ガンマ分布

Probability distribution

ガンマ
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	α > 0 形状 θ > 0 スケール	α > 0 形状 λ > 0 レート
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\theta ^{\alpha }}}x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\gamma \left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}$	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\gamma (\alpha ,\lambda x)}$
平均	${\displaystyle \alpha \theta }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda }}}$
中央値	単純な閉じた形式は存在しない	単純な閉じた形式は存在しない
モード	${\displaystyle (\alpha -1)\theta {\text{ for }}\alpha \geq 1}$、 ${\displaystyle 0{\text{ for }}\alpha <1}$	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\lambda }}{\text{ for }}\alpha \geq 1{\text{, }}0{\text{ for }}\alpha <1}$
分散	${\displaystyle \alpha \theta ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\frac {6}{\alpha }}}$
エントロピ	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &+\ln \theta +\ln \Gamma (\alpha )\\&+(1-\alpha )\psi (\alpha )\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &-\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )\\&+(1-\alpha )\psi (\alpha )\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle (1-\theta t)^{-\alpha }{\text{ for }}t<{\frac {1}{\theta }}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-\alpha }{\text{ for }}t<\lambda }$
CF	${\displaystyle (1-\theta it)^{-\alpha }}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-\alpha }}$
フィッシャー情報	${\displaystyle I(\alpha ,\theta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(\alpha )&\theta ^{-1}\\\theta ^{-1}&\alpha \theta ^{-2}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle I(\alpha ,\lambda )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(\alpha )&-\lambda ^{-1}\\-\lambda ^{-1}&\alpha \lambda ^{-2}\end{pmatrix}}}$
モーメント法	${\displaystyle \alpha ={\frac {E[X]^{2}}{V[X]}},}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {V[X]}{E[X]}}\quad \quad }$	${\displaystyle \alpha ={\frac {E[X]^{2}}{V[X]}},}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {E[X]}{V[X]}}}$

確率論と統計学において、ガンマ分布は、連続確率分布の汎用的な2パラメータ族である。^[1] 指数分布、アーラン分布、カイ2乗分布はガンマ分布の特殊なケースである。^[2] 一般的に使用されている2つの同等のパラメータ化がある。

1. 形状パラメータ αとスケールパラメータ θを用いて
2. 形状パラメータと速度パラメータを持つ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda =1/\theta }$

これらの各形式では、両方のパラメータは正の実数です。

この分布は、計量経済学、ベイズ統計学、寿命試験など、様々な分野で重要な応用が見られています。^[3]計量経済学では、（α , θ）パラメータ化は、死亡までの時間などの待ち時間をモデル化する際によく用いられ、整数α値に対するアーラン分布の形をとることがよくあります。ベイズ統計学者は、ガンマ分布を複数の逆尺度パラメータの共役事前分布として利用することで、事後分布計算における解析的な扱いやすさを向上させる、 （α , λ ）パラメータ化を好みます。

ガンマ分布は、ランダム変数Xに対して、E [ X ] = αθ = α / λが固定され0より大きく、E [ ln X ] = ψ ( α ) + ln θ = ψ ( α ) − ln λが固定されている（ ψはディガンマ関数である）最大エントロピー確率分布（均一基本測度と基本測度の両方に関して）である。^[4] ${\displaystyle 1/x}$

定義

αとθを用いたパラメータ化は、計量経済学やその他の応用分野でより一般的であるように思われます。これらの分野では、ガンマ分布は待ち時間をモデル化するために頻繁に用いられます。例えば、寿命試験においては、死亡までの待ち時間はランダム変数であり、ガンマ分布を用いてモデル化されることがよくあります。明確な動機については、HoggとCraig ^[5]を参照してください 。

αとλを用いたパラメータ化はベイズ統計においてより一般的であり、ガンマ分布は、指数分布やポアソン分布^[6]のλ、あるいはガンマ分布自体のλなど、様々な逆尺度（率）パラメータの共役事前分布として用いられる。また、ガンマ分布と密接に関連する逆ガンマ分布は、正規分布の分散などの尺度パラメータの共役事前分布として用いられる。

αが正の整数の場合、分布はアーラン分布、つまり、それぞれの平均がθであるα個の独立した指数分布の ランダム変数の合計を表します。

形状による特徴づけαおよびレートλ

ガンマ分布は、形状パラメータ αと、その逆尺度パラメータλ = 1/ θ（率パラメータと呼ばれる）でパラメータ化できる。形状α、率λのガンマ分布に従う確率変数Xは、

$${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\lambda )}$$

形状率パラメータ化における対応する確率密度関数は

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\lambda )&={\frac {x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ for }}x>0\quad \alpha ,\lambda >0,\\[6pt]\end{aligned}}}$$

ここではガンマ関数です。すべての正の整数に対して、 です。 ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}$

累積分布関数は正規化されたガンマ関数です。

$${\displaystyle F(x;\alpha ,\lambda )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\lambda )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\lambda x)}{\Gamma (\alpha )}},}$$

ここで、下側不完全ガンマ関数です。 ${\displaystyle \gamma (\alpha ,\lambda x)}$

αが正の整数（すなわち分布がアーラン分布）の場合、累積分布関数は次の級数展開を持つ：^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\lambda )&=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {\left(\lambda x\right)^{i}}{i!}}e^{-\lambda x}\\[1ex]&=e^{-\lambda x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {\left(\lambda x\right)^{i}}{i!}}.\end{aligned}}}$$

形状による特徴づけα規模とθ

形状α、尺度θのガンマ分布に従う確率変数Xは次のように表される。

$${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\theta )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\theta )}$$

θを1, 2, 3, 4, 5, 6 に設定した場合の、 αとxのパラメータ値に対するガンマPDFの図解。ここでは [2] 、 α [3] 、  x [4] の各層を単独で 見ることができます。

形状スケールパラメータ化を用いた確率密度関数は

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ for }}x>0{\text{ and }}\alpha ,\theta >0.}$$

ここでΓ( α )はαで評価されたガンマ関数である。

累積分布関数は正規化されたガンマ関数です。

$${\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\theta )\,du={\frac {\gamma {\left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}}{\Gamma (\alpha )}},}$$

ここで、下側不完全ガンマ関数です。 ${\textstyle \gamma {\left(\alpha ,{\frac {x}{\theta }}\right)}}$

