一般化固有ベクトル

Vector satisfying some of the criteria of an eigenvector

線型代数学において、行列の一般化固有ベクトルとは、（通常の）固有ベクトルよりも緩やかな基準を満たすベクトルのことである。^[1] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

を- 次元ベクトル空間とし、をある順序付き基底に関するからへの線型写像の行列表現とします。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

の完全な基底を形成するの線形独立な固有ベクトルの完全な集合が常に存在するとは限らない。つまり、行列 は対角化できない可能性がある。^{[2] [3]} これは、少なくとも1つの固有値の代数的重複度が、その幾何学的重複度（行列 の零値、またはその零空間の次元）よりも大きい場合に発生する。この場合、は欠陥のある固有値と呼ばれ、は欠陥のある行列と呼ばれる。^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$

に対応する一般化固有ベクトルは、行列とともに、不変部分空間の基底を形成する線形独立な一般化固有ベクトルのジョルダン連鎖を生成する。^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$ ${\displaystyle V}$

一般化固有ベクトルを用いると、 の線形独立な固有ベクトルの集合は、必要であれば の完全な基底に拡張することができる。^[8]この基底は、に類似したジョルダン標準形の 「ほぼ対角行列」を決定するために用いることができ、これはの特定の行列関数を計算する際に有用である。^[9] この行列は、が対角化可能である必要がない線形微分方程式系を解く際にも有用である。^{[10] [11]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle A}$

与えられた固有値に対応する一般化固有空間の次元は、の代数的重複度である。^[12] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

概要と定義

通常の固有ベクトルを定義する同等な方法がいくつかあります。^{[13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]} ここでは、×行列の固有値に関連付けられた固有ベクトルは の非ゼロベクトルであり、は×単位行列、は長さのゼロベクトルです。^[21] つまり、は変換の核内にあります。 が線形独立な固有ベクトルを持つ場合、 は対角行列に相似です。つまり、のような可逆行列が存在し、 は相似変換 により対角化可能です。^{[22] [23]} 行列はに対してスペクトル行列と呼ばれます。行列はに対してモーダル行列と呼ばれます。^[24] 対角化可能な行列は、その行列関数が簡単に計算できるため、特に重要です。^[25] ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

一方、線形独立な固有ベクトルが関連付けられていない場合、対角化できません。^{[26] [27]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

定義: ベクトルは行列の階数mの一般化固有ベクトルであり、次の式で表される固有値に対応する。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }$

しかし

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}$ ^[28]

明らかに、階数1の一般化固有ベクトルは通常の固有ベクトルである。^[29] すべての×行列には、線形独立な一般化固有ベクトルが関連付けられており、ジョルダン標準形の「ほぼ対角」行列に類似していることが示される。 ^[30] つまり、となる可逆行列が存在する。^[31]この場合の 行列は、の一般化様相行列と呼ばれる。^[32]が代数的重複度 の固有値である 場合、 はに対応する線形独立な一般化固有ベクトルを持つ。^[33] これらの結果は、 の特定の行列関数を計算するための簡単な方法を提供する。^[34] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

注：体上の行列をジョルダン標準形で表すには、 のすべての固有値が に含まれていなければならない。つまり、特性多項式は完全に線形因子に因数分解できなければならず、は代数的に閉体でなければならない。例えば、 が実数値要素を持つ場合、固有値と固有ベクトルの成分が複素数値 を持つ必要があるかもしれない。^{[35] [36] [37]} ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

与えられたすべての一般化固有ベクトルによって張られる集合は、の一般化固有空間を形成する。^[38] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

例

一般化固有ベクトルの概念を説明するために、いくつかの例を挙げます。詳細については後ほど説明します。

例1

この例は単純ですが、要点を明確に示しています。このタイプの行列は教科書で頻繁に使用されます。^{[39] [40] [41]}

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

そうすると、固有値は 1 つだけとなり、その代数的重複度は となります。 ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle m=2}$

