ゲージ群（数学）

ヤン＝ミルズ理論におけるゲージ対称性の群

ゲージ群は、主バンドル上の主接続のヤン・ミルズゲージ理論のゲージ対称性の群である。リー群という構造を持つ主バンドルが与えられたとき、ゲージ群はその垂直自己同型の群、すなわちバンドル自己同型の群として定義される。この群は、その典型ファイバーが随伴表現によって自身に作用する群である関連群バンドルの大域切断の群と同型である。 の単位元は、の定数単位値切断である。 ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle g(x)=1}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$

同時に、ゲージ重力理論は、ゲージ対称性がゲージ群の要素ではない一般的な共変変換である主フレームバンドル上の場の理論の例です。

ゲージ理論に関する物理学の文献では、主束の構造群はしばしばゲージ群と呼ばれます。

量子ゲージ理論では、安定化群であるゲージ群の正規部分群を考える。 ${\displaystyle G^{0}(X)}$ ${\displaystyle G(X)}$

${\displaystyle G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}}$

群束 のある点の。これは尖端ゲージ群と呼ばれる。この群は主接続の空間上で自由に作用する。明らかに。また、 がゲージ群 の中心である有効ゲージ群も導入される。この群は既約主接続の空間上で自由に作用する。 ${\displaystyle 1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ ${\displaystyle G(X)/G^{0}(X)=G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)=G(X)/Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)}$

構造群が複素半単純行列群である場合、ゲージ群のソボレフ完備化を導入することができる。これはリー群である。重要な点は、主接続空間 のソボレフ完備化への の作用が滑らかであり、軌道空間 がヒルベルト空間であるということにある。これは量子ゲージ理論の配位空間である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)}$

参照

• ゲージ対称性（数学）
• ゲージ理論
• ゲージ理論（数学）
• 主バンドル

参考文献

• Mitter, P., Viallet, C., ヤン-ミルズ理論における接続の束とゲージ軌道多様体について, Commun. Math. Phys. 79 (1981) 457.
• マラテ、K.、マルトゥッチ、G.、ゲージ理論の数学的基礎（ノースホランド、1992年）ISBN 0-444-89708-9。
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

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