αが正の整数（すなわち分布がアーラン分布である）の場合には、次のように表すこともできる。^[7]

$${\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}.}$$

状況に応じてどちらかがより便利な場合があるので、両方のパラメータ化が一般的です。

プロパティ

平均と分散

ガンマ分布の平均は、その形状パラメータと尺度パラメータの積で与えられます。分散は、逆形状パラメータの平方根で与えられます。変動係数は、 $${\displaystyle \mu =\alpha \theta =\alpha /\lambda }$$ $${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \theta ^{2}=\alpha /\lambda ^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma /\mu =\alpha ^{-0.5}=1/{\sqrt {\alpha }}}$$

歪度

ガンマ分布の歪度は形状パラメータαのみに依存し、次の式で表されます。 ${\displaystyle 2/{\sqrt {\alpha }}.}$

より高い瞬間

r次の生モーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{r}]=\theta ^{r}{\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (\alpha )}}=\theta ^{r}\alpha ^{\overline {r}}}$

階乗が上昇します。 ${\displaystyle \alpha ^{\overline {r}}}$

中央値の近似値と境界

ガンマ分布の中央値の境界値と漸近近似値。シアン色の領域は、2021年以前に公表された下限値と上限値の間の大きなギャップを示しています。

最頻値や平均値はパラメータに基づいて容易に計算できる式がありますが、中央値には閉形式の方程式はありません。この分布の中央値は、 ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )\theta ^{\alpha }}}\int _{0}^{\nu }x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }dx={\frac {1}{2}}.}$$

ガンマ分布の漸近展開と中央値の境界を決定する問題の厳密な処理は、ChenとRubinによって初めて扱われ、( に対して) が成り立つことが証明されました。ここでは平均、は分布の中央値です。^[8] 尺度パラメータの他の値では、平均は にスケールされ、中央値の境界と近似値は同様にθによってスケールされます。 ${\displaystyle \theta =1}$ $${\displaystyle \alpha -{\tfrac {1}{3}}<\nu (\alpha )<\alpha ,}$$ ${\displaystyle \mu (\alpha )=\alpha }$ ${\displaystyle \nu (\alpha )}$ ${\displaystyle {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle \mu =\alpha \theta }$

KP Choiは、中央値をラマヌジャン関数と比較することで、中央値のローラン級数漸近近似の最初の5項を発見した。^[9] BergとPedersenはさらに多くの項を発見した。^[10] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\alpha )=\alpha &-{\frac {1}{3}}+{\frac {8}{405}}\alpha ^{-1}+{\frac {184}{25\,515}}\alpha ^{-2}+{\frac {2248}{3\,444\,525}}\alpha ^{-3}\\[1ex]&-{\frac {19\,006\,408}{15\,345\,358\,875}}\alpha ^{-4}-{\mathcal {O}}{\left(\alpha ^{-5}\right)}+\cdots \end{aligned}}}$$

2023年に の境界値（上側の赤実線と下側の赤破線）であることが証明されたガンマ分布の2つの中央値漸近線と、それらの間の補間値（赤点線）は、α = 1で正確で、最大相対誤差が約0.6%の近似値（赤点線）を生成します。水色の網掛け領域は、これらの新しい境界値と前の図の境界値を含む、上限と下限（または推定境界）の間の残りのギャップです。 ${\displaystyle \nu (\alpha )\approx 2^{-1/\alpha }(A+\alpha )}$

ガンマ分布の中央値に対する上限（実線）と下限（破線）の境界値と、それらの間のギャップを示す両対数プロット。緑、黄、シアンの領域は、リヨン2021年論文以前のギャップを表す。緑と黄色は、リヨンが証明した下限値によってそのギャップを狭めている。2023年に証明されたリヨンの境界値は、黄色の境界値をさらに狭めている。黄色の領域内には、閉形式の有理関数補間による推定境界値と、数値的に計算された中央値（点線）がプロットされている。より狭い補間境界値も存在するが、このスケールでは解決できないためプロットされていない。

これらの級数の部分和は、十分に高いαに対して良好な近似値となりますが、図にはプロットされていません。この図は、近似値があまり良くない低α領域に焦点を当てています。

バーグとペダーセンは、中央値がαの凸関数であること、^[11]および の近くの漸近挙動が（ここでγはオイラー・マスケローニ定数）であること、およびすべての中央値が によって制限されることを示した。^[10] ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \nu (\alpha )\approx e^{-\gamma }2^{-1/\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha 2^{-1/\alpha }<\nu (\alpha )<ke^{-1/3k}}$

のみについて、より近い線形上限が2021年にGauntとMerkleによって提供されました^[12]。これは、 の傾きがどこでも1未満であるというBergとPedersenの結果に依存しています。に対して（ で等式）。これは、中央値が凸であることが証明されているため、図に示す弦で最大値を取ることで、すべてについて上限まで拡張できます。 ^[11] ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \nu (\alpha )}$ $${\displaystyle \nu (\alpha )\leq \alpha -1+\log 2~~}$$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

高いαで漸近的に正確で、 までまたはその少し低い値まで妥当な中央値の近似値は、ウィルソン・ヒルファティ変換から得られます。これは、 では負になります。 ${\displaystyle \alpha =0.5}$ $${\displaystyle \nu (\alpha )=\alpha \left(1-{\frac {1}{9\alpha }}\right)^{3}}$$ ${\displaystyle \alpha <1/9}$

2021年、リヨンは形式 のいくつかの近似を提案した。彼は、この近似がすべての に対して漸近的にタイトな上限または下限となるようなAとBの値を予想した。^[13] 特に、彼は以下の閉形式の境界を提案し、2023年に証明した。^[14] ${\displaystyle \nu (\alpha )\approx 2^{-1/\alpha }(A+B\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

$${\displaystyle \nu _{L\infty }(\alpha )=2^{-1/\alpha }\left(\log 2-{\tfrac {1}{3}}+\alpha \right)}$$は下限であり、漸近的にタイトであり、上限であり、漸近的にタイトである。 ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ $${\displaystyle \nu _{U}(\alpha )=2^{-1/\alpha }(e^{-\gamma }+\alpha )\quad }$$ ${\displaystyle \alpha \to 0}$

リヨンはまた、ガンマ関数を含むこの下限値を含む、閉じた形式ではない2つの下限値も示しました（2021年に非公式に、2023年に厳密に）。これは、に1を代入して積分式を解くことに基づいています。 （ で等式に近づく）また、 における接線では導関数が であることが分かりました。 （ で等式になる）ここで、Ei は指数積分です。^{[13] [14]} ${\displaystyle e^{-x}}$ $${\displaystyle \nu (\alpha )>\left({\frac {2}{\Gamma (\alpha +1)}}\right)^{-1/\alpha }}$$ ${\displaystyle k\to 0}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \nu ^{\prime }(1)\approx 0.9680448}$ $${\displaystyle \nu (\alpha )\geq \nu (1)+(\alpha -1)\nu ^{\prime }(1)\quad }$$ ${\displaystyle k=1}$ $${\displaystyle \nu (\alpha )\geq \log 2+(\alpha -1)\left[\gamma -2\operatorname {Ei} (-\log 2)-\log \log 2\right]}$$

