基本群

Mathematical group of the homotopy classes of loops in a topological space

代数位相幾何学という数学 分野において、位相空間の基本群とは、その空間に含まれるループのホモトピーによる同値類の群である。これは位相空間の基本的な形状、すなわち穴に関する情報を記録する。基本群は、最初で最も単純なホモトピー群である。基本群はホモトピー不変量であり、ホモトピー同値である位相空間（または同相のより強いケース）は、同型の基本群を持つ。位相空間の基本群は で表される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

直感

空間（例えば、曲面）とその中のある点、そしてこの点を起点と終点とするすべてのループ（この点から始まり、周囲を巡り、最終的に起点に戻る経路）から始めます。2つのループは、明らかな方法で結合できます。つまり、最初のループに沿って進み、次に2番目のループに沿って進みます。2つのループは、一方が他方に変形しても壊れない場合、同値とみなされます。この結合方法とそれらの間の同値性を持つすべてのループの集合は、その特定の空間の基本群です。

歴史

アンリ・ポアンカレは1895年に論文『位置解析』において基本群を定義した。^[1]この概念は、ベルンハルト・リーマン、ポアンカレ、フェリックス・クラインによるリーマン面理論の中で生まれた。基本群は複素数値関数のモノドロミー性を記述するとともに、閉曲面の完全な位相的分類を提供する。

意味

この記事全体を通して、は位相空間です。典型的な例は、右図のような曲面です。さらに、は における点であり、基点と呼ばれます。（後述するように、その役割はむしろ補助的です。）ホモトピー群の定義の考え方は、 上の曲線が（広義に言えば）いくつ互いに変形できるかを測定することです。正確な定義は、最初に説明するループのホモトピーの概念に依存します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ループのホモトピー

位相空間が与えられたとき、を基底とするループは連続関数（連続写像とも呼ばれる）として定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

開始点と終了点が両方とも に等しくなるようにします。 ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma (1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

ループのホモトピー

ホモトピーとは、2つのループ間の連続的な補間である。より正確には、2つのループ（同じ点を基準とする）間のホモトピーは連続写像である。 ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

そういう

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$つまり、ホモトピーの開始点はすべてに対してです(これは多くの場合、時間パラメータとして考えられます)。 ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$つまり、同様に、終点はすべてのtに対して のままです。 ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)}$すべてのために。 ${\displaystyle r\in [0,1]}$

そのようなホモトピーが存在する場合、とはホモトピー的であるといわれます。「は にホモトピー的である」という関係は同値関係であるため、同値類の集合は次のように考えられます。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}}$。

この集合（後述する群構造を持つ）は、基点 における位相空間 の基本群と呼ばれる。ホモトピーまでのループの同値類を、ループ全体の集合（いわゆる のループ空間）ではなく考察する目的は、後者が様々な用途に有用である一方で、かなり大きく扱いにくいオブジェクトであるためである。これに対し、上記の商は多くの場合、より扱いやすく計算しやすい。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$

グループ構造

ループの追加

上の定義によれば、は単なる集合である。ループの連結によって群（したがって基本群と呼ぶにふさわしい）となる。より正確には、2つのループ が与えられたとき、それらの積はループ として定義される。 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

したがって、ループは最初に「2 倍の速度」でループに従い、次に「2 倍の速度」でループに従います。 ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$

ループの2つのホモトピー類の積はと定義されます。この積は代表値の選択に依存せず、したがって集合 に対する明確に定義された演算を与えることが示されます。この演算は群になります。その中立元は定数ループの同値（ホモトピー）類であり、これは常にとなります（つまり、この類は定数ループに連続的に変形できるすべてのループで構成されます。直感的に言えば、「穴に巻き付かない」すべてのループです）。ループ（のホモトピー類）の逆は、同じループですが、反対方向に走査されます（つまり、異なるホモトピー類になります）。より正式には、 ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$ ${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ ${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).}$

3つの基底ループが与えられた場合、積 ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

これらのループを連結したもので、まず4倍の速度で移動し、次に2倍の速度で移動します。比較すると、 ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

同じ経路を（同じ順序で）通過しますが、速度は2倍、速度は4倍です。したがって、速度が異なるため、2つの経路は同一ではありません。結合性公理 ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

したがって、パスがホモトピーまで考慮されるという事実に決定的に依存します。実際、上記の両方の合成は、例えば3つのループすべてを3倍の速度で通過するループに対してホモトピーです。したがって、上記の操作を備えた、ホモトピーまでの基底ループの集合は群になります。 ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

