一般化された力

Concept in Lagrangian mechanics

解析力学（特にラグランジュ力学）において、一般化力は一般化座標と共役である。一般化力は、一般化座標で定義された構成を持つ系に作用する作用力 F _i , i = 1, …, nから得られる。仮想仕事の定式化において、各一般化力は一般化座標の変分係数である。

仮想作業

一般化された力は、加えられた力の仮想仕事δWを計算することで得られる。^{[1] ：265}

粒子P _i（i = 1, ..., n ）に作用する力F _iの仮想仕事は次のように与えられます。ここで、δ r _iは粒子P _iの仮想変位です。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}$$

一般化座標

各粒子の位置ベクトルr _iを一般化座標q _j（j = 1, ..., m ）の関数とします。すると、仮想変位δ r _iは次のように与えられます。ここで、 δq _jは一般化座標q _jの仮想変位です。 $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}$$

粒子系の仮想仕事はδq _jの係数を次のように 集める。 $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$$ $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\dots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}$$

一般化された力

粒子系の仮想仕事は、一般化座標q _j、j = 1、...、mに関連付けられた一般化力と呼ばれる 形式 で表すことができます。 $${\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\dots +Q_{m}\delta q_{m},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}$$

速度定式化

仮想仕事の原理を適用する場合、系の速度から仮想変位を求めることがしばしば便利である。n粒子系において、各粒子の速度P _{i を}V _iとすると、仮想変位δ r _{i は}^[2]の形で表すこともできる。 $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}$$

これは、一般化された力Q _jも次のように決定できる ことを意味する。 $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールの原理

ダランベールは、粒子の力学を、作用する力と慣性力（見かけの力）の釣り合いとして定式化し、これをダランベールの原理と呼びます。質量m _iの粒子の慣性力P _iは、 A _iを粒子の加速度とすると、次の式で表されます 。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,}$$

粒子系の構成が一般化座標q _j , j = 1, ..., mに依存する場合、一般化慣性力は次のように表される。 $${\displaystyle Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールの仮想仕事の原理の形は、 $${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.}$$

参照

• ラグランジアン力学
• 一般化座標
• 自由度（物理学と化学）
• 仮想作業

参考文献

1. トルビー、ブルース (1984). 「エネルギー法」.エンジニアのための高度ダイナミクス. HRWシリーズ機械工学. アメリカ合衆国: CBSカレッジ出版. ISBN 0-03-063366-4。
2. TR KaneとDA Levinson、「ダイナミクス、理論とアプリケーション」、McGraw-Hill、NY、2005年。

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