ボード線図

Graph of the frequency response of a control system

図1A：ハイパスフィルタ（1次、単極）のボード線図（上）とボード線図（下）。赤いデータ曲線は黒い直線で近似されています。

図1B：ローパスフィルタ（1次、単極）のボード線図（上）とボード線図（下）。赤いデータ曲線は黒い直線で近似されています。

電気工学と制御理論において、ボード線図はシステムの周波数応答のグラフです。通常、周波数応答の振幅（通常はデシベル単位）を表すボード線図と、位相シフトを表すボード線図の組み合わせです。

1930年代にヘンドリック・ウェイド・ボードによって最初に考案されたこの線図は、直線分を用いた周波数応答の漸近 近似です。^[1]

概要

回路理論と制御理論への数々の重要な貢献の中で、エンジニアのヘンドリック・ウェイド・ボーデは、1930年代にベル研究所で働いていた際に、ゲインと位相シフトのグラフを描くためのシンプルだが正確な手法を考案しました。これらは、ボーデゲインプロットとボーデ位相プロットと呼ばれています。「ボーデ」は英語では/ ˈ b oʊ d i / BOH -deeと発音されることが多いですが、オランダ語では通常[ˈboːdə]と発音され、英語の/ ˈ b oʊ d ə / BOH -dəに近い発音です。これは彼の家族が好む発音ですが、研究者の間ではあまり一般的ではありません。^{[2] [3]}

ボードは、電話網で使用するためのフィードバック付きの安定した増幅器を設計するという問題に直面しました。彼は、製造中または動作中に生じる回路特性の変動下で安定性を維持するために必要なゲインマージンと位相マージンを示すボード線図のグラフィカル設計手法を開発しました。 ^[4]開発された原理は、サーボ機構やその他のフィードバック制御システムの設計問題に適用されました。ボード線図は、周波数領域における解析の例です。

定義

伝達関数（ラプラス領域における複素周波数）を持つ線形時不変システムのボード線図は、振幅プロットと位相プロットで構成されます。 ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s}$

ボード振幅プロットは、周波数の関数（虚数単位は）のグラフです。振幅プロットの軸は対数で、振幅はデシベルで表されます。つまり、振幅の値は軸上にプロットされます ${\displaystyle |H(s=j\omega )|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle 20\log _{10}|H|}$

ボード線図は、引数関数の位相（通常は度で表されます）をの関数としてグラフ化したものです。位相は振幅プロットと同じ対数軸上にプロットされますが、位相の値は線形の縦軸上にプロットされます。 ${\displaystyle \arg \left(H(s=j\omega )\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

周波数応答

このセクションでは、ボード線図がシステムの周波数応答を視覚化したものであることを示します

伝達関数 を持つ線形時間不変システムを考える。このシステムは周波数 の正弦波入力を受けると仮定する。 ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t),}$

持続的に、つまり時刻 から時刻 まで適用される。応答は次の形式となる。 ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi ),}$

つまり、入力に対して 振幅が位相 だけシフトした正弦波信号となる。 ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$

^[5]によれば、応答の大きさは

${\displaystyle y_{0}=|H(\mathrm {j} \omega )|}$

1

であり、位相シフトは

${\displaystyle \varphi =\arg H(\mathrm {j} \omega ).}$

2

要約すると、周波数 の入力を受けると、システムは同じ周波数で応答し、係数 だけ増幅され、位相 だけシフトした出力を生じる。したがって、これらの量は周波数応答を特徴づけ、ボード線図に示される。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$ ${\displaystyle \arg H(\mathrm {j} \omega )}$

手作りボード線図のルール

多くの実用的な問題において、詳細なボード線図は、正確な応答の漸近線である直線部分で近似できます。複数要素伝達関数の各項の影響は、ボード線図上の直線の集合で近似できます。これにより、周波数応答関数全体をグラフィカルに解くことができます。デジタルコンピュータが広く普及する前は、面倒な計算の必要性を減らすためにグラフィカルな手法が広く使用されていました。グラフィカルな解法は、新しい設計のパラメータの実現可能な範囲を特定するために使用できました。

