機能的微分

Concept in calculus of variation

数学的解析学の一分野である変分法において、関数微分（または変分微分）^[1]は関数（この意味での関数とは関数に作用する関数）の変化と、その関数が依存する関数の変化を関連付けます。

変分法において、関数は通常、関数の積分、その偏角、およびその導関数によって表現されます。関数の被積分関数Lにおいて、関数fに任意の小さな関数δfを加えて変化させ、その結果得られる被積分関数をδfのべき乗で展開した場合、第1項におけるδfの係数は関数微分と呼ばれます。

例えば、 f ′( x ) ≡ df / dxと なる関数を考えてみましょう。fに関数δfを加えて変化させ、その結果得られる積分関数L ( x , f + δf , f ′+ δf ′) をδfのべき乗で展開すると、 δfにおけるJの値の一次への変化は次のように表すことができます。^{[1] [注 1]ここで、導関数}δf ′の変化は、変化( δf ) ′の導関数として書き直され、これらの導関数では部分積分が用いられています。 $${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f'{(x)}\,)\,dx\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\end{aligned}}}$$

意味

この節では、関数微分（あるいは変分、第一変分）^{[注 2]}を定義する。次に、関数微分を用いて関数微分を定義する。

機能的鑑別

がバナッハ空間でが上で定義された汎関数であるとする。の点における の微分は上の線型汎関数であり、^[2]において という条件によって定義される。この条件は、 すべてのに対してとなる実数である。これはがのときとなるような方法で に依存することを意味する。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho \in B}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi \in B}$ $${\displaystyle F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho ;\phi ]+\varepsilon \left\|\phi \right\|}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \|\phi \|}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|\phi \|\to 0}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$

しかし、この関数微分の概念はあまりにも強いため、存在しない可能性もあり^{[3] 、そのような場合には}ガトー微分のようなより弱い概念が好まれる。多くの実用例では、関数微分は方向微分として定義される^[4]。この関数微分の概念は、ノルムなしでも定義できることに注意されたい。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\[1ex]&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$$

より一般的な場合、の定義域として現れる関数空間は ベクトル空間ではないため、 の形の変種は意味をなさない。この場合、の変種をとなる関数の -族と考える。^{[注 3]}このような変種全体の空間を と表記すると、関数微分は関数 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$ ${\displaystyle \alpha _{?}:(-\varepsilon _{0},\varepsilon _{0})\to B}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\rho }}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ]:{\mathcal {V}}_{\rho }\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ;\alpha ]=\delta F[\rho ][\alpha ]=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F[\alpha _{\epsilon }]-F[\rho ]}{\epsilon }}=F[\alpha _{?}]'(0)\end{aligned}}}$$

ここで。上記は特別な場合 となる。^[5] ${\displaystyle F[\alpha _{?}](\epsilon )=F[\alpha _{\epsilon }]}$ ${\displaystyle \alpha _{\epsilon }=\rho +\epsilon \eta }$

機能的微分

多くの応用において、関数のドメインはある空間上で定義された微分可能関数の空間であり、ある関数に対して の形をとり 、この関数は、値、および導関数に依存する場合がある。この場合、が の積分と別の関数（δF / δρと表記）として表されるとき、この関数δF / δρはρにおけるFの関数微分と呼ばれる。^{[6] [7]}が特定の関数だけに制限される場合（たとえば、何らかの境界条件が課されている場合）、 はこれらの条件を満たし続けるような関数に制限される。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}$$ ${\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle D\rho (x)}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$

経験的に、は における変化なので、「正式に」 となり、これは関数 の全微分（は独立変数）の形式に似ています。最後の 2 つの式を比較すると、関数微分は偏微分と同様の役割を果たします。偏微分では、積分変数は総和指数 の連続バージョンのようなものです。^[8] δF / δρは点ρにおけるFの勾配と考えられるため、値δF / δρ(x)は関数ρ が点xで変化した場合に関数F がどれだけ変化するかを測定します。したがって、式は 点における の方向への方向微分と見なされます。これはベクトル解析に類似しており、ベクトルと勾配の内積はの方向への方向微分を与えます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi =\delta \rho }$ ${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$ $${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}$$ ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$ ${\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}$ ${\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$

プロパティ

関数の微分と同様に、関数微分はF [ ρ ]とG [ ρ ]が関数であるとき、以下の性質を満たす：^[注4]