この行列はジョルダン正規形ですが、対角行列ではないことに注意してください。したがって、この行列は対角化できません。上対角要素が1つあるため、階数が1より大きい一般化固有ベクトルが1つ存在します（あるいは、ベクトル空間が2次元であるため、階数が1より大きい一般化固有ベクトルは最大で1つしか存在しないことに注意することもできます）。あるいは、の 零空間の次元を と計算すると、階数が1より大きい一般化固有ベクトルが 存在することになります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle m-p=1}$

通常の固有ベクトルは通常通り計算されます（例については固有ベクトルのページを参照してください）。この固有ベクトルを用いて、一般化固有ベクトルを 次のように 計算します。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

値を書き出す:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

これを単純化すると

${\displaystyle v_{22}=1.}$

元には制約はありません。階数2の一般化固有ベクトルは となり、ここでa は任意のスカラー値を取ることができます。通常、 a = 0を選択するのが最も簡単です。 ${\displaystyle v_{21}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$

ご了承ください

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

これは一般化固有ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

したがって、 は通常の固有ベクトルであり、と は線形独立であるため、ベクトル空間 の基底を構成します。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle V}$

例2

この例は例1よりも複雑です。残念ながら、低次の興味深い例を構築するのは少し難しいです。^[42]行列

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

には、代数的重複度とを伴う固有値と がありますが、幾何学的重複度は、およびです。 ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ ${\displaystyle \mu _{1}=2}$ ${\displaystyle \mu _{2}=3}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

の一般化固有空間は以下のように計算されます。は に関連付けられた通常の固有ベクトルです。は に関連付けられた一般化固有ベクトルです。はに関連付けられた通常の固有ベクトルです。および は に関連付けられた一般化固有ベクトルです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

これにより、 の一般化固有空間のそれぞれに対する基底が得られます。2つの一般化固有ベクトルの鎖を合わせると、すべての5次元列ベクトルの空間が広がります。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

ジョルダン正規形の「ほぼ対角」行列は、次のようにして得られます。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

ここでは の一般化モード行列、の列は の標準基底、 である。^[43] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AM=MJ}$

ジョーダンチェーン

定義：行列と固有値に対応する階数mの一般化固有ベクトル とする 。によって生成される連鎖は、次式で表されるベクトルの集合である。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.}$

1

ここでは常に与えられた固有値 を持つ通常の固有ベクトルである。したがって、一般に、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).}$

2

( 2 )で与えられるベクトルは、固有値に対応する階数jの一般化固有ベクトルである。連鎖とは、線形独立なベクトルの集合である。^[44] ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle \lambda }$

標準的根拠

定義: n個の線形独立な一般化固有ベクトル の集合は、完全にジョルダン連鎖で構成されている場合、標準基底となります。

このように、階数mの一般化固有ベクトルが標準基底にあると判断すれば、ジョルダン連鎖で生成されるm −1個のベクトルも標準基底にあることがわかります。^[45] ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$

を代数的重複度の の固有値とします。まず、行列 の階数（行列階数）を求めます。整数 は、の階数を持つ最初の整数として決定されます（nは の行数または列数、つまりn × nです）。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

定義する

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

変数は、 の標準基底に現れる固有値に対応する階数kの線形独立な一般化固有ベクトルの数を表す。 ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}$。^[46]

一般化固有ベクトルの計算

前のセクションでは、行列に関連付けられたベクトル空間の標準基底の線形独立な一般化固有ベクトルを求める手法を見てきました。これらの手法は、以下の手順にまとめることができます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

固有値とその代数的重複度についての特性方程式を解きます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$

それぞれ ${\displaystyle \lambda _{i}:}$

決定する; ${\displaystyle n-\mu _{i}}$

決定する; ${\displaystyle m_{i}}$

を決定します。 ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$

それぞれのジョーダン連鎖を決定します。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$

例3

マトリックス

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

は代数的重複度 の固有値と代数的重複度 の固有値を持ちます。また も成り立ちます。なぜならが成り立つからです。 ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ ${\displaystyle \mu _{1}=3}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ ${\displaystyle \mu _{2}=1}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}$

の順位を持つ最初の整数は です。 ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$ ${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$ ${\displaystyle m_{1}=3}$

ここで定義する

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}$

その結果、階数3、2、1のそれぞれ1つずつ、3つの線形独立な一般化固有ベクトルが存在することになる。 は3つの線形独立な一般化固有ベクトルの単一の連鎖に対応するので、階数3の一般化固有ベクトルが存在し、 ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} }$