基点の依存性

基本群は一般に基底点の選択に依存するが、同型性を除いて、空間がパス連結である限り、この選択は影響を及ぼさないことが分かる。より正確には、2つの基底点間のパスを前連結および後連結することにより、同型性が得られる。この同型性は一般に一意ではなく、ホモトピーを除いてパスの選択に依存する。しかし、パスを変更しても、2つの基本群間の同型性は、内部自己同型との合成によってのみ変化する。したがって、基底点の選択が重要でない場合は、 慣例的に ではなく と表記する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

具体的な例

スタードメインは、任意のループをドメインの中心（ と表記）に縮小できるため、単純に連結されています。 ${\displaystyle x_{0}}$

この節では、基本群の基本的な例をいくつか挙げます。まず、ユークリッド空間( ) またはの任意の凸部分集合にはループのホモトピー類は1つしか存在しないため、基本群は元を1つ持つ自明な群です。より一般的には、任意のスタードメイン、そしてさらに一般的には任意の縮約可能空間には、自明な基本群が存在します。したがって、基本群はそのような空間を区別しません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

2次元球面

2次元球面（ボールの表面）上のループが点に収縮される

基本群が自明な経路連結空間は、単連結と呼ばれます。たとえば、右側に示されている2 次元球面や、すべての 高次元球面 は単連結です。図は、特定のループを定数ループに縮約するホモトピーを示しています。この考え方は、の像に含まれない点が存在するようなすべてのループに適応できます。ただし、 となるループ (たとえば、ペアノ曲線から構築)もあるため、完全な証明には、ザイフェルト・ファン・カンペンの定理や細胞近似定理などの代数位相幾何学のツールを用いたより慎重な分析が必要です。 ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$

サークル

円のホモトピー群の元

円（1球とも呼ばれる）

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

は単連結ではない。代わりに、各ホモトピー類は、円周を与えられた回数（巻き方向によって正または負になる）だけ巻き付けるすべてのループから構成される。回巻き付けるループと回巻き付けるループの積は、回巻き付けるループである。したがって、円周の基本群は整数の加法群と同型である。この事実は、ブラウワー不動点定理^[2]と次元2​​におけるボルスク・ウラム定理^[3]の証明に用いることができる。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$

8の字

8の字の基本群は、2つの生成元aとb上の自由群です。

8の字の基本群は、2つの文字の自由群です。これを証明するアイデアは次のとおりです。2つの円が交わる点（右の図で黒の点線で囲まれた点）を基点とすると、任意のループは次のように分解できます。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

ここで、aとbは、図に示すように、図形の各半分を囲む2つのループであり、指数は整数です。8の字の基本群とは異なり、8の字はアーベル群ではありません。2つの合成方法は互いにホモトピックではありません。 ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

より一般的には、円の花束 ${\displaystyle r}$の基本群は文字上の自由群です。 ${\displaystyle r}$

2つの経路連結空間のくさび和の基本群は、個々の基本群の自由積として計算できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

これは、数字の 8 が 2 つの円のくさびの合計であるため、上記の観察を一般化したものです。

点で穴をあけられた平面の基本群は、生成元を持つ自由群でもある。-番目の生成元は、-番目の穴を回り、他の穴を回らないループの類である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

グラフ

基本群は離散構造に対しても定義できます。特に、に指定された頂点を持つ連結 グラフ を考えます。 内のループはで始まり で終わる閉路です。^[4]を の全域木とします。内のすべての単純ループには 内の辺が1つだけ含まれます。 内のすべてのループは、そのような単純ループの連結です。したがって、 のグラフの基本群は自由群であり、その生成子の数は 内の辺の数と正確に等しくなります。この数は に等しくなります。^[5] ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E\setminus T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E\setminus T}$ ${\displaystyle |E|-|V|+1}$

例えば、が16個の頂点を4列に並べ、各頂点が4つずつ4行に並んでおり、辺は水平または垂直に隣接する頂点を接続しているとします。この場合、 は全体で24個の辺を持ち、各全域木の辺の数は16 − 1 = 15なので、 の基本群は9個の生成元を持つ自由群です。^[6]には9個の「穴」があり、これは9個の円の花束に似ており、同じ基本群を持ちます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

