一般化された円

線と円を含む幾何学の概念

幾何学において、一般化された円は、時には斜線または円線とも呼ばれ、^[1]ユークリッド平面上の一定曲率の曲線である直線または円である。

一般化された円の自然な設定は、拡張平面、すなわち、すべての直線が通ると考えられる無限遠点を1つ含む平面です。拡張平面上の任意の3つの異なる点が与えられたとき、3点すべてを通る一般化された円が1つだけ存在します。

一般化された円はユークリッド幾何学に時々登場します。ユークリッド幾何学では、点間の距離の概念が明確に定義されており、すべての円には中心と半径があります。つまり、無限遠点は他のどの点からも無限に離れていると考えることができ、直線は明確に定義された中心を持たず半径が無限大（曲率ゼロ）の退化した円と見なすことができます。直線を鏡映することはユークリッド等長変換（距離を保つ変換）であり、直線を直線に、円を円に写像しますが、円における反転は等長変換ではなく、距離を歪めて任意の直線を基準となる円の中心を通る円に写像し、その逆も同様です。

しかし、一般円は反転幾何学の基礎であり、反転幾何学では円と直線は区別できないものとみなされ、無限遠点は他の点と区別されず、曲率や点間の距離の概念は無視されます。反転幾何学では、鏡映、反転、そしてより一般的にはそれらの合成（メビウス変換と呼ばれる）によって、一般円が一般円に写像され、オブジェクト間の反転関係が保持されます。

延長された平面は、立体投影を用いて球面と同一視することができる。すると無限遠点は球面上の通常の点となり、すべての一般円は球面上の円となる。

拡張複素平面

複素平面上の円は、中心と半径に関する暗黙の方程式として指定されます。

拡張ユークリッド平面は拡張複素平面と同一視できるため、複素数方程式を使用して直線、円、反転を記述できます。

二変数線形方程式

円は 、中心点から半径 にある平面上の点の集合である。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}}$

複素平面において、は複素数であり、は複素数の集合です。複素数とその共役数を掛け合わせたものは、その係数（原点からのユークリッド距離）の2乗になるという性質を用いると、の暗黙的な方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

これは、複素変数とその共役に関する同次二変数線形多項式方程式で ある 。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}},}$

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

ここで、係数 とは実数、と は複素共役です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

で割り、上記の手順を逆に行うことで、この形式の任意の方程式から半径と中心を復元できます。この方程式は、が実数であるとき、平面上の一般化された円を表します。これは、半径の2乗が正となる のときです。がゼロのとき、この方程式は直線を定義します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle AD<BC}$ ${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

複素逆数

逆変換によって一般円が一般円にマッピングされることは、簡単に検証できます。 ${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

原点を通る直線( ) ${\displaystyle A=D=0}$は原点を通る直線にマッピングされます。原点を通らない直線( ) ${\displaystyle A=0,D\neq 0}$は原点を通る円にマッピングされます。原点を通る円( ) ${\displaystyle A\neq 0,D=0}$は原点を通らない直線にマッピングされます。原点を通らない円( ) ${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$は原点を通らない円にマッピングされます。

複素行列表現

一般化円の定義方程式

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

行列方程式として書くことができる

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

象徴的に言えば、

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

係数は円を表す可逆 エルミート行列 と拡張複素数を表すベクトルに配置されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$

このような 2 つの行列は、一方が他方のスカラー倍数である場合にのみ、同じ一般化円を指定します。

メビウス変換によって表される一般化円を変換するには、メビウス変換の逆を暗黙方程式のベクトルに適用します。 ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

したがって、新しい円は行列で表すことができる。 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$

注記

1. ヒッチマン、マイケル・P. (2009). 『幾何学と宇宙位相幾何学入門』ジョーンズ＆バートレット. p. 43.

参考文献

• ハンス・シュヴェルトフェガー著『複素数の幾何学』クーリエ・ドーバー出版、1979年
• マイケル・ヘンレ著『現代幾何学：非ユークリッド、射影、離散幾何学』第2版、プレンティス・ホール、2001年
• David W. Lyons (2021) メビウス幾何学、LibreTextsより

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