3

しかし

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

4

式（3）と式（4）は、 について解ける線形方程式を表す。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

それから

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

したがって、条件（3）と（4 ）を満たすためには、とが必要となる。とには制約はない。を選択すると、 ${\displaystyle x_{34}=0}$ ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$ ${\displaystyle x_{31}}$ ${\displaystyle x_{32}}$ ${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

に対応する階数3の一般化固有ベクトルとして定義される。ただし、、、およびを異なる値に選ぶことで、階数3の一般化固有ベクトルを無限に得ることが可能であることに注意されたい 。しかしながら、我々の最初の選択は最も単純なものである。^[47] ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ ${\displaystyle x_{31}}$ ${\displaystyle x_{32}}$ ${\displaystyle x_{33}}$ ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$

ここで、式（１ ）を用いて、階数２と階数１の一般化固有ベクトルとして、およびを得る。ここで、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

そして

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

単純固有値は 標準的な手法で扱うことができ、通常の固有ベクトルを持つ。 ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

の標準的な根拠は ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$および はに関連付けられた一般化固有ベクトルであり、はに関連付けられた通常の固有ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

これはかなり単純な例です。一般に、階数を持つ線形独立な一般化固有ベクトルの数は必ずしも等しくありません。つまり、特定の固有値に対応する異なる長さの連鎖が複数存在する可能性があります。^[48] ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle k}$

一般化モーダル行列

をn × n行列とする。一般化様相行列は、 n × n行列であり、その列をベクトルとみなすと、その標準基底を形成し、以下の規則に従って現れる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

• 1 つのベクトル (つまり、長さが 1 つのベクトル) で構成されるすべてのジョルダン連鎖は、 の最初の列に表示されます。 ${\displaystyle M}$
• 1 つのチェーンのすべてのベクトルは、 の隣接する列に一緒に表示されます。 ${\displaystyle M}$
• 各連鎖は昇順で現れる（つまり、ランク1の一般化固有ベクトルは同じ連鎖のランク2の一般化固有ベクトルの前に現れ、ランク2の一般化固有ベクトルは同じ連鎖のランク3の一般化固有ベクトルの前に現れる、など）。^[49] ${\displaystyle M}$

ジョルダン正規形

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\lambda _{1}}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1}}\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{1}1\lambda _{1}}}\lambda _{1}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{2}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\lrcorner }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{2}}}\lambda _{2}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner }}{\color {red}[}\lambda _{3}{\color {red}]}{\hphantom {\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]}}\ddots {\hphantom {\ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{n}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }\\{\hphantom {\llcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{n}}}\lambda _{n}{\color {red}\lrcorner }\end{bmatrix}}}$

ジョルダン正規形の行列の例。
赤いブロックはジョルダンブロックと呼ばれます。

n次元ベクトル空間をL ( V )の線型写像、つまり から 自身へのすべての線型写像の集合をL(V )の線型写像とする。また、をある順序基底に関する行列表現とする。 の特性多項式が線型因数に因数分解されるとき、 は次のような形になることが示される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(\lambda )}$

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}$

ここで、 はの異なる固有値であり、各 は対応する固有値の代数的重複度であり、 はジョルダン標準形の行列に類似しており、各 は対角線上に連続して現れ、各 のすぐ上の要素（つまり、上対角線上）は 0 か 1 です。各ブロックでは、各 の最初の出現の上の要素は常に 0 です（最初のブロックを除く）。上対角線上のその他の要素はすべて 1 です。その他の要素（対角線と上対角線外）はすべて 0 です。（ただし、固有値間、または特定の固有値のブロック間では順序付けは行われません。）この行列は、の対角化にできるだけ近くなります。が対角化可能な場合、対角線より上のすべての要素は 0 です。^[50] 一部の教科書では、 を上対角線上ではなく、下対角線上、つまり主対角線のすぐ下に挙げていることに注意してください。固有値は依然として主対角線上にあります。^{[51] [52]} ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

