』Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8。

外部リンク

• 関数方程式: EqWorld の正確な解: 数式の世界。
• 関数方程式: EqWorld: 数式の世界の索引。
• 問題解決における関数方程式に関する IMO 大要テキスト (アーカイブ)。

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