結び目群

三つ葉結び。

結び目群は、定義により、に埋め込まれた結び目の補集合の基本群です。たとえば、三つ葉結び目の結び目群は、非可換基本群の別の例となる組紐群であることが知られています。Wirtingerによるプレゼンテーションでは、結び目の図に基づいて、生成元と関係の観点から結び目群を明示的に説明しています。したがって、結び目群は、結び目理論で結び目を区別するために何らかの用途があります。が別の結び目 の別の結び目群と同型でない、を に変換することはできません。したがって、三つ葉結び目を円 (非結び目とも呼ばれる) に連続的に変換することはできません。これは、後者が結び目群 を持つためです。ただし、互いに変形できないが、同型の結び目群を持つ結び目もあります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle B_{3},}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

有向面

種数nの向き付け可能な曲面の基本群は、生成元と関係を用いて次のように計算できる。

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

これにはトーラスが含まれ、これは種数1の場合であり、その基本群は

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$

位相群

位相群 の基本群（基点を中立元とする）は常に可換である。特に、リー群の基本群は可換である。実際、 上の群構造は別の群構造を付与する。における2つのループと が与えられれば、における群乗法を用いて別のループを定義できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

すべてのループの集合に対するこの二項演算は、上述のものとは先験的に独立である。しかし、エックマン・ヒルトンの論証によれば、この二項演算は実際には上記のループの連結と一致し、さらに結果として得られる群構造はアーベル的であることが示される。^{[7] [8]} ${\displaystyle \star }$

証明を検証すると、より一般的には、任意のH空間に対して がアーベル的であることが示される。つまり、乗法は逆元を持つ必要はなく、結合的である必要もない。例えば、これは別の位相空間 のループ空間の基本群がアーベル的であることを示す。関連するアイデアは、ハインツ・ホップによるリー群 のコホモロジーの計算につながる。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$

関数性

が連続写像であり、とのとき、 の基点を持つすべてのループはと合成することができ、の基点を持つループが得られる。この演算はホモトピー同値関係およびループの合成と両立する。結果として得られる群準同型 は誘導準同型と呼ばれ、次のように書かれる。より一般的には、 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{0}.}$ ${\displaystyle \pi (f)}$

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

連続写像から群準同型へのこの写像は、写像と恒等写像の合成と両立する。したがって、圏論の用語では、位相空間にその基本群を関連付ける形成は関手である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

基点を伴う位相空間の圏から群の圏へ。この関数は、基点に対してホモトピーな写像を区別しないことが判明している。すなわち、が を伴う連続写像であり、と がに対してホモトピーな写像である場合、となる。結果として、ホモトピー同値な2つの経路連結空間は、同型な基本群を持つ。 ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle f_{*}=g_{*}}$

${\displaystyle X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

例えば、穴の開いた平面に円を含める

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

はホモトピー同値であり、したがってそれらの基本群の同型性をもたらす。

基本群関数は積を積に、余積を余積に結び付ける。つまり、とが経路連結であれば、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})}$

そして、それらが局所的に収縮可能である場合、

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

（後者の式では、は尖った位相空間の楔和と群の自由積を表します。）後者の式は、基本群関数が包含に沿った押し出しから押し出しへと進むことを述べている、ザイフェルト・ファン・カンペンの定理の特殊なケースです。 ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle *}$

要約結果

上で述べたように、比較的単純な位相空間の基本群を計算することでさえ、完全に簡単ではなく、代数的位相幾何学のいくつかの手法が必要になります。

第一相同群との関係

基本群のアーベル化は、空間の最初のホモロジー群と同一視できます。

ヒューレヴィッツの定理の特別な場合として、第一特異ホモロジー群は 、口語的に言えば、アーベル群を用いた基本群への最も近い近似であると主張する。より詳細には、各ループのホモトピー類をループのホモロジー類に写像すると、群準同型が得られる。 ${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

位相空間の基本群からその第一特異ホモロジー群への準同型写像。この準同型写像は一般に同型写像ではない。なぜなら、基本群は非可換群である可能性があるが、ホモロジー群は定義により常に可換群だからである。しかし、この違いは唯一のものである。もしが経路連結であれば、この準同型写像は射影的であり、その核は基本群の交換子部分群である。したがって、 は基本群の可換化と同型である。 ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{1}(X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