さらに、彼は境界間の補間によって中央値の優れた近似値やより厳密な境界値が得られることを示した。これには、（ただし）で正確で、最大相対誤差が0.6％未満の近似値も含まれる。補間された近似値と境界値はすべて、次のような形式である 。ここで、は低いαで0から高いαで1まで単調に変化する補間関数であり、理想的、つまり正確な補間関数を近似する。考えられる最も単純な補間関数である一次有理関数の場合、最も厳しい下限値は、最も厳しい上限値はである 。補間された境界値は、示されているlog-logプロットに（ほとんどが黄色の領域内に）プロットされる。異なる補間関数を使用することでさらに厳密な境界値も利用できるが、通常このような閉形式のパラメータでは利用できない。^[13] ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \nu (1)=\log 2}$ $${\displaystyle \nu (\alpha )\approx {\tilde {g}}(\alpha )\nu _{L\infty }(\alpha )+(1-{\tilde {g}}(\alpha ))\nu _{U}(\alpha )}$$ ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ ${\displaystyle g(\alpha )}$ $${\displaystyle g(\alpha )={\frac {\nu _{U}(\alpha )-\nu (\alpha )}{\nu _{U}(\alpha )-\nu _{L\infty }(\alpha )}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {g}}_{1}(\alpha )={\frac {\alpha }{b_{0}+\alpha }}}$$ $${\displaystyle b_{0}={\frac {{\frac {8}{405}}+e^{-\gamma }\log 2-{\frac {\log ^{2}2}{2}}}{e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}}-\log 2\approx 0.143472}$$ $${\displaystyle b_{0}={\frac {e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {e^{-\gamma }\pi ^{2}}{12}}}}\approx 0.374654}$$

合計

X _{i が}i = 1, 2, ..., Nに対してGamma( α _i , θ )分布に従う場合（つまり、すべての分布は同じ尺度パラメータθを持つ場合）、

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i},\theta \right)}$$

ただし、すべてのX _{i は}独立している必要があります。

X _iが独立しているが異なるスケールパラメータを持つ場合については、Mathai ^[15]または Moschopoulos ^{[16]を参照してください。}

ガンマ分布は無限に割り切れる性質を示します。

スケーリング

もし $${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\theta ),}$$

すると、任意のc > 0に対して、

$${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,c\,\theta ),}$$モーメント生成関数によって、

あるいは、

$${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,\lambda \right)}$$（形状レートパラメータ化）

$${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\lambda }{c}}\right),}$$

実際、X がレートλの指数 rvである場合、cXはレートλ / cの指数 rv であることがわかっています。同じことがガンマ変数にも当てはまります (これはモーメント生成関数を使用して確認できます。たとえば、これらのノートの 10.4-(ii) を参照)。正の定数cを乗算すると、レートが除算されます (または、それと同等に、スケールが乗算されます)。

指数族

ガンマ分布は、自然パラメータα − 1と−1/ θ (同様に、α − 1と− λ )、および自然統計Xとln Xを持つ2パラメータ指数族です。

形状パラメータαが固定されている場合、結果として得られる 1 パラメータの分布族は自然指数分布族になります。

対数期待値と分散

それは次のことを示すことができる

$${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\ln \lambda }$$

あるいは同等に、

$${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )+\ln \theta }$$

ここでψはディガンマ関数である。同様に、

$${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi ^{(1)}(\alpha )}$$

ここで、 は三ガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

ガンマ分布の十分な統計量の 1 つがln xであるため、十分な統計量のモーメント生成関数の指数族の公式を使用してこれを導くことができます。

情報エントロピー

情報エントロピーは

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln p(X)]\\[4pt]&=\operatorname {E} [-\alpha \ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )-(\alpha -1)\ln X+\lambda X]\\[4pt]&=\alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$$

α、θパラメータ化では、情報エントロピーは次のように与えられる。

$${\displaystyle \operatorname {H} (X)=\alpha +\ln \theta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).}$$

カルバック・ライブラー距離

2つのガンマPDFに対するカルバック・ライブラー（KL）ダイバージェンスの図解。λ =  λ 0 + 1を1、2、3、4、5、6に設定している。KLダイバージェンスの典型的な非対称性が明確に観察できる_。

ガンマ( αp , λp ₎（真の分布）とガンマ(αq,λq)（近似分布）_のカルバック・ライブラー情報_（ KL情報）は[ ^{17]で与えられる}_。

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\lambda _{p};\alpha _{q},\lambda _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log {\frac {\Gamma (\alpha _{p})}{\Gamma (\alpha _{q})}}\\&{}+\alpha _{q}\log {\frac {\lambda _{p}}{\lambda _{q}}}+\alpha _{p}\left({\frac {\lambda _{q}}{\lambda _{p}}}-1\right).\end{aligned}}}$$

α、θパラメータ化を使用して記述されると、 Gamma( α _q , θ _q )からのGamma( α _p , θ _p )の KL 発散は次のように与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\theta _{p};\alpha _{q},\theta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log {\frac {\Gamma (\alpha _{p})}{\Gamma (\alpha _{q})}}\\&{}+\alpha _{q}\log {\frac {\theta _{q}}{\theta _{p}}}+\alpha _{p}\left({\frac {\theta _{p}}{\theta _{q}}}-1\right).\end{aligned}}}$$

ラプラス変換

ガンマ分布のモーメント生成関数であるガンマPDFのラプラス変換は、

$${\displaystyle F(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]={\frac {1}{\left(1+\theta s\right)^{\alpha }}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda +s}}\right)^{\alpha }}$$

(ここではその分布に従うランダム変数です)。 ${\textstyle X}$

関連ディストリビューション

一般的な

• が、速度パラメータλを持つ指数分布に従う、独立かつ同一に分布するランダム変数であるとします。ここで、nは形状パラメータ、λは速度、です。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,\lambda )}$ ${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,n\lambda )}$
• X ~ Gamma(1, λ )（形状-速度パラメータ化）の場合、 X は速度パラメータλを持つ指数分布に従います。形状-スケールパラメータ化の場合、X ~ Gamma(1, θ )は速度パラメータ1/ θを持つ指数分布に従います。
• X ~ Gamma( ν /2, 2)（形状尺度パラメータ化において）の場合、 Xは自由度νのカイ二乗分布であるχ ² ( ν )と同一である。逆に、 Q ~ χ ² ( ν )かつcが正の定数の場合、cQ ~ Gamma( ν /2, 2 c )となる。
• θ = 1/ αの場合、ポリマー鎖長をモデル化するために最もよく使用されるSchulz-Zimm分布が得られます。
• αが整数の場合、ガンマ分布はアーラン分布であり、強度1/ θの1次元ポアソン過程におけるα番目の「到着」までの待ち時間の確率分布です。