ボード線図の前提は、関数の対数を次の形式で考えることができることです。

${\displaystyle f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}}$

零点と極の対数の合計として：

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n}).}$

この考え方は、位相図を描く方法で明示的に使用されています。振幅プロットを描く方法では、この考え方が暗黙的に使用されていますが、各極または零点の振幅の対数は常に零点から始まり、漸近線の変化は1つだけ（直線）であるため、この方法は簡素化できます。

直線振幅プロット

振幅デシベルは通常、デシベルの定義に使用されます。次の形式の伝達関数が与えられます。 ${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

ここで、およびは定数、、、およびは伝達関数です。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$ ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$ ${\displaystyle H}$

• （零点）におけるsのすべての値において、直線の傾きは10倍ごとに増加します。 ${\displaystyle \omega =x_{n}}$ ${\displaystyle 20a_{n}\ {\text{dB}}}$
• （極）におけるsのすべての値において、直線の傾きは10倍ごとに減少します。 ${\displaystyle \omega =y_{n}}$ ${\displaystyle 20b_{n}\ {\text{dB}}}$
• グラフの初期値は境界に依存します。初期点は、関数に初期角周波数を代入し、を求めることで求められます ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$
• 初期値における関数の初期傾きは、初期値より小さい値にある零点と極の数と次数に依存し、最初の2つの規則を使用して求められます。

既約2次多項式を扱うために、多くの場合、は と近似できます ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$

が特定のまたはに等しいときに、零点と極が発生することに注意してください。これは、問題の関数が の振幅であり、複素関数であるためとなるためです。したがって、項 を含む零点または極がある場所では、その項の振幅は となります。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$ ${\displaystyle (s+x_{n})}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$

補正された振幅プロット

直線振幅プロットを修正するには：

• すべての零点において、直線の上に点を置きます。 ${\displaystyle 3a_{n}\ {\text{dB}}}$
• すべての極において、直線の下に点を置きます。 ${\displaystyle 3b_{n}\ {\text{dB}}}$
• 直線を漸近線（曲線が近づく線）として、これらの点を通る滑らかな曲線を描きます。

この補正方法は、またはの複素数値の扱い方を考慮していないことに注意してください。既約多項式の場合、プロットを修正する最良の方法は、既約多項式に対応する極または零点における伝達関数の振幅を実際に計算し、その点をその極または零点における直線の上または下に置くことです。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

直線位相プロット

上記と同じ形式の伝達関数が与えられた場合、

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

考え方としては、極と零点ごとに別々のプロットを描き、それらを合計します。実際の位相曲線は次のように表されます。

${\displaystyle \varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.}$

位相プロットを描くには、極と零点ごとに以下の手順に従います。

• が正の場合、直線（傾きが零）は0°から開始します。 ${\displaystyle A}$
• が負の場合、直線（傾きが零）は-180°から開始します。 ${\displaystyle A}$
• 不安定な零点と極の数の合計が奇数の場合は、その基数に180°を加えます。
• （安定した零点の場合）ごとに、 10年前（例：）から始めて、10年ごとに傾きを度ずつ増加させます。 ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (z)<0}$ ${\displaystyle 45a_{n}}$ ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ ${\displaystyle |x_{n}|/10}$
• （安定した極の場合）ごとに、10年前（例：）から始めて、10年ごとに傾きを度ずつ減少させます。 ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (p)<0}$ ${\displaystyle 45b_{n}}$ ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ ${\displaystyle |y_{n}|/10}$
• 「不安定な」（右半平面）極と零点（）は逆の挙動を示します。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
• 位相が度（零点の場合）または度（極の場合）変化したときは、傾きを再び平坦化します。 ${\displaystyle 90a_{n}}$ ${\displaystyle 90b_{n}}$
• 極または零点ごとに1本の直線をプロットした後、それらの直線を合計して最終的な位相プロットを取得します。つまり、最終的な位相プロットは、それ以前の各位相プロットの重ね合わせです