すべてのn × n行列は、相似変換によって得られるジョルダン正規形の行列に相似であり、ここで はの一般化様相行列である。^[53]（上記の注を参照。） ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

例4

ジョルダン正規形の行列で、次の行列に類似するものを見つけなさい。

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

解答： の特性方程式はなので、 は代数的重複度3の固有値である。前節の手順に従うと、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$ ${\displaystyle \lambda =2}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}$

そして

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

したがって、およびは、の標準基底が階数2の線形独立な一般化固有ベクトル1つと階数1の線形独立な一般化固有ベクトル2つ、あるいはそれと同等の、2つのベクトルの鎖1つと1つのベクトルの鎖1つを含むことを意味する。をとすれば、 ${\displaystyle \rho _{2}=1}$ ${\displaystyle \rho _{1}=2}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

そして

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

ここで、 は の一般化モーダル行列であり、 の列はの標準基底であり、 である。^[54]一般化固有ベクトル自体は一意ではなく、と の列の一部は交換可能であるため、と は一意ではないことに注意すること。^[55] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AM=MJ}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$

例5

例3では、行列 の線形独立な一般化固有ベクトルの標準基底を求めました。 の一般化様相行列は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

ジョルダン正規形の行列は、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

となることによって。 ${\displaystyle AM=MJ}$

アプリケーション

行列関数

正方行列に対して実行できる最も基本的な演算のうち3つは、行列の加算、スカラーによる乗算、行列の乗算である。^{[56]これらはまさに}n × n行列の多項式関数 を定義するために必要な演算である。^{[57]基本的な}微積分学で多くの関数がマクローリン級数として表せること を思い出せば、行列のより一般的な関数をかなり簡単に定義できる。^[58]が対角化可能である 場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

と

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

それから

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

の関数に対するマクローリン級数の計算は大幅に簡素化される。^[59] 例えば、の任意のべき乗kを得るには、 を計算し、を前置乗算し、その結果に を後置乗算するだけでよい。^[60] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D^{k}}$ ${\displaystyle D^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{-1}}$

一般化固有ベクトルを用いると、のジョルダン正規形を得ることができ、これらの結果は非対角化行列の関数を計算する簡単な方法に一般化できる。^[61] （行列関数#ジョルダン分解を参照。） ${\displaystyle A}$

微分方程式

線形常微分方程式系を解く問題を考えてみましょう

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$

5

どこ

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$     そして     ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

行列が対角行列で、に対してとなる場合、システム（5 ）は、次の形をとるn個の方程式のシステムになる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}.}$

6

この場合、一般解は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

一般の場合、系( 5 )を対角化して、以下のように系( 6 )のような系に縮約する。が対角化可能な場合、 となる。ここで はのモード行列である。 を代入すると、式( 5 )は となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$ ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,}$

7

どこ

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} .}$

8

（ ７）の解は

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

（５ ）の解は関係式（８）を用いて得られる。^[62] ${\displaystyle \mathbf {x} }$

一方、が対角化できない場合、の一般化様相行列 をとします。この行列は のジョルダン正規形となります。この系は次の式を持ちます 。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}}$

9

ここで、は の主対角線上の固有値であり、 は の上対角線上の 1 と 0 である。 系 ( 9 ) は ( 5 )より簡単に解けることが多い。 （ 9）の最後の方程式を について解くと、 が得られる。次に、 についてのこの解を（ 9 ）の最後から2番目の方程式に代入し、 について解きます。 この手順を続けて、（ 9 ）を最後の方程式から最初の方程式まで解き、 について系全体を解きます。すると、関係式（8 ）を用いて解が得られます。^[63] ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y_{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

補題:

次のような長さの一般化固有ベクトルの連鎖が与えられる。 ${\displaystyle r,}$

${\displaystyle X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}}$

${\displaystyle X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}}$

${\displaystyle X_{3}=\left({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3}\right)e^{\lambda t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle X_{r}=\left({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+tv_{r-1}+v_{r}\right)e^{\lambda t}}$、

これらの関数は連立方程式を解きます。

${\displaystyle X'=AX.}$

証拠：

定義する

${\displaystyle v_{0}=0}$

${\displaystyle X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}.}$

そして、およびとして、 ${\displaystyle {t^{0}}=1}$ ${\displaystyle 1'=0}$

${\displaystyle X'_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$。

一方、我々は、 ${\displaystyle v_{0}=0}$

${\displaystyle AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=2}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

