大二十面体

20面を持つケプラー・ポアンソ多面体

大二十面体
タイプ	ケプラー・ポアンソ多面体
ステレーションコア	二十面体
要素	F = 20、E = 30 V = 12 (χ = 2)
側面の顔	20{3}
シュレーフリ記号	{ 3、5 ⁄ 2 }
顔の構成	V(5 3 )/2
ウィトフ記号	5 ⁄ 2 | 2 3
コクセター図
対称群	I h , H 3 , [5,3], (*532)
参考文献	U 53、C 69、W 41
プロパティ	正 非凸 三角面体
(3 5 )/2 (頂点図形)	大星型十二面体 （双多面体）

大二十面体の3Dモデル

幾何学において、大二十面体は、4つのケプラー・ポアンソ多面体（非凸 正多面体）の1つであり、シュレーフリ記号 {3, 5 ⁄ 2 }とコクセター・ディンキン図で表される。20 個の交差する三角形の面で構成され、各頂点で 5 つの三角形が五芒星の順序で交わります。

大二十面体は、その二次元的な類似体である五芒星と同様に、核となるn多面体の( n -1)次元単体面（大二十面体の場合は正三角形、五芒星の場合は線分）を、図形が再び規則的な面になるまで拡張することで構築できる。大600セルは、同じ手順で四次元的な類似体として見ることができる。

工事

大きな二十面体の辺の長さは、元の二十面体の辺の長さの何倍になります。 ${\displaystyle {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{2}}}$

画像

透明モデル	密度	星型図	ネット
大二十面体の透明モデル（アニメーションも参照）	この断面に示されているように、密度は 7 です。	これは、ヴェニンガーがモデル[W41]として数えた二十面体の星型であり、 17個の二十面体の星型のうちの16番目、コクセターの59個の星型のうちの7番目である。	× 12 ネット（曲面幾何学）。12個の二等辺五角錐が正十二面体の面のように配置されています。各ピラミッドは扇形に折り畳まれており、点線は実線とは反対方向に折り畳まれています。

球状タイリング

この多面体は、密度 7 の球面タイリングを表します。(球面三角形の 1 つの面が上に示され、青で輪郭が描かれ、黄色で塗りつぶされています)

数式

辺の長さがE（正十二面体の中心の辺の長さ）の正二十面体の場合、

$${\displaystyle {\text{Inradius}}={\frac {{\text{E}}(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}})}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{Midradius}}={\frac {{\text{E}}({\sqrt {5}}-1)}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{Circumradius}}={\frac {{\text{E}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{4}}}$$

$${\displaystyle {\text{Surface Area}}=3{\sqrt {3}}(5+4{\sqrt {5}}){\text{E}}^{2}}$$

$${\displaystyle {\text{Volume}}={\tfrac {25+9{\sqrt {5}}}{4}}{\text{E}}^{3}}$$

冷遇として

大二十面体は、異なる色の面と四面体対称性のみを持つ均一なスナブとして構築できます。この構造はレトロスナブ四面体またはレトロスナブ四面体^[1]と呼ばれ、イコサヘドロンにおけるスナブ四面体の対称性に似ており、切頂八面体（または全切頂四面体）の部分的なファセット構造となっている。2色の三角形とピリトヘドロン対称性を使って次のように構成することもできます。または、レトロスナブ八面体と呼ばれます。

四面体	黄銅面体

関連する多面体

{5/2, 3} から {3, 5/2} へのアニメーション化された切り捨てシーケンス

正凸二十面体と同じ頂点配置を持ちます。また、小星型十二面体と同じ辺配置を持ちます。

大二十面体に対して、切り取り操作を繰り返すことで、一様な多面体の列が生成される。辺を点まで切り取ると、大二十面体（大二十面体）が、平行化された大二十面体となる。この操作は、双平行化によって完了し、元の面が点まで縮小され、大星型十二面体となる。

切頂大星型十二面体は退化した多面体で、切頂から20個の三角形の面と、元の五角形の面の切頂として12個の（隠れた）二重五角形の面（{10/2}）があり、後者は二十面体の辺に内接し、その辺を共有する2つの大十二面体を形成し ます。

名前	大星型十 二面体	切頂大星型十二面体	大二 十面体	切頂 大二 十面体	大二十 面体
コクセター・ディンキン 図
写真

参考文献

1. Klitzing, Richard. 「均一な多面体 大二十面体」。

• ウェニンガー、マグナス（1974年）『多面体モデル』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-09859-9。
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド、デュ・ヴァル、P.、フラザー、HT、ペトリー、JF (1999). 『59のイコサヘドラ』（第3版）. ターキン社. ISBN 978-1-899618-32-3. MR  0676126。（第1版トロント大学（1938年））
• HSM Coxeter著『Regular Polytopes』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8, 3.6 6.2プラトン立体の星形化、pp. 96–104

外部リンク

• Weisstein, Eric W.、「Great icosahedron」（「Uniform polyhedron」）、MathWorldにて。
  • ワイスタイン、エリック・W.「二十面体の15の星型」。MathWorld。
• 均一多面体と双対多面体

二十面体の注目すべき星型
通常	レギュラースター	ユニフォームデュアル
（凸）二十面体	大二十面体	小さな三角二十面体	中心三角二十面体	大三角二十面体
規則的な化合物			その他
5つの八面体の複合体	5つの四面体の複合体	10個の四面体の複合体	発掘された十二面体	最終星座

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