例

1次（1極）ローパスフィルタの直線プロットを作成するには、角周波数で正規化された伝達関数の形を考慮します。

${\displaystyle H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}}.}$

ボード線図は上の図1(b)に示されており、直線近似の構築については次に説明します。

振幅プロット

上記の伝達関数（正規化され、角周波数形式に変換されたもの）の振幅（デシベル単位）は、デシベルゲイン式で与えられます ${\displaystyle A_{\text{vdB}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

次に、対数スケールで入力周波数に対してプロットすると、 2本の線で近似でき、伝達関数の漸近的（近似的）な振幅ボード線図を形成します。 ${\displaystyle \omega }$

• 下記の角周波数の最初の線は0dBの水平線です。これは、低周波数では項が小さく無視できるため、上記のデシベルゲイン式はゼロになるためです。 ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$
• 上記の角周波数の2番目の線は、10倍あたり-20dBの傾きを持つ線です。これは、高周波数では項が支配的になるため、上記のデシベルゲイン式は に簡略化され、10倍あたり-20dBの傾きを持つ直線になります。 ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle -20\log(\omega /\omega _{\text{c}})}$

これらの2本の線はコーナー周波数 で交わります。プロットから、コーナー周波数をはるかに下回る周波数では、回路の減衰量は0dBであり、これは通過帯域ゲインが1であることに対応し、つまりフィルタ出力の振幅は入力の振幅と等しいことがわかります。コーナー周波数を超える周波数は減衰します。周波数が高いほど、減衰量は大きくなります ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

位相プロット

位相ボード線図は、次式で与えられる伝達関数の位相角をプロットすることによって得られます。

${\displaystyle \arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}$

に対して、と はそれぞれ入力角周波数とカットオフ角周波数です。コーナー周波数よりもはるかに低い入力周波数では、比は小さく、したがって位相角はゼロに近くなります。比が増加すると、位相の絶対値が増加し、 のときに-45°になります。コーナー周波数よりもはるかに高い入力周波数で比が増加すると、位相角は漸近的に-90°に近づきます。位相プロットの周波数スケールは対数です。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\text{c}}}$

正規化プロット

振幅プロットと位相プロットの両方において、水平周波数軸は、正規化された（無次元の）周波数比 に置き換えることができます。このような場合、プロットは正規化されていると言われ、すべての入力周波数がカットオフ周波数 の倍数として表されるため、周波数の単位は使用されなくなります。 ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

零点と極の例

図2～5は、ボード線図の描き方をさらに詳しく説明しています。極と零点の両方を持つこの例は、重ね合わせの使い方を示しています。まず、各要素を個別に示します

図2は、零点とローパス極のボード線図を示し、これら2つをボード線図の直線図と比較しています。直線図は、極（零点）の位置まで水平で、その後20dB/decadeで低下（上昇）します。2つ目の図3は位相についても同様です。位相図は、極（零点）の位置から10倍低い周波数まで水平で、その後、周波数が極（零点）の位置の10倍になるまで45°/decadeで低下（上昇）します。その後、より高い周波数では再び水平になり、最終的な位相変化は90°です。

図4と図5は、極と零点の図の重ね合わせ（単純な加算）がどのように行われるかを示しています。ボード線図は、正確な図と比較されています。より興味深い例となるように、零点は極よりも高い周波数に移動されています図4では、極の20dB/decadeの低下が零点の20dB/decadeの上昇によって抑制され、零点の位置より上の周波数では水平な振幅プロットが得られることに注目してください。図5の位相プロットでは、極と零点の両方が位相に影響を与える領域では、直線近似がかなり近似的であることに注意してください。また、図5では、直線プロットで位相が変化する周波数範囲が、極（零点）の位置の上下10倍の周波数に限定されていることにも注目してください。極と零点の両方の位相が存在する場合、直線位相プロットは水平になります。これは、極の45°/decadeの低下が、両方が位相に積極的に寄与する限られた周波数範囲で、零点の45°/decadeの重なり合う上昇によって抑制されるためです。