位相空間の接着

上記のステートメントを一般化すると、経路連結な空間の族に対して、基本群は^[10]の基本群の自由積である。この事実は、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理の特別な場合であり、より一般的に、他の空間から貼り合わされた空間の基本群を計算することを可能にする。たとえば、2 次元球面は、赤道の近傍に沿ってわずかに重なり合う半球の 2 つのコピーを貼り合わせることで得られる。この場合、2 つの半球は収縮可能であり、したがって基本群が自明であるため、定理から は自明である。上で述べたように、曲面の基本群もこの定理を使用して計算できる。 ${\displaystyle X_{i},}$ ${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$

圏論の用語で言えば、この定理は、基本群関数が（位相空間のカテゴリーにおける）押し出しから（群のカテゴリーにおける）押し出しに至ると簡潔に述べることができる。 ^[11]

カバー

この写像は被覆である。すなわち、（灰色で強調表示されている）の原像は、 のコピーの互いに素な和である。さらに、 は縮約可能であり、したがって単連結であるため、これは普遍被覆である。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]\to S^{1}\times [0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]}$

位相空間が与えられた場合、連続写像 ${\displaystyle B}$

${\displaystyle f:E\to B}$

はの被覆と呼ばれるか、は の被覆空間と呼ばれる場合、 の任意の点が開近傍を許容し、の原像と（何らかの集合 で添え字付けされた）のコピーの非素和との間に同相写像が存在する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

標準的な投影図^[12] ${\displaystyle \pi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$

ユニバーサルカバー

被覆は、前述の条件に加えて単連結であるとき、普遍被覆と呼ばれる。 ^{[13] は}、他のすべての被覆が 内の点を適切に特定することによって構成できるという意味で普遍的である。普遍被覆を知ることは、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\to X}$

位相空間の は、その基本群を理解する上でいくつかの点で役立つ。まず、はデッキ変換の群、すなわち への写像と可換な同相写像の群、すなわちと同一視される。基本群とのもう1つの関係は、 がファイバー と同一視できることである。たとえば、写像 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle p^{-1}(x).}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},\,t\mapsto \exp(2\pi it)}$

（あるいは、同値として）は普遍被覆である。デッキ変換は、の写像である。これは、特に上記の主張を証明する同一視と一致している。 ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]}$ ${\displaystyle t\mapsto t+n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} .}$

任意のパス連結、局所パス連結、局所単連結な位相空間には、普遍被覆が存在する。^[14]抽象的な構成は、の点、はから へのパスのホモトピー類である の対をとることによって、基本群と同様に進められる。位相空間からその普遍被覆への移行は、 の幾何学を理解する際に使用できる。例えば、均一化定理は、任意の単連結リーマン面がまたは上半平面と（同型）であることを示している。^{[15]そして、これら 3 つの面への}群作用の商として、一般リーマン面が生じる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,\gamma )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

単連結空間上の離散群の自由作用の商は基本群を持つ。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}(Y/G)\cong G.}$

一例として、実次元の実射影空間は、を に送る群の反対称作用による次元単位球面の商として得られます。はに対して単に接続されているため、これらの場合ではの普遍被覆となり、に対してが成り立ちます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})\cong \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

リー群

を連結かつ単連結なコンパクトリー群（例えば特殊ユニタリ群）とし、を の有限部分群とする。すると、同質空間は基本群 を持ち、これは普遍被覆空間 に右乗法で作用する。この構成には多くのバリエーションがあるが、最も重要なものの一つは局所対称空間によって与えられる。ここで ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(n)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=\Gamma \setminus G/K}$

• ${\displaystyle G}$は非コンパクト単連結連結リー群（多くの場合半単純）であり、
• ${\displaystyle K}$は、 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle \Gamma }$はの離散可算な 捩れのない部分群である。 ${\displaystyle G}$

この場合、基本群はであり、普遍被覆空間は実際には収縮可能です(リー群のカルタン分解によって)。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/K}$

例として、と、モジュラー群の任意のねじれのない合同部分群を取ります。 ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle K={\text{SO}}(2)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

明示的な実現から、パス連結位相群 の普遍被覆空間 もまたパス連結位相群 となる。さらに、被覆写像 は の連続開準同型写像であり、核 はの閉離散正規部分群である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

は離散群 への共役による連続作用を持つ連結群であるため、自明に作用するはずであり、したがって はの中心の部分群でなければならない。特に はアーベル群である。これは被覆空間を用いずに容易に直接見ることができる。この群はの普遍被覆群と呼ばれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi _{1}(H)=\Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