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha \in \mathbb {Z} ,\theta ),\qquad Y\sim \operatorname {Pois} \left({\frac {x}{\theta }}\right),}$

それから

${\displaystyle \Pr(X>x)=\Pr(Y<\alpha ).}$

• Xがパラメータaのマクスウェル・ボルツマン分布に従う場合、

${\displaystyle X^{2}\sim \Gamma {\left({\tfrac {3}{2}},2a^{2}\right)}.}$

• X ~ Gamma( α , θ )の場合には対数ガンマ分布に従う。^[18] ${\textstyle \exp X}$
• X ~ Gamma( α , θ )ならば、指数ガンマ分布（略して exp-gamma）に従います。^[19]これは誤って対数ガンマ分布と呼ばれることもあります。^[20]平均と分散の式は「対数期待値と分散」のセクションにあります。 ${\textstyle \log X}$
• X ~ Gamma( α , θ )の場合、パラメータp = 2、d = 2 α、およびを持つ一般化ガンマ分布に従います。^{[引用が必要]} ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\theta }}}$
• より一般的には、X ~ Gamma( α , θ )の場合、 はパラメータp = 1/ q、d = α / q、およびを持つ一般化ガンマ分布に従います。 ${\displaystyle X^{q}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle a=\theta ^{q}}$
• 形状αとスケールθを持つX ~ Gamma( α , θ )の場合、1/ X ~ Inv-Gamma( α , θ ⁻¹ ) (導出については逆ガンマ分布を参照)。
• パラメータ化1: が独立であれば、、または同値として、 ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\theta _{2}X_{1}}{\alpha _{1}\theta _{1}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \lambda '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)}$
• パラメータ化2: が独立であれば、、または同等に、 ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\lambda _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\lambda _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\lambda _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \lambda '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)}$
• X ~ Gamma( α , θ )とY ~ Gamma( λ , θ )が独立に分布する場合、 X /( X + Y )はパラメータαとλを持つベータ分布を持ち、X /( X + Y ) はGamma( α + λ , θ )分布であるX + Yから独立しています。
• かつの場合、 はパラメータ化 2 で定義された に分布収束します。 ${\displaystyle X_{n}\sim {\text{Beta}}(\alpha ,n\lambda )\,}$ ${\displaystyle Y_{n}=nX_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Gamma}}(\alpha ,\lambda )}$
• X _i ~ Gamma( α _i , 1)が独立に分布する場合、ベクトル ( X ₁ / S , ..., X _n / S )（ここでS = X ₁ + ... + X _{n ）}は、パラメータα ₁、 ..., α _nを持つディリクレ分布に従います。
• αが大きい場合、ガンマ分布は平均μ = αθおよび分散σ ² = αθ ²の正規分布に収束します。
• ガンマ分布は、平均値が既知の正規分布の精度の共役事前分布です。
• 行列ガンマ分布とウィシャート分布は、ガンマ分布の多変量一般化です (サンプルは正の実数ではなく正定値行列です)。
• ガンマ分布は、一般化ガンマ分布、一般化整数ガンマ分布、および一般化逆ガウス分布の特殊なケースです。
• 離散分布の中で、負の二項分布はガンマ分布の離散的な類似物と見なされることがあります。
• Tweedie 分布– ガンマ分布は、Tweedie指数分散モデルファミリーのメンバーです。
• 修正半正規分布– ガンマ分布は修正半正規分布の族に属します。^[21]対応する密度は で、 はフォックス・ライトのプサイ関数を表します。 ${\displaystyle f(x\mid \alpha ,\lambda ,\gamma )={\frac {2\lambda ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\lambda x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\lambda }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}{\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}}$
• 形状スケールパラメータ化では、スケールパラメータが逆ガンマ分布を表す場合、周辺分布がベータプライム分布を表す場合です。 ${\displaystyle x|\theta \sim \Gamma (\alpha ,\theta )}$ ${\displaystyle \theta \sim IG(b,1)}$ ${\displaystyle IG}$ ${\displaystyle x\sim \lambda '(\alpha ,b)}$ ${\displaystyle \lambda '}$

複合ガンマ

ガンマ分布の形状パラメータは既知であるが、逆スケールパラメータが未知である場合、逆スケールのガンマ分布は共役事前分布を形成する。逆スケールを積分して得られる複合分布は、複合ガンマ分布として知られる閉形式の解を持つ。^[22]

代わりに、形状パラメータは既知だが平均は不明であり、平均の事前分布が別のガンマ分布によって与えられる場合は、K分布になります。

統計的推論

パラメータ推定

最大尤度推定

Ni個の iid観測値（x ₁ , ..., x _N）の尤度関数は

$${\displaystyle L(\alpha ,\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\alpha ,\theta )}$$

そこから対数尤度関数を計算する

$${\displaystyle \ell (\alpha ,\theta )=(\alpha -1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\theta }}-N\alpha \ln \theta -N\ln \Gamma (\alpha )}$$

導関数を取ってそれをゼロに設定することでθに関する最大値を見つけると、 θパラメータの最大尤度推定値が得られ、これはサンプル平均を形状パラメータαで割った値に等しくなります。 ${\displaystyle {\bar {x}}}$

$${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{\alpha N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {\bar {x}}{\alpha }}}$$

これを対数尤度関数に代入すると、

$${\displaystyle \ell (\alpha )=(\alpha -1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-N\alpha -N\alpha \ln {\frac {\sum _{i}x_{i}}{\alpha N}}-N\ln \Gamma (\alpha )}$$

少なくとも2つのサンプルが必要です。なぜなら、 に対して関数はに無限に増加するからです。 に対しては、ポリガンマ関数の不等式の性質を用いることで、が厳密に凹であることが確認できます。 αに関する最大値を求めるには、導関数をゼロに設定し、次のようにします。 ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle \ell (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \ell (\alpha )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \alpha -\psi (\alpha )&=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\\[1ex]&=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}\end{aligned}}}$$

