一般化ロジスティック分布

Name for several different families of probability distributions

一般化ロジスティック分布という用語は、いくつかの異なる確率分布族の総称として使用されます。例えば、ジョンソンら^[1]は、以下に示す4つの形式を挙げています

タイプIは歪ロジスティック分布とも呼ばれる。タイプIVは他のタイプを包含し、ベータランダム変数にロジット変換を適用することで得られる。対数正規分布の場合と同様の慣例に従い、タイプIVはロジット変換の逆関数である標準ロジスティック関数に言及して、ロジスティックベータ分布^[2]と呼ばれることもある。

一般化ロジスティック分布とも呼ばれる他の分布ファミリーについては、ログロジスティック分布の一般化であるシフトログロジスティック分布、および形状と境界の柔軟性が高く線形最小二乗法を使用してデータに適合できるメタログ（「メタロジスティック」）分布を参照してください。

定義

以下の定義は、ファミリーの標準化されたバージョンであり、位置スケールファミリーとして完全な形式に拡張できます。それぞれは、累積分布関数( F ) または確率密度関数( ƒ )のいずれかを使用して定義され、区間(-∞, +∞)で定義されます

タイプI

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}$

対応する確率密度関数は次のとおりです。

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

このタイプは「歪ロジスティック」分布とも呼ばれます

タイプII

${\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

対応する確率密度関数は次のとおりです。

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

タイプIII

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

ここでBはベータ関数です。このタイプのモーメント生成関数は

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .}$

対応する累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}$

タイプIV

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0\\[4pt]&={\frac {\sigma (x)^{\alpha }\sigma (-x)^{\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$

ここで、Bはベータ関数、は標準ロジスティック関数です。このタイプのモーメント生成関数は ${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .}$

このタイプは「第2タイプの指数一般化ベータ」とも呼ばれます。^[1]

対応する累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}$

タイプ間の関係

タイプIVは分布の最も一般的な形です。タイプIII分布は、タイプIVを固定することで得られます。タイプII分布は、タイプIVを固定することで（そして に名前を変更することで）得られます。タイプI分布は、タイプIVを固定することで得られます。固定すると、標準ロジスティック分布が得られます ${\displaystyle \beta =\alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =1}$

タイプIV（ロジスティックベータ）特性

タイプIV確率密度関数（平均=0、分散=1）

タイプIVの一般化ロジスティック分布、またはロジスティックベータ分布^[2]は、支持パラメータと形状パラメータを持ち、（上に示したように）確率密度関数（pdf）は次のようになります。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}}={\frac {\sigma (x)^{\alpha }\sigma (-x)^{\beta }}{B(\alpha ,\beta )}},}$

ここで、は標準ロジスティック関数です。3つの異なる形状パラメータの集合に対する確率密度関数がプロットに示されています。分布は、形状の比較を容易にするために、平均がゼロで分散が1になるようにスケーリングおよびシフトされています。 ${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$

以下では、表記法を使用してタイプ IV 分布を表します。 ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$

ベータ分布との関係

ロジスティックベータという名前が示すように、パラメータ を伴うロジスティックベータに従う場合、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$

ガンマ分布との関係

この分布はガンマ分布を用いて次のように表すことができます。 とを独立にとし、とします。すると となります。^[3] ${\displaystyle y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\gamma )}$ ${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle x=\ln y-\ln z}$ ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$

対称性

もしならば。 ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle -x\sim B_{\sigma }(\beta ,\alpha )}$

正規分散平均混合表現

ロジスティックベータ分布は、次のような正規分散平均混合表現をとることができる：^[4]

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}}=\int _{0}^{\infty }N(x;0.5\lambda (\alpha -\beta ),\lambda )p_{\text{Polya}}(\lambda ;\alpha ,\beta )d\lambda }$

ここで、 は平均、分散を持つ正規密度であり、はパラメータを持つポリア分布の密度で、 と定義されます。 ${\displaystyle N(x;\mu ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p_{\text{Polya}}(\lambda ;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ ${\displaystyle \lambda {\stackrel {d}{=}}\sum _{k=0}^{\infty }2\epsilon _{k}/\{(k+\alpha )(k+\beta )\},\epsilon _{k}{\stackrel {iid}{\sim }}{\text{Exp}}(1)}$

平均と分散

ガンマ分布の対数期待値を用いると、平均と分散は次のように導かれます

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{E}}[x]&=\psi (\alpha )-\psi (\beta )\\{\text{var}}[x]&=\psi '(\alpha )+\psi '(\beta )\\\end{aligned}}}$

ここで、 はディガンマ関数、 はその一次導関数で、トリガンマ関数、あるいは一次ポリガンマ関数とも呼ばれます。は厳密に増加するなので、平均の符号は の符号と同じです。 は厳密に減少するので、形状パラメータは濃度パラメータとしても解釈できます。実際、以下に示すように、またはが増加すると、それぞれ左側の裾と右側の裾が細くなります。分散の2つの項は、分布の左側と右側の分散への寄与を表しています。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi '=\psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \alpha -\beta }$ ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

