Concept in the solution of linear partial differential equations
数学 において 、 線型 偏微分演算子 Lの 基本解は、 分布理論 の言語で グリーン関数 の古い考え方を定式化したものです (ただし、グリーン関数とは異なり、基本解は境界条件を扱いません)。
ディラックのデルタ関数 δ ( x ) に関して 、基本解 Fは 非同次方程式 の解である。
LF = δ ( x ) です。
ここで、 F は、 分布 であると 事前 にのみ想定されます。
この概念は、 2次元および3次元の ラプラシアンに古くから利用されてきました。 マルセル・リース は、この概念をあらゆる次元のラプラシアンに適用して研究しました 。
定数係数 を持つ任意の演算子の基本解の存在（ 畳み込みを使用して 任意の 右辺 を解く 可能性に直接関連する最も重要なケース）は、 Bernard Malgrange と Leon Ehrenpreis によって示され 、証明はJoel Smoller（1994）にあります。 [1] 関数解析 の文脈では、基本解は通常、 フレドホルム代替法 によって展開され、 フレドホルム理論 で探求されます 。
例 次の微分方程式 Lf = sin( x ) を
考える。 L = d 2 d x 2 . {\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}
基本解はLF = δ ( x ) を明示的に解くことによって得られる 。 d 2 d x 2 F ( x ) = δ ( x ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)\,.}
単位ステップ関数（ ヘヴィサイド関数 とも呼ばれる） H に対しては
、解が存在します。 ここ で C は積分によって導入される任意の定数です。便宜上、 C = −1/2 と設定します。 d d x H ( x ) = δ ( x ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)\,,} d d x F ( x ) = H ( x ) + C . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C\,.}
積分して 新しい積分定数をゼロにすると、 d F d x {\displaystyle {\frac {dF}{dx}}} F ( x ) = x H ( x ) − 1 2 x = 1 2 | x | . {\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.}
モチベーション 基本解が見つかったら、基本解と目的の右辺を 畳み込む ことで、元の方程式の解を簡単に見つけることができます。
基本解は、境界要素法 による偏微分方程式の数値解法においても重要な役割を果たします 。
例への応用 例で述べた 演算子 Lと微分方程式を考えてみましょう。 d 2 d x 2 f ( x ) = sin ( x ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)\,.}
元の方程式の 解は、 右辺と 基本解の 畳み込み （アスタリスクで示す）によって求めることができます。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} F ( x ) = 1 2 | x | {\textstyle F(x)={\frac {1}{2}}|x|} f ( x ) = ( F ∗ sin ) ( x ) := ∫ − ∞ ∞ 1 2 | x − y | sin ( y ) d y . {\displaystyle f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)\,dy\,.}
これは、十分な正則性を持たない関数（例えば、コンパクトなサポート、 L 1 積分可能性）を扱う際には注意が必要であることを示しています。なぜなら、望ましい解は f ( x ) = −sin( x ) であるのに対し、上記の積分はすべての xに対して発散することが分かっているからです。しかし、 f に関する2つの式 は、超関数としては等しくなります。
より明確に機能する例 d 2 d x 2 f ( x ) = I ( x ) , {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)\,,} ここで、 I は単位区間 [0,1]の 特性関数（指示関数） である 。この場合、 I と F ( x ) = | x |/2 の畳み込みは解であり 、すなわち、 I に等しい2階微分を持つことが検証できる。 ( I ∗ F ) ( x ) = { 1 2 x 2 − 1 2 x + 1 4 , 0 ≤ x ≤ 1 | 1 2 x − 1 4 | , otherwise {\displaystyle (I*F)(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}},&0\leq x\leq 1\\|{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}|,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
畳み込みが解であることの証明 関数 F と gの 畳み込みを F ∗ g と 記す。Lf = g ( x ) の解を求めようとするとする。F ∗ g が 前 の方程式の解であることを証明したい。つまり 、 L ( F ∗ g ) = g であることを証明したい 。定数係数の微分演算子 Lを畳み込みに適用する場合、 L が定数係数を
持つ ことが知られている 。 L ( F ∗ g ) = ( L F ) ∗ g , {\displaystyle L(F*g)=(LF)*g\,,}
F が基本解である場合 、方程式の右辺は次のように簡約される。 δ ∗ g . {\displaystyle \delta *g~.}
しかし、デルタ関数は畳み込みの 単位元 なので、これは単に g ( x ) となる。まとめると、 L ( F ∗ g ) = ( L F ) ∗ g = δ ( x ) ∗ g ( x ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( x − y ) g ( y ) d y = g ( x ) . {\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)\,dy=g(x)\,.}
したがって、 F が基本解である場合、畳み込み F ∗ gは Lf = g ( x ) の解の一つとなります 。ただし、これが唯一の解であるという意味ではありません。異なる初期条件に対して、複数の解が存在します。
いくつかの偏微分方程式の基本解 フーリエ変換により次のものが得られます。
ラプラス方程式 ラプラス方程式 の場合 、 2次元と3次元の基本解はそれぞれ [ − Δ ] Φ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle [-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')} Φ 2D ( x , x ′ ) = − 1 2 π ln | x − x ′ | , Φ 3D ( x , x ′ ) = 1 4 π | x − x ′ | . {\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}~.}
遮蔽されたポアソン方程式 遮蔽されたポアソン方程式 の 基本解は 、 第2種の 修正ベッセル関数 です 。 [ − Δ + k 2 ] Φ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) , k ∈ R , {\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,} Φ 2D ( x , x ′ ) = 1 2 π K 0 ( k | x − x ′ | ) , Φ 3D ( x , x ′ ) = exp ( − k | x − x ′ | ) 4 π | x − x ′ | , {\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|),\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}},} K 0 {\displaystyle K_{0}}
高次元では、遮蔽されたポアソン方程式の基本解は ベッセルポテンシャル によって与えられます。
重調和方程式 重調和方程式 の場合 、 重調和方程式は基本解を持つ。 [ − Δ 2 ] Φ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle [-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')} Φ 2D ( x , x ′ ) = − | x − x ′ | 2 8 π ln | x − x ′ | , Φ 3D ( x , x ′ ) = | x − x ′ | 8 π . {\displaystyle \Phi _{\textrm {2D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\qquad \Phi _{\textrm {3D}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}~.}
信号処理 信号処理 において 、微分方程式の基本解の類似物は フィルタの インパルス応答と呼ばれます。
参照
参考文献 「基本解」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] 境界上のグリーン関数の調整については、Shijue Wu の注記を参照してください。 
![{\displaystyle [-\Delta ]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfed9de89c800b1f67eac39c7017337d7a03774)
![{\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa8bc93820f8de79891d9e03916124face126c3)
![{\displaystyle [-\Delta ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ddfb4c64d0556a94e8b4b6eaf8b474853c3ef0)