ここで、ψはディガンマ関数、はln xの標本平均である。α には閉形式の解は存在しない。この関数は数値的に非常によく振る舞うので、数値解が必要な場合は、例えばニュートン法を用いて求めることができる。k の初期値は、モーメント法、あるいは近似法を用いて求めることができる。 ${\displaystyle {\overline {\ln x}}}$

$${\displaystyle \ln \alpha -\psi (\alpha )\approx {\frac {1}{2\alpha }}\left(1+{\frac {1}{6\alpha +1}}\right)}$$

もし私たちが

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\\[1ex]&=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}\end{aligned}}}$$

αはおよそ

$${\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {\left(s-3\right)^{2}+24s}}}{12s}}}$$

これは正しい値の1.5%以内である。^[23]この初期推定値のニュートン・ラプソン更新の明示的な形式は次の通りである。^[24]

$${\displaystyle \alpha \leftarrow \alpha -{\frac {\ln \alpha -\psi (k)-s}{{\frac {1}{\alpha }}-\psi \prime (\alpha )}}.}$$

最大尤度推定値では、 xと の期待値は経験平均と一致する。 ${\displaystyle ({\hat {\alpha }},{\hat {\theta }})}$ ${\displaystyle \ln x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }}{\hat {\theta }}&={\bar {x}}&&{\text{and}}&\psi ({\hat {\alpha }})+\ln {\hat {\theta }}&={\overline {\ln x}}.\end{aligned}}}$$

小さな形状パラメータに関する注意点

より小さい値で0にアンダーフローする浮動小数点形式で表現されたデータ の場合、最大尤度推定に必要な対数は、アンダーフローがあると失敗の原因となります。データが累積分布関数 のガンマ分布によって生成されたと仮定すると、少なくとも1つのアンダーフローが発生する確率は次のようになります。 この確率は、 αが小さくNが大きい場合、1に近づきます。例えば、、 、 ではとなります。回避策としては、データを対数形式で表現する方法があります。 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F(x;\alpha ,\theta )}$ $${\displaystyle \Pr({\text{underflow}})=1-(1-F(\varepsilon ;\alpha ,\theta ))^{N}}$$ ${\displaystyle \alpha =10^{-2}}$ ${\displaystyle N=10^{4}}$ ${\displaystyle \varepsilon =2.25\times 10^{-308}}$ ${\displaystyle \Pr({\text{underflow}})\approx 0.9998}$

対数データを入力とする最大尤度推定器の実装をテストするには、 のとき、ランダムガンマ変量のアンダーフローしない対数を生成できることが有用である。 の実装に倣って、これは次のように行うことができる。^[25]と を独立にサンプリングする。すると、 となる対数標本はとなる。 ${\displaystyle \alpha <1}$scipy.stats.loggamma ${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha +1,\theta )}$ ${\displaystyle U\sim {\text{Uniform}}}$ ${\displaystyle Z=\ln(Y)+\ln(U)/\alpha }$ ${\displaystyle \exp(Z)\sim {\text{Gamma}}(k,\theta )}$

閉形式推定量

一般化ガンマ分布の尤度から導かれるαとθの一貫した閉形式の推定値が存在する。^[26]

形状αの推定値は

$${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {N\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}}{N\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\sum \limits _{i=1}^{N}\ln x_{i}}}}$$

そして尺度θの推定値は

$${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{N^{2}}}\left(N\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\right)}$$

xの標本平均、 ln xの標本平均、および積x ·ln xの標本平均を使用すると、式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {\bar {x}}{\hat {\theta }}}}$$ $${\displaystyle {\hat {\theta }}={\overline {x\ln x}}-{\bar {x}}{\overline {\ln x}}.}$$

レートパラメータ化を使用する場合、 の推定値は次のようになります。 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}=1/{\hat {\theta }}}$

これらの推定量は厳密には最尤推定量ではなく、混合型対数モーメント推定量と呼ばれます。ただし、最尤推定量と同等の効率性を有します。

これらの推定値は整合しているものの、小さなバイアスを持っている。尺度θの推定値のバイアス補正版は、

$${\displaystyle {\tilde {\theta }}={\frac {N}{N-1}}{\hat {\theta }}}$$

形状パラメータαのバイアス補正は次のように与えられる^[27]

$${\displaystyle {\tilde {\alpha }}={\hat {\alpha }}-{\frac {1}{N}}\left(3{\hat {\alpha }}-{\frac {2}{3}}\left({\frac {\hat {\alpha }}{1+{\hat {\alpha }}}}\right)-{\frac {4}{5}}{\frac {\hat {\alpha }}{(1+{\hat {\alpha }})^{2}}}\right)}$$

ベイズ最小平均二乗誤差

αが既知でθが未知である場合、θの事後密度関数（ θの標準スケール不変事前分布を使用）は

$${\displaystyle \Pr(\theta \mid \alpha ,x_{1},\dots ,x_{N})\propto {\frac {1}{\theta }}\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\alpha ,\theta )}$$

示す

$${\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad \Pr(\theta \mid \alpha ,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-N\alpha -1}e^{-y/\theta }}$$

ここで、C （積分）定数はθに依存しない。事後分布の密度から、1 / θは形状パラメータNα + 2と速度パラメータyを持つガンマ分布に従うことがわかる。変数変換を用いてθに関する積分を行い、積分定数を求めることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\theta ^{-N\alpha -1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta &=\int _{0}^{\infty }x^{N\alpha -1-m}e^{-xy}\,dx\\&=y^{-(N\alpha -m)}\Gamma (N\alpha -m)\!\end{aligned}}}$$

モーメントは、比（m × m =0） をとることで計算できる。

$${\displaystyle \operatorname {E} [x^{m}]={\frac {\Gamma (N\alpha -m)}{\Gamma (N\alpha )}}y^{m}}$$

これは、 θの事後分布の平均±標準偏差推定値が

$${\displaystyle {\frac {y}{N\alpha -1}}\pm {\sqrt {\frac {y^{2}}{\left(N\alpha -1\right)^{2}(N\alpha -2)}}}.}$$

ベイズ推論

共役事前分布

ベイズ推論では、ガンマ分布は、ポアソン分布、指数分布、正規分布（平均値が既知）、パレート分布、形状σが既知のガンマ分布、形状パラメータが既知の逆ガンマ分布、尺度パラメータが既知のゴンペルツ分布など、多くの尤度分布の共役分布に先立つものです。

ガンマ分布の共役事前分布は^[28]である。

$${\displaystyle p(\alpha ,\theta \mid p,q,r,s)={\frac {1}{Z}}{\frac {p^{\alpha -1}e^{-\theta ^{-1}q}}{\Gamma (\alpha )^{r}\theta ^{\alpha s}}},}$$