キュムラントと歪度

キュムラント生成関数は であり、モーメント生成関数は 上で与えられています。キュムラント、 、 はにおけるの 階微分です ${\displaystyle K(t)=\ln M(t)}$ ${\displaystyle M(t)}$ ${\displaystyle \kappa _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(t)}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\psi ^{(n-1)}(\alpha )+(-1)^{n}\psi ^{(n-1)}(\beta )}$

ここで、およびはそれぞれディガンマ関数とポリガンマ関数です。上記の導出に一致して、最初のキュムラントは平均、2番目のキュムラント は分散です。 ${\displaystyle \psi ^{(0)}=\psi }$ ${\displaystyle \psi ^{(n-1)}}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$

3番目のキュムラント は3番目の中心モーメント であり、これを標準偏差の3乗でスケーリングすると歪度が得られます。 ${\displaystyle \kappa _{3}}$ ${\displaystyle E[(x-E[x])^{3}]}$

${\displaystyle {\text{skew}}[x]={\frac {\psi ^{(2)}(\alpha )-\psi ^{(2)}(\beta )}{{\sqrt {{\text{var}}[x]}}^{3}}}}$

歪度の符号（したがって利き手）は の符号と同じです。 ${\displaystyle \alpha -\beta }$

モード

モード（PDFの最大値）は、対数PDF導関数がゼロになる場所を見つけることで導出できます ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x;\alpha ,\beta )=\alpha \sigma (-x)-\beta \sigma (x)=0}$

これを簡略化すると次の式が得られる：^[3] ${\displaystyle \alpha /\beta =e^{x}}$

${\displaystyle {\text{mode}}[x]=\ln {\frac {\alpha }{\beta }}}$

裾の挙動

裾の比較：タイプIV（平均=0、分散=1）対標準正規分布、対標準コーシー分布

左右の裾のそれぞれにおいて、pdf のシグモイドの 1 つが 1 に飽和し、裾はもう一方のシグモイドによって形成されます。 が大きい負の の場合、pdf の左側の裾は に比例し、右側の裾 (大きい正の) は に比例します。つまり、裾はおよび によって独立に制御されます。タイプ IV の裾は正規分布(分散 の場合 、 )の裾よりも重いですが、タイプ IV の平均と分散はすべての に対して有限のままです。これは、平均と分散が存在しないコーシー分布とは対照的です。ここに示す対数 pdf プロットでは、タイプ IV の裾は線形、正規分布の裾は二次関数、コーシーの裾は対数関数です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma (x)^{\alpha }\approx e^{\alpha x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma (-x)^{\beta }\approx e^{-\beta x}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2v}}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$

指数族の性質

${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$は、自然なパラメータと、十分な統計量とを持つ指数族を形成します。十分な統計量の期待値は、対数正規化子の微分によって求めることができます。^[5] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \log \sigma (x)}$ ${\displaystyle \log \sigma (-x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[\log \sigma (x)]&={\frac {\partial \log B(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\\E[\log \sigma (-x)]&={\frac {\partial \log B(\alpha ,\beta )}{\partial \beta }}=\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )\\\end{aligned}}}$

からIID生成されたと仮定したデータセットの場合、最大尤度パラメータ推定値は次のようになります。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log f(x_{i};\alpha ,\beta )\\=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;\alpha {\Bigl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (x_{i}){\Bigr )}+\beta {\Bigl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (-x_{i}){\Bigr )}-\log B(\alpha ,\beta )\\=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;\alpha \,{\overline {\log \sigma (x)}}+\beta \,{\overline {\log \sigma (-x)}}-\log B(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

ここで、上線は十分統計量の平均値を表しています。最尤推定値は、これらの平均値統計量のみを介してデータに依存します。実際、最尤推定値では期待値と平均値は一致します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ({\hat {\alpha }})-\psi ({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }})&={\overline {\log \sigma (x)}}\\\psi ({\hat {\beta }})-\psi ({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }})&={\overline {\log \sigma (-x)}}\\\end{aligned}}}$

ここで、上記の最大値の偏微分はゼロになります。

他のディストリビューションとの関係

他のディストリビューションとの関係は次のとおりです。

• ガンマ変量の対数比は、上で詳述したようにタイプ IVです。
• ならば、はタイプIV分布（パラメータはおよび ）に従います。ベータプライム分布を参照してください。 ${\displaystyle y\sim {\text{BetaPrime}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x=\ln y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• および （ただしは2番目のガンマ分布の速度パラメータとして使用される）の場合、 は複合ガンマ分布 を持ちます。これは と同じなので、 はタイプIV分布を持ちます。 ${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,1)}$ ${\displaystyle y\mid z\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\text{BetaPrime}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x=\ln y}$
• ならば、 はタイプIV分布（パラメータおよび）に従います。ベータ分布 を参照してください。ロジット関数はロジスティック関数の逆関数です。この関係から、この分布はロジスティックベータと呼ばれます。ロジスティック関数をロジスティックベータ変量に適用すると、変換された分布はベータ分布になります。 ${\displaystyle p\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x={\text{logit}}\,p}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathrm {logit} (p)=\log {\frac {p}{1-p}}}$