• 極と零点の例
• 
  図2：零点とローパス極のボード線図。「ボード線図」とラベル付けされた曲線は直線ボード線図です。
• 
  図3：零点とローパス極のボード線図。「ボード線図」とラベル付けされた曲線は直線ボード線図です
• 
  図4：極零点の組み合わせにおけるボード線図。零点の位置は図2および図3よりも10倍高くなっています。「ボード線図」とラベル付けされた曲線は直線ボード線図です。
• 
  図5：極零点の組み合わせにおけるボード線図。零点の位置は図2および図3よりも10倍高くなっています。「ボード線図」とラベル付けされた曲線は直線ボード線図です。

ゲイン余裕と位相余裕

ボード線図は、アンプのゲイン余裕と位相余裕を求めることで、負帰還アンプの安定性を評価するために使用されます。ゲイン余裕と位相余裕の概念は、負帰還アンプのゲイン式に基づいています

${\displaystyle A_{\text{FB}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}},}$

ここで、A _FBはフィードバックのある増幅器のゲイン（閉ループゲイン）、βはフィードバック係数、A _OLはフィードバックのないゲイン（開ループゲイン）です。ゲインA OLは、振幅と位相の両方を持つ周波数の複素関数です。^{[注 1]この関係を調べると、積 β} A OL = −1 の場合（つまり、β A _OLの振幅が1 で位相が −180° の場合、いわゆるバルクハウゼン安定条件）、ゲインが無限大になる可能性があることがわかります（これは不安定性と解釈されます）。_ボード線図は_、増幅器がこの条件をどの程度満たしているかを判断するために使用されます。

この決定の鍵となるのは2つの周波数です。1つ目はf _{180と表記され、}開ループゲインの符号が反転する周波数です。2つ目はf _{0 dB}と表記され、積|β A _OL | = 1 = 0 dBの振幅となる周波数です。つまり、周波数f ₁₈₀は次の条件によって決定されます。

${\displaystyle \beta A_{\text{OL}}(f_{180})=-|\beta A_{\text{OL}}(f_{180})|=-|\beta A_{\text{OL}}|_{180},}$

ここで、縦棒は複素数の大きさを表し、周波数f _{0 dB}は次の条件によって決定されます

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 dB}})|=1.}$

不安定性の近さを測る指標の1つはゲインマージンです。ボード線図は、β A _OLの位相が-180°に達する周波数（ここでは周波数f _{180と表記）を示します。この周波数を用いて、ボード線図の振幅線図はβ} A _OLの振幅を求めます。|β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1の場合、前述のように増幅器は不安定です。|β A _OL | _{180 < 1の場合、不安定性は発生せず、|β} A _OL | ₁₈₀の振幅と|β A _{OL | = 1のdB単位の差は}ゲインマージンと呼ばれます。振幅1は0dBであるため、ゲインマージンは次の等価形式のいずれかになります ${\displaystyle 20\log _{10}|\beta A_{\text{OL}}|_{180}=20\log _{10}|A_{\text{OL}}|-20\log _{10}\beta ^{-1}}$

不安定性への近さを測るもう1つの同等の指標は位相余裕です。ボード線図の振幅線図は、|β A _OL |の振幅が1に達する周波数（ここでは周波数f _{0 dB}と表記）を示します。この周波数を用いて、ボード線図の位相線図はβ A _OLの位相を求めます。β A _OL ( f _{0 dB )の位相が-180°を超える場合、どの周波数でも不安定性条件を満たすことができません（} f = f ₁₈₀のときに振幅が< 1になるため）。f _{0 dBにおける}位相の-180°を超える角度での距離を位相余裕と呼びます。

安定性の問題について単純に「はい」か「いいえ」で答えるだけでよい場合、アンプはf _{0 dB} < f _{180であれば安定しています。この基準は、極と零点の位置に関するいくつかの制約（}最小位相システム）を満たすアンプの安定性を予測するのに十分です。これらの制約は通常満たされますが、満たされない場合は、ナイキスト線図などの別の方法を使用する必要があります。^{[6] [7]最適なゲインと位相余裕は、}ネヴァンリンナ・ピック補間理論 を使用して計算できます。^[8]