• 直線性：^[9] ここでλ、μは定数である。 $${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$$
• 積の法則: ^[10] $${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$$
• チェーンルール:
  • Fが関数でGが別の関数である場合、^[11] $${\displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$$
  • Gが通常の微分可能関数（局所関数）gである場合、これは^{[12]に帰着する。} $${\displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$$

関数導関数の決定

一般的な関数のクラスの関数微分を求める公式は、関数とその微分の積分として表すことができます。これはオイラー・ラグランジュ方程式の一般化です。実際、関数微分は、ラグランジュ力学（18世紀）における最小作用原理から第二種ラグランジュ方程式を導出する際に物理学に導入されました。以下の最初の3つの例は密度汎関数理論（20世紀）、4番目の例は統計力学（19世紀）から引用されています。

式

関数 と積分領域の境界で消える関数が与えられている。前節の定義より、 $${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$ ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

2行目は全微分を使って得られます。ここで、∂f / ∂∇ρはベクトル に関するスカラーの微分です。^{[注 5]}

3行目は発散の積の法則を用いて得られた。4行目は発散定理と積分領域の境界上での条件を用いて得られた。も任意関数なので、変分法の基本補題を最後の行に適用すると、関数微分は次のようになる。 ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$$

ここで、ρ = ρ ( r )、f = f ( r , ρ , ∇ ρ )です。この式は、この節の冒頭で示した関数形F [ ρ ]の場合に用いられます。他の関数形については、関数微分の定義を出発点として用いることができます。（クーロンポテンシャルエネルギー関数の例を参照。）

上記の関数微分方程式は、高次元および高階微分を含む場合に一般化できます。関数は、 $${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$

ここでベクトルr ∈ R ⁿ、∇ ^{( i )は}n ⁱ個の成分がi次偏微分演算子であるテンソルである。 ^{[注 6]} $${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i}=1,2,\dots ,n\ .}$$

関数微分の定義を同様に適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$$

最後の2つの式において、テンソルのn ⁱ成分はρの偏微分に関するfの偏微分であり、テンソルのスカラー積は^{[注7]である。} ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}}$$ ${\displaystyle \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}}$ $${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$$

例

トーマス・フェルミ運動エネルギー汎関数

1927年のトーマス・フェルミ模型は、電子_構造の密度汎関数理論の最初の試みとして、相互作用しない均一電子ガスの運動エネルギー汎関数を用いた。T TF [ ρ ]の積分関数はρ ( r )の微分を含まないため、 T _TF [ ρ ]の汎関数微分は、^[13] $${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.}$$

クーロンポテンシャルエネルギー関数

電子-原子核間の位置エネルギーは $${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$$

関数微分の定義を適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\[1ex]&{}=\int {\frac {\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$$

電子-電子相互作用の古典的部分（しばしばハートリーエネルギーと呼ばれる） の関数微分は、関数微分の定義から、 第2項のrとr′は積分値を変えずに入れ替えることができる ため、最後の式の右辺第1項と第2項は等しい。したがって、電子-電子クーロンポテンシャルエネルギー関数J [ ρ ]の関数微分は、次のようになる。 ^[14] $${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,J[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\varepsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$$

2番目の関数導関数は $${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

フォン・ヴァイツゼッカーの運動エネルギー汎関数

1935年にフォン・ヴァイツゼッカーはトーマス・フェルミの運動エネルギー関数に勾配補正を加えて分子電子雲に適合させることを提案した。ここで、関数微分に以前に導出された式を用いると、結果は次のようになる。^[15] $${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} \,,}$$ $${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho }}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho }}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$$

エントロピ

離散確率変数のエントロピーは、確率質量関数の関数です。

$${\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}$$したがって、したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}H[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$$

指数関数

させて $${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$$

デルタ関数をテスト関数として使用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$$

これは、量子場理論における分割関数から相関関数を計算する場合に特に役立ちます。

関数の関数微分

関数は、汎関数と同様に積分の形で表すことができます。例えば、 被積分関数はρの微分に依存しないため、 ρ ( r )の汎関数微分は、 $${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').}$$

反復関数の関数微分

反復関数の関数微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle f(f(x))}$ $${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$$