${\displaystyle =X'_{j}(t)}$

必要に応じて。

注記

1. ブロンソン（1970年、189ページ）
2. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 310)
3. ネリング（1970年、118ページ）
4. ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 316)
5. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 319)
6. ブロンソン（1970年、194～195ページ）
7. ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 311)
8. ブロンソン（1970年、196ページ）
9. ブロンソン（1970年、189ページ）
10. Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 316–318)
11. ネリング（1970年、118ページ）
12. ブロンソン（1970年、196ページ）
13. アントン（1987年、301～302ページ）
14. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 266)
15. Burden & Faires (1993, p. 401)
16. ゴラブとヴァン・ローン (1996、pp. 310–311)
17. ハーパー（1976年、58ページ）
18. ハーシュタイン（1964年、225ページ）
19. クライスツィヒ (1972, pp. 273, 684)
20. ネリング（1970年、104ページ）
21. Burden & Faires (1993, p. 401)
22. Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 270–274)
23. ブロンソン（1970年、179～183ページ）
24. ブロンソン（1970年、181ページ）
25. ブロンソン（1970年、179ページ）
26. Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 270–274)
27. ブロンソン（1970年、179～183ページ）
28. ブロンソン（1970年、189ページ）
29. ブロンソン（1970年、190、202ページ）
30. ブロンソン（1970年、189、203ページ）
31. ブロンソン（1970年、206～207ページ）
32. ブロンソン（1970年、205ページ）
33. ブロンソン（1970年、196ページ）
34. ブロンソン（1970年、189ページ、209～215ページ）
35. ゴラブとヴァン・ローン (1996, p. 316)
36. ハーシュタイン（1964年、259ページ）
37. ネリング（1970年、118ページ）
38. ネリング（1970年、118ページ）
39. ネリング（1970年、118ページ）
40. ハーシュタイン（1964年、261ページ）
41. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 310)
42. ネリング（1970年、122、123ページ）
43. ブロンソン（1970年、189～209ページ）
44. ブロンソン（1970年、194～195ページ）
45. ブロンソン（1970年、196、197ページ）
46. ブロンソン（1970年、197、198ページ）
47. ブロンソン（1970年、190～191ページ）
48. ブロンソン（1970年、197～198ページ）
49. ブロンソン（1970年、205ページ）
50. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 311)
51. カレン（1966年、114ページ）
52. フランクリン（1968年、122ページ）
53. ブロンソン（1970年、207ページ）
54. ブロンソン（1970年、208ページ）
55. ブロンソン（1970年、206ページ）
56. Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 57–61)
57. ブロンソン（1970年、104ページ）
58. ブロンソン（1970年、105ページ）
59. ブロンソン（1970年、184ページ）
60. ブロンソン（1970年、185ページ）
61. ブロンソン（1970年、209～218ページ）
62. Beauregard & Fraleigh (1973、pp. 274–275)
63. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 317)

参考文献

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• アクラー、シェルドン（1997年）『線形代数を正しく理解する』（第2版）シュプリンガー社、ISBN 978-0-387-98258-8。
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• ブロンソン、リチャード（1970）、マトリックス法入門、ニューヨーク：アカデミックプレス、LCCN  70097490
• バーデン、リチャード・L.; フェアーズ、J.ダグラス (1993)、『数値解析』（第5版）、ボストン：プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations、Reading: Addison-Wesley、LCCN  66021267
• フランクリン、ジョエル N. (1968)、「マトリックス理論」、エングルウッドクリフス：プレンティスホール、LCCN  68016345
• ゴルブ、ジーン・H.; ヴァン・ローン、チャールズ・F. (1996)、『行列計算』（第3版）、ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-5414-8
• ハーパー、チャーリー（1976）、数理物理学入門、ニュージャージー：プレンティス・ホール、ISBN 0-13-487538-9
• Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• クレイジグ、エルウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8
• Nering, Evar D. (1970),線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：Wiley、LCCN  76091646

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