ボード線図を使用した例

図6と図7は、ゲインの挙動と用語を示しています。3極アンプの場合、図6は、フィードバックなしのゲイン（開ループゲイン）A _OLとフィードバックありのゲインA _FB（閉ループゲイン）のボード線図を比較しています。詳細については、負帰還アンプを参照してください

この例では、低周波数ではA _OL = 100 dB、1 / β = 58 dBです。低周波数では、A _FB ≈ 58 dBも同様です

プロットされているのは開ループゲインA _OLであり、積 β A _OLではないため、条件A _OL = 1 / β によってf _{0 dBが決まります。低周波数および}A _{OL が}大きい場合のフィードバックゲインはA _FB ≈ 1 / βです（ゲインA _OLが大きい場合のフィードバックゲインの式については、このセクションの冒頭で示しました）。したがって、 f _{0 dB}を求める同等の方法は、フィードバックゲインが開ループゲインと交差する点を見ることです（周波数f _{0 dB}は、後で位相余裕を求めるために必要になります）。

この例では、 f _{0 dB}における2つのゲインのクロスオーバー付近で、バルクハウゼン基準がほぼ満たされ、帰還増幅器はゲインに大きなピークを示します（β A _OL = -1の場合は無限大になります）。ユニティゲイン周波数f _{0 dB}を超えると、開ループゲインは十分に小さくなり、A _FB ≈ A _{OLとなります（} A _OLが小さい場合については、このセクションの冒頭の式を調べてください）。

図7は対応する位相比較を示しています。帰還増幅器の位相は、開ループゲインの位相が-180°である周波数f ₁₈₀までほぼゼロです。この近傍では、帰還増幅器の位相は急激に低下し、開ループ増幅器の位相とほぼ同じになります。（A OL が小さい場合、A _FB ≈ A _OLである_ことを思い出してください。）

図6と図7のラベル付き点を比較すると、このアンプではユニティゲイン周波数f _{0 dB}と位相反転周波数f _{180がほぼ等しく、} f ₁₈₀ ≈ f _{0 dB} ≈ 3.332 kHzであることがわかります。これは、ゲインマージンと位相マージンがほぼゼロであることを意味します。アンプは安定の境界にあります。

図8と図9は、異なる量のフィードバックβに対するゲインマージンと位相マージンを示しています。フィードバック係数は図6や図7よりも小さく選択されており、条件| β A _OL | = 1を低い周波数に移動しています。この例では、1 / β = 77 dBであり、低周波数ではA _FB ≈ 77 dBも同様です

図8はゲインプロットを示しています。図8から、1 / βとA _OLの交点はf _{0 dB} = 1 kHzで発生します 。f 0 _dB付近のゲインA _FBのピークがほとんど消えていることに注意してください。^{[注2] [9]}

図9は位相プロットです。図8の振幅プロットから上記で求めたf _{0 dB = 1 kHzの値を用いると、} f _{0 dB}における開ループ位相は-135°となり、これは-180°より45°高い位相余裕です。

図9を用いると、位相が-180°の場合、f ₁₈₀ = 3.332 kHzとなります（もちろん、先ほど求めた結果と同じです^{[注3] ）。図8の}f ₁₈₀における開ループゲインは58 dB、1 / β = 77 dBなので、ゲイン余裕は19 dBです

安定性はアンプの応答の唯一の基準ではなく、多くのアプリケーションでは、安定性よりも厳しい要求として良好なステップ応答が求められます。経験則として、良好なステップ応答には少なくとも45°の位相余裕が必要であり、特に製造公差による部品のばらつきが問題となる場合は、70°を超える余裕が推奨されることがよくあります。^[9]ステップ応答の記事における位相余裕に関する議論も参照してください。