ここで、Zは閉形式の解を持たない正規化定数です。事後分布は、パラメータを次のように更新することで求められます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=p\prod \nolimits _{i}x_{i},\\q'&=q+\sum \nolimits _{i}x_{i},\\r'&=r+n,\\s'&=s+n,\end{aligned}}}$$

ここで、nは観測値の数、x _iはガンマ分布からのi番目の観測値です。

発生と応用

各イベントの待ち時間が率λの指数分布となる一連のイベントを考えてみましょう。すると、 n番目のイベントが発生するまでの待ち時間は整数形状のガンマ分布になります。このガンマ分布の構成により、主要イベントが発生するためには、それぞれが指数分布で時間を要する複数のサブイベントが連続して発生しなければならないような、さまざまな現象をモデル化できます。^{[29]例としては}、細胞分裂イベントの待ち時間、^[30]特定の突然変異に対する補償突然変異の数、^[31]油圧システムの修理が必要になるまでの待ち時間、^[32]などが挙げられます。 ${\displaystyle \alpha =n}$

生物物理学において、 ATP合成酵素のような分子モーターのステップ間の滞留時間は、ATP濃度が一定であればほぼ指数関数的であり、モーターの各ステップで1回のATP加水分解が行われることを示しています。もしn回のATP加水分解イベントがあったとすると、n次のガンマ分布に従うことになります。^[33]

ガンマ分布は保険金請求額^[34]や降雨量^{[35]をモデル化するために使われてきました。これは、総保険金請求額と貯水池に蓄積された降雨量が}ガンマ過程によってモデル化されることを意味します。これは指数分布がポアソン過程を生成するのとよく似ています。

ガンマ分布は、マルチレベルポアソン回帰モデルの誤差をモデル化するためにも使用されます。これは、ガンマ分布率を持つポアソン分布の混合には、負の二項分布と呼ばれる既知の閉形式分布があるためです。

無線通信では、ガンマ分布は信号電力のマルチパスフェージングをモデル化するために使用されます。 ^{[引用が必要]}レイリー分布とライス分布も参照してください。

腫瘍学では、癌 発症の年齢分布はガンマ分布に従うことが多く、形状パラメータとスケールパラメータはそれぞれドライバーイベントの数とそれらの間の時間間隔を予測します。^{[36] [37]}

神経科学では、ガンマ分布はスパイク間隔の分布を記述するためによく使用されます。^{[38] [39]}

細菌の 遺伝子発現ではタンパク質の生産がバースト的に起こる可能性があり、特定のタンパク質のコピー数はガンマ分布に従うことが多く、形状パラメータとスケールパラメータはそれぞれ細胞周期あたりのバーストの平均数とバーストあたりに生産されるタンパク質分子の平均数である。^[40]

ゲノミクスでは、ガンマ分布はChIP-chip ^[41]およびChIP-seq ^[42]データ解析 のピークコールステップ（すなわち、シグナルの認識）に適用されました。

ベイズ統計において、ガンマ分布は共役事前分布として広く用いられています。ガンマ分布は、正規分布の精度（すなわち分散の逆数）の共役事前分布です。また、指数分布の共役事前分布でもあります。

系統学において、ガンマ分布は、最尤法、ベイズ法、または距離行列法を用いて系統樹を推定する際に、サイト間の速度変動をモデル化する最も一般的な手法である^[43]。ガンマ分布を用いて速度変動をモデル化する系統解析では、α = λとなる分布のみを考慮するため、データから単一のパラメータを推定する。このパラメータ化は、この分布の平均が1、分散が1/ αであることを意味する。最尤法とベイズ法では、通常、連続ガンマ分布の離散近似が用いられる。^{[44] [45]}

ランダム変数生成

上記のスケーリング特性を考慮すると、 θ = 1のガンマ変数を生成すれば十分です。これは、後で単純な除算でλの任意の値に変換できるためです。

Gamma( n + δ , 1)からランダム変数を生成したいとします。ここで n は非負の整数で、0 < δ < 1です。Gamma (1, 1)分布はExp(1)分布と同じであるという事実と、指数変数の生成方法を考慮すると、U が(0, 1] に均一に分布する場合、 -ln UはGamma(1, 1)に分布する（つまり、逆変換サンプリング）ことがわかります。ここで、ガンマ分布の「α加算」特性を用いて、この結果を拡張します。

$${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}\ln U_{k}\sim \Gamma (n,1)}$$

ここで、U _kはすべて (0, 1] に均一に分布し、独立しています。残っているのは、0 < δ < 1に対してGamma( δ , 1)として分布する変数を生成し、「α加算」プロパティをもう一度適用することだけです。これが最も難しい部分です。

^{ガンマ変量のランダム生成についてはDevroye [46] : 401–428}で詳細に議論されているが、どのアルゴリズムもすべての形状パラメータに対して一様に高速ではないことが指摘されている。形状パラメータの値が小さい場合、これらのアルゴリズムは有効ではないことが多い。^{[46] : 406}形状パラメータの任意の値に対しては、Ahrens and Dieter ^[47]の修正受理拒否法アルゴリズムGD（形状α ≥ 1 ）、または0 < α < 1の場合は変換法^{[48]を適用できる。Cheng and Feast Algorithm GKM 3 [49]}やMarsagliaのsqueeze法^[50]も参照のこと。

以下はアーレンス・ディーターの受理・棄却法の一種である。^[47]

1. U、V、Wをiiduniform [0,1]変数として生成します。
2. であれば、かつ。そうでない場合は、かつ。 ${\displaystyle U\leq {\frac {e}{e+\delta }}}$ ${\displaystyle \xi =V^{1/\delta }}$ ${\displaystyle \eta =W\xi ^{\delta -1}}$ ${\displaystyle \xi =1-\ln V}$ ${\displaystyle \eta =We^{-\xi }}$
3. その場合は手順 1 に進みます。 ${\displaystyle \eta >\xi ^{\delta -1}e^{-\xi }}$
4. ξはΓ( δ , 1)として分布します。

これを要約すると、はαの整数部分、ξは上記のアルゴリズムを使用してδ = { α } ( αの小数部分) で生成され、U _{k は}すべて独立しています。 $${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{\lfloor \alpha \rfloor }\ln U_{i}\right)\sim \Gamma (\alpha ,\theta )}$$ ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \alpha \rfloor }$

上記のアプローチは技術的には正しいものの、Devroyeはαの値に比例するため、一般的には良い選択ではないと指摘しています。代わりに、状況に応じて棄却法または表ベースの方法のいずれかを使用することを推奨しています。^{[46] : 401–428}