普遍被覆群が示唆するように、位相群の基本群と群の中心の間には類似点があります。これは被覆群の格子で詳しく説明されています。

繊維

ファイバ化はホモトピー群を計算するための非常に強力な手段を提供する。ファイバ化はいわゆる全空間と基底空間に存在し、特にそのすべてのファイバがホモトピー同値であるという性質を持つパス連結であれば、基本群（および高次のホモトピー群）を用いて区別することはできない^{。 [16]}したがって、この空間は基底空間とファイバの「ねじれ積」とみなすことができるホモトピー群の計算におけるファイバ化の重要性は、長い正確なシーケンスに由来する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

ただし、は経路連結である。^[17]はの第二ホモトピー群であり、 からへの写像のホモトピー類の集合として定義され、 の定義と直接類似している。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi _{2}(B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi _{1}.}$

が経路連結かつ単連結である場合、この列は同型となる。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

これは、普遍被覆に関する上記の事実を一般化したものである（つまり、ファイバーも離散的である場合に相当する）。もし、ファイバーが連結かつ単連結である場合、それは同型となる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

さらに、このシーケンスは、3 つの空間のより高次のホモトピー グループを使用して左側で継続することができ、これにより、同様の流れでそのようなグループを計算するためのアクセスが提供されます。 ${\displaystyle \pi _{n}}$

古典リー群

このようなファイバー列は、次のような特殊ユニタリ群のようなコンパクト古典リー群の基本群を帰納的に計算するために使用できる。この群は単位球面の内部で推移的に作用する。球面内の点の安定子はと同型である。すると^[18]から、ファイバー列が得られることが示される。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

球面は少なくとも3次元な ので、 ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2n-1})\cong \pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

長完全列は同型性を示す

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

は一点なので、自明であり、これはすべての点について単連結であることを示す。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle n.}$

非コンパクトリー群の基本群は、その最大コンパクト部分群にホモトピックであるため、コンパクト群に還元することができる。^[19]これらの方法により、次のような結果が得られる。^[20]

コンパクト古典リー群G	非コンパクトリー群	${\displaystyle \pi _{1}}$
特殊ユニタリ群 ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$	1
ユニタリグループ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
特殊直交群 ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$のためにそしてのために ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=2}$
コンパクトシンプレクティック群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$	1

基本群を計算する2つ目の方法は、すべての連結コンパクトリー群に適用され、最大トーラスとそれに伴うルート系の仕組みを利用する。具体的には、連結コンパクトリー群の最大トーラスを とし、のリー代数を とする。指数写像 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle T.}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {t}}\to T}$

はファイブレーションであり、したがってその核は写像と同一視される。 ${\displaystyle \Gamma \subset {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(T).}$

${\displaystyle \pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)}$

は、コルートの整数線形結合の集合によって与えられる核を持つ射影的であることが示され^[21]、これは計算につながる。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.}$^[22]

この方法は、例えば、関連するルートシステムが型 ${\displaystyle G_{2}}$である連結コンパクトリー群はどれも単連結であることを示します。^[23]したがって、（同型性を除いて） 型リー代数を持つ連結コンパクトリー群は 1 つだけ存在します。この群は単連結であり、中心は自明です。 ${\displaystyle G_{2}}$

単体複体の辺路群

位相空間が単体複体に同相である場合、その基本群は生成元と関係を用いて明示的に記述できます。

が連結された単体複体である場合、におけるエッジパスは、 におけるエッジで連結された頂点の連鎖であると定義されます。2 つのエッジパスは、1 つのエッジと、 における三角形の 2 つの反対のエッジとの間を順次切り替えることによって、一方が他方から得られる場合、エッジ同値であるということになります。が における固定頂点である場合、におけるエッジループは、 で始まり で終わるエッジパスです。エッジパス群は、におけるエッジループのエッジ同値類の集合であると定義され、積と逆はエッジループの連結と反転によって定義されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E(X,v)}$ ${\displaystyle v}$

エッジパス群は、の幾何学的実現の基本群と自然に同型である。^[24]これはの2-スケルトン（つまり、 の頂点、エッジ、三角形） のみに依存するため、群と は同型である。 ${\displaystyle \pi _{1}(|X|,v)}$ ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(|X|,v)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(|X^{2}|,v)}$