一般的に： $${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$$

N = 0とすると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}$$

デルタ関数をテスト関数として使用する

物理学では、一般的なテスト関数の代わりにディラックのデルタ関数を 使用して、点（偏微分は勾配の要素であるため、これは関数微分全体の点である）における関数微分を生成するのが一般的である。^[16] ${\displaystyle \delta (x-y)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$$

これは、 が の級数として（少なくとも一次までは）展開できる場合に有効です。しかし、 は通常は定義されていないため、この式は数学的に厳密ではありません。 ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$

前の節で示した定義は、すべてのテスト関数 に成立する関係に基づいているため、 をデルタ関数などの特定の関数として選択した場合にも成立すると考える人もいるかもしれません。しかし、後者は有効なテスト関数ではありません（適切な関数ですらないのです）。 ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

定義において、汎関数微分は、関数 全体の小さな変化の結果として汎関数 がどのように変化するかを記述します。 における変化の具体的な形は指定されていませんが、 が定義されている区間全体にわたって広がる必要があります。デルタ関数によって与えられる摂動の具体的な形を用いるということは、 が点 においてのみ変化することを意味します。この点以外では、 には変化はありません。 ${\displaystyle F[\rho (x)]}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho (x)}$

注記

1. Giaquinta & Hildebrandt (1996)、p. 18によれば、この表記法は物理学の文献では慣例となっている。
2. (Giaquinta & Hildebrandt 1996, p. 3)では第一変異、( Courant & Hilbert 1953, p. 186)では変異または第一変異、 (Gelfand & Fomin 2000, p. 11, § 3.2)では変異または微分、(Parr & Yang 1989, p. 246)では微分と呼ばれています。
3. ホモトピーを参照。
4. ここで表記法が導入されます。 $${\displaystyle {\frac {\delta {F}}{\delta \rho }}(x)\equiv {\frac {\delta {F}}{\delta \rho (x)}}}$$
5. 3次元直交座標系の場合、、、はx 、y 、z軸に沿った単位ベクトルです。 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{x}}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{y}}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{z}}}\mathbf {\hat {k}} \,,}$$ ${\displaystyle \rho _{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,,\ \rho _{y}={\frac {\partial \rho }{\partial y}}\,,\ \rho _{z}={\frac {\partial \rho }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$
6. n = 3）および2次導関数（ i = 2 ）の場合、テンソル∇ ^（2）には、およびの成分があります。 $${\displaystyle \left[\nabla ^{(2)}\right]_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1,2,3}$
7. たとえば、 n = 3およびi = 2の場合、テンソルのスカラー積は次のようになります。 $${\displaystyle \nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\ {\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\,{\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha \beta }}},}$$ ${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }\equiv {\frac {\partial ^{\,2}\rho }{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}}$

脚注

1. ジアキンタ & ヒルデブラント (1996)、p. 18
2. ゲルファンド＆フォミン（2000年）、11ページ。
3. ジアキンタ & ヒルデブラント (1996)、p. 10.
4. ジアキンタ & ヒルデブラント (1996)、p. 10.
5. Terek, Ivo (2019年6月12日). 「多様体上の変分計算入門」(PDF) . 2025年11月1日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
6. パーとヤン (1989)、p. 246、式。 A.2.
7. Greiner & Reinhardt (1996)、36、37ページ。
8. パー＆ヤン（1989）、246ページ。
9. パーとヤン (1989)、p. 247、式。 A.3.
10. パーとヤン (1989)、p. 247、式。 A.4.
11. Greiner & Reinhardt (1996)、38ページ、式6。
12. Greiner & Reinhardt (1996)、38ページ、式7。
13. パーとヤン (1989)、p. 247、式。 A.6.
14. パーとヤン (1989)、p. 248、式。 A.11.
15. パーとヤン (1989)、p. 247、式。 A.9.
16. グレイナー＆ラインハルト（1996）、37ページ

参考文献

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• Greiner, Walter ; Reinhardt, Joachim (1996)、「Section 2.3 – Functional derivatives」、Field quantization、DA Bromleyによる序文付き、ベルリン・ハイデルベルク・ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. 36–38、ISBN 3-540-59179-6、MR  1383589、Zbl  0844.00006。
• Parr, RG; Yang, W. (1989). 「付録A 汎関数」. 原子・分子の密度汎関数理論. ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. pp.  246– 254. ISBN 978-0195042795。

外部リンク

• 「関数微分」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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