• 例
• 
  図6：帰還アンプA _FBのゲイン（dB）と対応する開ループアンプA _OL。パラメータ1/β = 58 dB、低周波数ではA _FB ≈ 58 dBも同様です。このアンプのゲイン余裕はほぼゼロです。なぜなら、| β A _{OL | = 1 はほぼ}f = f _180°で発生するためです
• 
  図7：帰還増幅器°A _FBの位相（度）と対応する開ループ増幅器°A _OL。この増幅器の位相余裕はほぼゼロです。位相反転はほぼユニティゲイン周波数f = f _{0 dB}（|β A _OL | = 1）で発生するためです。
• 
  図8：帰還増幅器A _FBのゲイン（dB）と対応する開ループ増幅器A _OL。この例では、1 / β = 77 dBです。この増幅器のゲイン余裕は19 dBです
• 
  図9：帰還増幅器A _{FB の}位相（度）と対応する開ループ増幅器A _OL。この増幅器の位相余裕は45°です。

ボード線図

図10：ボード線図を用いてプロットした10次電子フィルタの振幅図

ボード線図はオシロスコープに似た電子機器で、フィードバック制御システムまたはフィルタにおいて、回路の電圧利得または位相シフトを周波数に対してプロットしたボード線図（グラフ）を作成します。その一例を図10に示します。コーナー（カットオフ）周波数、利得余裕、位相余裕を測定することで、 フィルタやフィードバック制御システムの安定性を解析・テストするのに非常に役立ちます。

これはベクトル・ネットワーク・アナライザが実行する機能と同じですが、ネットワーク・アナライザは通常、はるかに高い周波数で使用されます。

教育および研究目的では、与えられた伝達関数のボード線図をプロットすることで、理解が深まり、より迅速に結果が得られます（外部リンクを参照）。

関連プロット

同じデータを異なる座標系で表示する2つの関連するプロットは、ナイキスト線図とニコルス線図です。これらはパラメトリックなプロットで、周波数を入力、周波数応答の振幅と位相を出力とします。ナイキスト線図は、これらを極座標で表示し、振幅を半径に、位相を偏角（角度）にマッピングします。ニコルス線図は、これらを直交座標で対数スケールで表示します。

• 
  図11：ナイキスト線図
• 
  図12：図11と同じ応答のニコルス線図

参照

• アナログ信号処理
• 位相余裕
• ボード線図の感度積分
• ボード線図の振幅（ゲイン）と位相の関係
• 誘電分光法

注記

1. 通常、周波数が増加するとゲインの大きさは低下し、位相はより負に大きくなりますが、これらは単なる傾向であり、特定の周波数範囲では逆転する場合があります。異常なゲイン挙動は、ゲインと位相余裕の概念を適用できなくなる可能性があります。その場合は、ナイキスト線図などの他の方法を使用して安定性を評価する必要があります。
2. が完全に消える臨界フィードバック量は、最大平坦設計またはバターワース設計です。
3. 開ループゲインの符号が反転する周波数f _180は、フィードバック係数の変化によって変化しません。これは開ループゲインの特性です。f 180 におけるゲインの値も、 βの変化によって変化しません。したがって、図6と図7の以前の値を使用することもできます。ただし、わかりやすくするために、手順は図8と図9のみを使用して説明します。

参考文献

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2. ヴァン・ヴァルケンバーグ、ME、イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校、「追悼：ヘンドリック・W・ボーデ（1905-1982）」、 IEEE Transactions on Automatic Control、Vol. AC-29、No. 3、1984年3月、pp. 193-194。引用：「彼の名前について何か言っておくべきだろう。ベル研究所の同僚やその後の世代のエンジニアにとって、発音はボーディーである。ボーデ家は、元のオランダ語であるボーダを使用することを好んだ。」
3. "Vertaling van postbode, NL>EN". mijnwoordenboek.nl . 2013年10月7日閲覧。
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外部リンク

• 区分漸近ボード線図の描き方
• ボード線図を生成するためのgnuplotコード：DIN-A4印刷テンプレート（pdf）

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