エッジパス群は、生成元と関係を用いて明示的に記述できます。が1-スケルトンの最大全域木である場合、 ' は、生成元（には現れないの向き付けられたエッジパス）と関係（ の三角形に対応するエッジ同値）を持つ群 と標準同型です。 を の任意の単連結な（特に縮約可能な）部分複体で置き換えた場合にも、同様の結果が成り立ちます。これは、多くの場合、基本群を計算する実際的な方法を提供し、有限に提示されたすべての群が有限単体複体の基本群として生じることを示すのに使用できます。これは、基本群によって分類される位相面に使用される古典的な方法の 1 つでもあります。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E(X,v)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

有限連結単体複体の普遍被覆空間は、エッジパスを用いた単体複体として直接記述することもできます。その頂点は の対で、 は の頂点であり、γ はからへのパスのエッジ同値類です。を含む -単体は、を含む -単体に自然に対応します。 -単体の各新しい頂点はエッジを与え、したがって、連結によりからへの新しいパスが生成されます。点と は、普遍被覆空間における「転送された」単体の頂点です。エッジパス群は、連結により自然に作用し、単体構造を保存します。そして、商空間は です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (w,\gamma )}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (w,\gamma )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle wu}$ ${\displaystyle \gamma _{u}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (w,\gamma )}$ ${\displaystyle (u,\gamma _{u})}$ ${\displaystyle X}$

この方法は任意の位相空間の基本群を計算するのにも使えることはよく知られている。これはエドゥアルト・チェフとジャン・ルレーも間違いなく知っていたし、アンドレ・ヴェイユの論文^[25]にも明示的に言及されていた。ロレンツォ・カラビ、ウー・ウェンツュン、ノダール・ベリカシビリといった他の著者も証明を発表している。有限開被覆を持つコンパクト空間において、被覆内の開集合の空でない有限交差がすべて縮約可能であるような最も単純なケースでは、基本群は被覆の神経に対応する単体複体の辺路群と同一視できる。 ${\displaystyle X}$

実現可能性

• あらゆる群は、2次元（またはそれ以上）の連結 CW複体の基本群として実現できます。ただし、前述のように、 1次元CW複体（つまりグラフ）の基本群として現れるのは自由群のみです。
• 有限に提示されたすべての群は、4次元（またはそれ以上）のコンパクトで連結な滑らかな多様体の基本群として実現できる。しかし、低次元多様体の基本群として現れる群には厳しい制約がある。例えば、階数4以上の自由アーベル群は、 3次元以下の多様体の基本群として実現することはできない。すべての群がコンパクト・ハウスドルフ空間の基本群として実現できるのは 、測定可能な基数が存在しないときのみであることが証明できる。^[26]

関連概念

高次ホモトピー群

大まかに言えば、基本群は空間の1次元の穴構造を検出しますが、2次元球面のような高次元の穴は検出しません。このような「高次元の穴」は、 からへの（基点保存）写像のホモトピー類からなると定義される高次ホモトピー群 を用いて検出できます。例えば、Hurewiczの定理によれば、 n次元球面のすべての-次元ホモトピー群に対して、 ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^[27]

上で古典リー群の計算で述べたように、高次ホモトピー群は基本群の計算にも関連することがあります。 ${\displaystyle \pi _{1}}$

ループスペース

コンパクト開位相を備えた尖端空間 における基底ループの集合（そのまま、すなわちホモトピーまで考慮されていない）はループ空間として知られ、次のように表記される。の基本群は、そのループ空間のパス成分の集合と一対一である。^[28] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X.}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

基本群

基本群は、基底点の選択が望ましくない場合に有用な基本群の変種である。これは、まず連続関数における経路の圏を考慮することによって定義される。 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$、

ここで、は任意の非負の実数である。このアプローチでは長さが可変であるため、このような経路はそのまま（すなわちホモトピーに達しないまま）連結することができ、したがってカテゴリが得られる。^[29]同じ端点と長さを持つ2つの経路、それぞれ'は、端点に対してホモトピックとなる実数が存在する場合、同値とみなされる。[ 30 ] [ ^{31 ]} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u,v\geqslant 0}$ ${\displaystyle r+u=r'+v}$ ${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$ ${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$

この同値関係に至る経路の圏は と表記される。における各射は同型であり、その逆は同一の経路を反対方向にたどることで与えられる。このような圏は類群と呼ばれる。これは基本群を再現する。なぜなら、 ${\displaystyle \Pi (X).}$ ${\displaystyle \Pi (X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$。

より一般的には、状況の幾何学に応じて選ばれた基点の集合上の基本群を考えることができる。例えば、円の場合、 2つの連結な開集合の和集合として表され、その交点が2つの成分を持つ場合、各成分から1つの基点を選ぶことができる。ファン・カンペンの定理は、基本群に対するバージョンも許容しており、例えば^[32]の基本群(oid)を計算する別の方法を与える。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