例えば、マルサリアの単純な変換拒否法は、1つの正規変量Xと1つの一様変量Uに依存している：^[25]

1. 設定して。 ${\displaystyle d=a-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {9d}}}}$
2. セット。 ${\displaystyle v=(1+cX)^{3}}$
3. の場合は を返し、そうでない場合は手順 2 に戻ります。 ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle \ln U<{\frac {X^{2}}{2}}+d-dv+d\ln v}$ ${\displaystyle dv}$

は、 αにほぼ比例するガンマ分布に従う乱数を時間とともに生成します。受理率はαに依存し、 α  = 1、2、4 のそれぞれにおいて、受理率はそれぞれ 0.95、0.98、0.99 となります。α < 1の場合、 k をブーストすることで、この手法を使用することができます。 ${\displaystyle 1\leq a=\alpha }$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\gamma _{1+\alpha }U^{1/\alpha }}$

Matlabでは、 α、θgamrnd()表現を使用する関数を使用して数値を生成できます。

参考文献

1. “ガンマ分布 | 確率、統計、分布 | ブリタニカ”. www.britannica.com . 2024年5月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年10月9日閲覧。
2. Weisstein, Eric W. 「ガンマ分布」. mathworld.wolfram.com . 2024年5月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年10月9日閲覧。
3. “ガンマ分布 | ガンマ関数 | 特性 | PDF”. www.probabilitycourse.com . 2024年6月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年10月9日閲覧。
4. Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). 「最大エントロピー自己回帰条件付き異分散モデル」(PDF) . Journal of Econometrics . 150 (2): 219– 230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014. オリジナル(PDF)から2016年3月7日にアーカイブ。 2011年6月2日閲覧。 
5. Hogg, RV ; Craig, AT (1978).数理統計入門（第4版）. ニューヨーク: Macmillan. pp. 注釈3.3.1. ISBN 0-02-355710-9。
6. Gopalan, Prem; Hofman, Jake M.; Blei, David M. (2013). 「ポアソン分解によるスケーラブルな推奨」. arXiv : 1311.1704 [cs.IR].
7. Papoulis, Pillai,確率、ランダム変数、および確率過程、第4版
8. Jeesen Chen, Herman Rubin , ガンマ分布とポアソン分布の中央値と平均値の差の境界、Statistics & Probability Letters、第4巻、第6号、1986年10月、281–283ページ、ISSN  0167-7152、[1] Archived 2024-10-09 at the Wayback Machine。
9. Choi, KP「ガンマ分布の中央値とラマヌジャンの方程式について」2021年1月23日にWayback Machineにアーカイブ、アメリカ数学会紀要、第121巻第1号（1994年5月）、245～251頁。
10. Berg, Christian & Pedersen, Henrik L. (2006年3月). 「連続設定におけるチェン・ルビン予想」(PDF) . Methods and Applications of Analysis . 13 (1): 63– 88. doi : 10.4310/MAA.2006.v13.n1.a4 . S2CID 6704865. 2021年1月16日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) . 2020年4月1日閲覧。
11. Berg, ChristianおよびPedersen, Henrik L.「ガンマ分布における中央値の凸性」Wayback Machineに2023年5月26日にアーカイブ。
12. Gaunt, Robert E., Milan Merkle (2021). 「一般化双曲型分布および関連分布のモードと中央値の境界について」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 493 (1) 124508. arXiv : 2002.01884 . doi :10.1016/j.jmaa.2020.124508. S2CID  221103640.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Lyon, Richard F. (2021年5月13日). 「ガンマ分布の中央値に対する閉形式の厳密な境界と近似について」. PLOS One . 16 (5) e0251626. arXiv : 2011.04060 . Bibcode :2021PLoSO..1651626L. doi : 10.1371/journal.pone.0251626 . PMC 8118309. PMID  33984053 . 
14. Lyon, Richard F. (2021年5月13日). 「ガンマ分布の中央値の厳密な境界」. PLOS One . 18 (9) e0288601. doi : 10.1371/journal.pone.0288601 . PMC 10490949. PMID  37682854 . 
15. Mathai, AM (1982). 「ガンマ型入力によるダムの貯水容量」. Annals of the Institute of Statistical Mathematics . 34 (3): 591– 597. doi :10.1007/BF02481056. ISSN  0020-3157. S2CID  122537756.
16. Moschopoulos, PG (1985). 「独立ガンマ確率変数の和の分布」. Annals of the Institute of Statistical Mathematics . 37 (3): 541– 544. doi :10.1007/BF02481123. S2CID  120066454.
17. Penny, WD「正規密度、ガンマ密度、ディリクレ密度、ウィシャート密度のKL発散」。
18. 「LogGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント」。
19. 「ExpGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント」。
20. "scipy.stats.loggamma — SciPy v1.8.0 マニュアル". docs.scipy.org .
21. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). 「修正半正規分布：特性と効率的なサンプリング手法」(PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587. 2022年9月2日閲覧.
22. Dubey, Satya D. (1970年12月). 「複合ガンマ分布、複合ベータ分布、複合F分布」. Metrika . 16 (1): 27– 31. doi :10.1007/BF02613934. S2CID  123366328.
23. Minka, Thomas P. (2002). 「ガンマ分布の推定」（PDF） .
24. Choi, SC; Wette, R. (1969). 「ガンマ分布のパラメータとそのバイアスの最大尤度推定」. Technometrics . 11 (4): 683– 690. doi :10.1080/00401706.1969.10490731.
25. Marsaglia, G.; Tsang, WW (2000). 「ガンマ変数を生成するための簡単な方法」. ACM Transactions on Mathematical Software . 26 (3): 363– 372. doi :10.1145/358407.358414. S2CID  2634158.
26. Ye, Zhi-Sheng; Chen, Nan (2017). 「尤度方程式から導出されるガンマ分布の閉形式推定量」 . The American Statistician . 71 (2): 177– 181. doi :10.1080/00031305.2016.1209129. S2CID  124682698. 2023年5月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年7月27日閲覧。
27. Louzada, Francisco; Ramos, Pedro L.; Ramos, Eduardo (2019). 「尤度方程式から導出されるガンマ分布の閉形式推定値のバイアスに関する注記」 . The American Statistician . 73 (2): 195– 199. doi :10.1080/00031305.2018.1513376. hdl : 11449/184543 . S2CID  126086375. 2023年5月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年7月27日閲覧。