ローカルシステム

一般的に言えば、表現は、群の特徴を他の数学的対象（多くの場合ベクトル空間）への作用によって示すのに役立ちます。基本群の表現は非常に幾何学的な意味を持ちます。つまり、任意の局所システム（つまり、上の任意の点の十分に小さい近傍において局所的に、 の制限が形式 の定数層であるという特性を持つ上の層）は、いわゆるモノドロミー表現、つまり- 次元 -ベクトル空間上の基本群の表現を生じます。逆に、パス連結空間上のそのような表現はどれも、このようにして生じます。^{[33] の}表現と局所システム間のカテゴリの同値性は、たとえば、クニジニク–ザモロドチコフ方程式などの微分方程式の研究で使用されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

エタール基本群

代数幾何学では、いわゆるエタール基本群が基本群の代わりに使用される。^[34]代数多様体またはスキーム上のザリスキー位相は、例えば、の開部分集合の位相よりもはるかに粗いため、区間からへの連続写像を考えることはもはや意味がない。その代わりに、グロタンディークによって開発されたアプローチは、のすべての有限エタール被覆を考えることによってを構築することにある。これらは、有限ファイバーによる被覆の代数幾何学的類似物として役立つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$ ${\displaystyle X}$

これにより、例えば有限体上で定義された多様体など、古典的な位相的直観が全く得られない状況にも適用可能な理論が得られる。また、体のエタール基本群はその（絶対）ガロア群である。一方、複素数上の滑らかな多様体の場合、エタール基本群は古典的な基本群に内在する多くの情報を保持している。すなわち、前者は後者の有限完備化である。 ^[35] ${\displaystyle X}$

代数群の基本群

ルート系の基本群は、リー群の計算と同様に定義されます。^{[36]これにより、半単純}線型代数群 の基本群を定義して使用することができ、これは線型代数群の分類に役立つ基本的なツールです。^[37] ${\displaystyle G}$

単体集合の基本群

単体集合 の1-単体間のホモトピー関係は、がKan複体である場合には同値関係となるが、一般には必ずしもそうではない。^[38]したがって、Kan複体の は、1-単体のホモトピー類の集合として定義できる。任意の単体集合の基本群は、その位相的実現のホモトピー群、すなわち の単体集合構造によって規定される位相的単体を貼り合わせることで得られる位相空間として定義される。^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |X|,}$ ${\displaystyle X}$

参照

• オービフォールド基本群
• 基本グループスキーム

注記

1. アンリ、ポアンカレ(1895)。 「分析現場」。エコールポリテクニックジャーナル。 (2) (フランス語)。1：1～ 123。ポアンカレ、アンリ（2009年）「Analysis Situs」（PDF）に翻訳。位相幾何学に関する論文：Analysis Situsとその5つの補足資料。ジョン・スティルウェル訳。pp.  18– 99。2012年3月27日時点のオリジナルからアーカイブ（PDF）化。
2. 1999年5月（第1章、§6）
3. マッシー（1991年、第5章、§9）
4. 「グラフの基本群の意味」Mathematics Stack Exchange . 2020年7月28日閲覧。
5. Simon, J (2008). 「グラフGの基本群の計算例」(PDF) . 2020年7月28日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2020年7月28日閲覧。
6. 「連結グラフの基本群 - Mathonline」. mathonline.wikidot.com . 2020年7月28日閲覧。
7. Strom (2011, 問題9.30, 9.31), Hall (2015, 演習13.7)
8. 証明： の2つのループが与えられているとき、を の各点ごとに乗じた写像を定義します。からまでの長方形内の、水平、次に垂直の経路から始まり、様々な対角線の経路を経て、垂直、次に水平の経路で終わる経路のホモトピー族を考えます。この族を と合成するとホモトピーが得られ、これは基本群がアーベル群であることを示します。 ${\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\to G}$ ${\displaystyle \pi _{1}(G),}$ ${\displaystyle A\colon [0,1]\times [0,1]\to G}$ ${\displaystyle A(s,t)=\alpha (s)\cdot \beta (t),}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (s,t)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha *\beta \sim \beta *\alpha ,}$
9. フルトン（1995年、提案12.22）
10. 5月（1999年、第2章、§8、命題）
11. 1999年5月（第2章、§7）
12. ハッチャー（2002、§1.3）
13. ハッチャー（2002年、65ページ）
14. ハッチャー（2002年、命題1.36）
15. フォースター（1981、定理27.9）
16. ハッチャー（2002年、提案4.61）
17. ハッチャー（2002、定理4.41）
18. ホール（2015年、提案13.8）
19. ホール（2015年、第13.3節）
20. ホール（2015年、提案13.10）
21. バンプ（2013年、提案23.7）
22. ホール（2015年、系13.18）
23. ホール（2015年、例13.45）
24. シンガー、イザドア、ソープ、ジョン・A. (1967).初等位相幾何学講義ノート. シュプリンガー・フェアラーク. p. 98. ISBN 0-387-90202-3。
25. アンドレ・ヴェイユ、「リー群の離散部分群について」、数学年報 72（1960）、369-384。
26. Adam Przezdziecki, 測定可能な基数とコンパクト空間の基本群, Fundamenta Mathematicae 192 (2006), 87-92 [1]
27. ハッチャー（2002、§4.1）
28. アダムス（1978年、5ページ）
29. ブラウン（2006、§6.1）
30. ブラウン（2006、§6.2）
31. 1に再パラメータ化することで異なる定義を使用しています。
32. ブラウン（2006、§6.7）
33. エル・ゼインら。 (2010、p. 117、提案 1.7)
34. Grothendieck & Raynaud (2003).
35. Grothendieck & Raynaud (2003、Exposé XII、Cor. 5.2)。
36. ハンフリーズ（1972、§13.1）
37. ハンフリーズ（2004、§31.1）
38. Goerss & Jardine (1999, §I.7)
39. Goerss & Jardine (1999, §I.11)