28. Fink, D. 1995 共役事前分布の概要。進行中の報告：データ品質目標を設定するための方法の拡張と強化。(DOE契約95-831)
29. Jessica., Scheiner, Samuel M., 1956- Gurevitch (2001). 「13. 故障時間分析」.生態学的実験の設計と分析. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-513187-8. OCLC  43694448. 2024年10月9日にオリジナルからアーカイブ。2022年5月26日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
30. Golubev, A. (2016年3月). 「細胞増殖と遺伝子発現に関連する時間変動モデルとしての指数関数的に修正されたガンマ分布の応用と示唆」. Journal of Theoretical Biology . 393 : 203–217 . Bibcode :2016JThBi.393..203G. doi :10.1016/j.jtbi.2015.12.027. ISSN  0022-5193. PMID  26780652.
31. Poon, Art; Davis, Bradley H; Chao, Lin (2005-07-01). 「クーポンコレクターと抑制変異」. Genetics . 170 (3): 1323– 1332. doi :10.1534/genetics.104.037259. ISSN  1943-2631. PMC 1451182. PMID 15879511  . 
32. ヴィンヤード, マイケル; アモアコ＝ギャンパ, クワシ; メレディス, ジャック R (1999年7月). 「フレキシブル製造システムの故障率分布：実証研究」.ヨーロッパ・オペレーショナル・リサーチ誌. 116 (1): 139– 155. doi :10.1016/s0377-2217(98)00096-4. ISSN  0377-2217.
33. Rief, Matthias; Rock, Ronald S.; Mehta, Amit D.; Mooseker, Mark S.; Cheney, Richard E.; Spudich, James A. (2000-08-15). 「ミオシンVのステッピング運動学：プロセッシビティの分子モデル」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 97 (17): 9482– 9486. Bibcode :2000PNAS...97.9482R. doi : 10.1073/pnas.97.17.9482 . ISSN  0027-8424. PMC 16890. PMID 10944217  . 
34. p. 43、フィリップ・J・ボーランド著『保険数理科学における統計的・確率的手法』チャップマン＆ホールCRC 2007
35. Wilks, Daniel S. (1990). 「ゼロを含むデータを用いたガンマ分布の最大尤度推定」. Journal of Climate . 3 (12): 1495– 1501. Bibcode :1990JCli....3.1495W. doi : 10.1175/1520-0442(1990)003<1495:MLEFTG>2.0.CO;2 . ISSN  0894-8755. JSTOR  26196366.
36. Belikov, Aleksey V. (2017年9月22日). 「主要な発がん性イベントの数はがん発生率から予測できる」. Scientific Reports . 7 (1) 12170. Bibcode :2017NatSR...712170B. doi :10.1038/s41598-017-12448-7. PMC 5610194. PMID 28939880  . 
37. Belikov, Aleksey V.; Vyatkin, Alexey; Leonov, Sergey V. (2021-08-06). 「アーラン分布は小児および若年成人のがん発生率の年齢分布を近似する」. PeerJ . 9 e11976. doi : 10.7717/peerj.11976 . ISSN  2167-8359. PMC 8351573. PMID 34434669  . 
38. JG RobsonとJB Troy、「ネコの網膜Q、X、Y神経節細胞の持続放電の性質」、J. Opt. Soc. Am. A 4, 2301–2307 (1987)
39. MCM Wright、IM Winter、JJ Forster、S. Bleeck「蝸牛腹側核における最高周波数の音バーストに対する反応は、順序付けられたスパイク間隔の統計によって制御される」、Hearing Research 317 (2014)
40. N. Friedman、L. Cai、XS Xie (2006)「確率的ダイナミクスと個体群分布の関連付け：遺伝子発現の分析フレームワーク」、 Phys. Rev. Lett. 97、168302。
41. DJ Reiss、MT Facciotti、NS Baliga (2008)「ゲノムワイドDNA結合のモデルベースデコンボリューション」、バイオインフォマティクス、24、396–403
42. MA Mendoza-Parra、M Nowicka、W Van Gool、H Gronemeyer (2013)「モデルベースのピーク形状デコンボリューションによるChIP-seq結合パターンの特徴づけ」2024年10月9日アーカイブ、Wayback Machine、BMC Genomics、14:834
43. Yang, Ziheng (1996年9月). 「サイト間速度変動と系統解析への影響」. Trends in Ecology & Evolution . 11 (9): 367– 372. Bibcode :1996TEcoE..11..367Y. CiteSeerX 10.1.1.19.99 . doi :10.1016/0169-5347(96)10041-0. PMID  21237881. 2024年4月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月6日閲覧。 
44. Yang, Ziheng (1994年9月). 「DNA配列からの各部位における変動速度による最大尤度系統学的推定：近似法」. Journal of Molecular Evolution . 39 (3): 306– 314. Bibcode :1994JMolE..39..306Y. CiteSeerX 10.1.1.19.6626 . doi :10.1007/BF00160154. ISSN  0022-2844. PMID  7932792. S2CID  17911050. 2024年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月6日閲覧。 
45. Felsenstein, Joseph (2001-10-01). 「系統発生の推論において、サイト間の進化速度の変動を考慮する」 . Journal of Molecular Evolution . 53 ( 4–5 ): 447– 455. Bibcode :2001JMolE..53..447F. doi :10.1007/s002390010234. ISSN  0022-2844. PMID  11675604. S2CID  9791493. 2024年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年9月6日閲覧。
46. Devroye, Luc (1986). 非一様乱数変量生成法. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96305-1. 2012年7月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年2月26日閲覧。第9章第3節を参照してください。
47. Ahrens, JH; Dieter, U (1982年1月). 「改良拒絶法によるガンマ変量生成」Communications of the ACM . 25 (1): 47– 54. doi : 10.1145/358315.358390 . S2CID  15128188.アルゴリズムGDの53ページを参照してください。
48. Ahrens, JH; Dieter, U. (1974). 「ガンマ分布、ベータ分布、ポアソン分布、二項分布からのサンプリングのためのコンピュータ手法」. Computing . 12 (3): 223– 246. CiteSeerX 10.1.1.93.3828 . doi :10.1007/BF02293108. S2CID  37484126. 
49. Cheng, RCH; Feast, GM (1979). 「いくつかの単純なガンマ変量生成器」.英国王立統計学会誌. シリーズC (応用統計) . 28 (3): 290– 295. doi :10.2307/2347200. JSTOR  2347200.
50. Marsaglia, G. ガンマ変数を生成するためのスクイーズ法 Comput, Math. Appl. 3 (1977), 321–325.

外部リンク

• 「ガンマ分布」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W.「ガンマ分布」。マスワールド。
• ModelAssist (2017) リスク モデリングにおけるガンマ分布の使用 (Excel での応用例を含む) Archived 2017-05-09 at the Wayback Machine。
• エンジニアリング統計ハンドブック

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