参考文献

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• フォースター、オットー（1981）、リーマン面に関する講義、シュプリンガー、ISBN 0-387-90617-7
• フルトン、ウィリアム（1995）、代数的位相幾何学：入門、シュプリンガー、ISBN 9780387943275
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999),単体ホモトピー理論, Progress in Mathematics, vol. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1
• アレクサンドル・グロタンディーク; Raynaud, Michele (2003) [1971]、Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe Fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 )、パリ: Société Mathématique de France、pp. xviii+327、参照経験値V、IX、X、arXiv : math.AG/0206203、ISBN 978-2-85629-141-2
• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666
• ハッチャー、アレン（2002年）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0
• ピーター・ヒルトンとショーン・ワイリー著『ホモロジー理論』ケンブリッジ大学出版局（1967年）[注意：これらの著者はコホモロジーをコントラホモロジーと呼んでいます]
• ハンフリーズ、ジェームズ・E.（2004）「線形代数群」、数学大学院テキスト、シュプリンガー、ISBN 9780387901084
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• マッシー、ウィリアム・S.（1991）、代数的位相幾何学の基礎コース、シュプリンガー、ISBN 038797430X
• メイ、J.ピーター（1999年）、代数的位相幾何学の簡潔なコース、ISBN 9780226511832
• ディーン・モンゴメリーとレオ・ジッピン著『位相変換群』インターサイエンス出版社（1955年）
• マンクレス、ジェームズ・R.（2000）、トポロジー、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-181629-2
• ロットマン、ジョセフ（1998-07-22）、代数的位相幾何学入門、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-96678-1
• ルベイ、エレナ（2014）、代数幾何学、簡潔な辞典、ベルリン/ボストン：ウォルター・デ・グリュイター、ISBN 978-3-11-031622-3
• ザイフェルト、ハーバート、スレルフォール、ウィリアム（1980）、トポロジーの教科書、ハイル、ヴォルフガング訳、アカデミック出版、ISBN 0-12-634850-2
• シンガー、イザドア・M. ; ソープ、JA (1976-12-10) 『初等位相幾何学講義ノート』、シュプリンガー、ISBN 0-387-90202-3
• スパニエ、エドウィン H. (1989)、代数的位相学、シュプリンガー、ISBN 0-387-94426-5
• ストロム、ジェフリー（2011）「現代古典ホモトピー理論」AMS、ISBN 9780821852866

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「基本グループ」。マスワールド。
• Dylan GL Allegretti、「単体集合とファン・カンペンの定理：位相空間の基本群と単体集合の基本群についての議論」
• ニコラ・ドラヌーによる基本群を紹介するアニメーション
• 基点集合と基本群素数：mathoverflowの議論
• 数学における群論

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