大きな形状パラメータ

平均と分散が一致するタイプIV分布と正規分布。 の大きな値の場合、非常にまれな の値を除けば、確率密度関数は非常に似ています ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle x}$

形状パラメータの値が大きい場合、分布はよりガウス分布に近づき、次のようになります。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \gg 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[x]&\approx \ln {\frac {\alpha }{\beta }}\\{\text{var}}[x]&\approx {\frac {\alpha +\beta }{\alpha \beta }}\end{aligned}}}$

これは、ここの PDF および log PDF プロットで実証されています。

ランダム変量生成

ガンマ分布とベータ分布からのランダムサンプリングは多くのソフトウェアプラットフォームで容易に利用できるため、上記の分布との関係を使用して、タイプIV分布から変量を生成することができます

位置とスケールパラメータによる一般化

位置パラメータと尺度パラメータを追加することで、柔軟な4パラメータ族を得ることができます。これを行う1つの方法は、の場合、 とすることです。ここで、は尺度パラメータ、は位置パラメータです。このようにして得られる4パラメータ族は、期待される柔軟性をさらに高めますが、とのため、新しいパラメータの解釈が困難になる可能性があります。さらに、このパラメータ化による最大尤度推定は困難です。これらの問題は、次のように対処できます。 ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle y=kx+\delta }$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta \neq E[y]}$ ${\displaystyle k^{2}\neq {\text{var}}[y]}$

の平均と分散は次の通りであることを思い出してください。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\mu }}&=\psi (\alpha )-\psi (\beta ),&{\tilde {s}}^{2}&=\psi '(\alpha )+\psi '(\beta )\end{aligned}}}$

次に、変換によって、 位置パラメータとスケールパラメータを持つファミリを拡張します。 ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\mu +{\frac {s}{\tilde {s}}}(x-{\tilde {\mu }})\iff x={\tilde {\mu }}+{\frac {\tilde {s}}{s}}(y-\mu )\end{aligned}}}$

となり、 とは解釈可能となる。ただし、 が正または負のいずれかであると仮定しても、上述の対称性のため、この族は一般化されないことに注意する必要がある。この族には という 表記法を採用する。 ${\displaystyle \mu =E[y]}$ ${\displaystyle s^{2}={\text{var}}[y]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y\sim {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

の pdf がの場合、 の pdf は次のようになります。 ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle y\sim {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

${\displaystyle {\bar {f}}(y;\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})={\frac {\tilde {s}}{s}}\,f(x;\alpha ,\beta )}$

ここで、 は の関数として、上で詳述したように計算されることがわかります。キャプションに(平均=0、分散=1)と記載されている上記の pdf および log-pdf プロットはのものです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,\alpha ,\beta ,\mu ,s}$ ${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,0,1)}$

最大尤度パラメータ推定

このセクションでは、データセットが与えられた場合の分布パラメータの最大尤度推定について、ファミリーとについて順に説明します。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

標準タイプIVの最大尤度

上で述べたように、は自然パラメータ を持つ指数族であり、その最大尤度推定値は平均十分統計量のみに依存します。 ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\log \sigma (x)}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (x_{i})&&{\text{and}}&{\overline {\log \sigma (-x)}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (-x_{i})\end{aligned}}}$

これらの統計が蓄積されると、最大尤度推定値は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}=\arg \max _{\alpha ,\beta >0}&\;\alpha \,{\overline {\log \sigma (x)}}+\beta \,{\overline {\log \sigma (-x)}}-\log B(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

パラメータ化とBFGSのような制約のない数値最適化アルゴリズムを用いることで、データセットのサイズに依存しないため、最適化の反復計算は高速化されます。 ${\displaystyle \theta _{1}=\log \alpha }$ ${\displaystyle \theta _{2}=\log \beta }$

代替案としては、との合成に基づくEMアルゴリズムを用いる方法があります。ガンマ分布の自己共役性により、 Eステップに必要な事後期待値、および は閉じた形で計算できます。Mステップパラメータ更新は、ガンマ分布 の最大尤度法と同様に解くことができます 。 ${\displaystyle x-\log(\gamma \delta )\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle e^{x}\mid z\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,z/\delta )}$ ${\displaystyle \left\langle z\right\rangle _{P(z\mid x)}}$ ${\displaystyle \left\langle \log z\right\rangle _{P(z\mid x)}}$

4パラメータ族の最大尤度

pdf を持つの最大尤度問題は次のようになります。 ${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }},{\hat {\beta }},{\hat {\mu }},{\hat {s}}=\arg \max _{\alpha ,\beta ,\mu ,s}\log {\frac {1}{n}}\sum _{i}{\bar {f}}(x_{i};\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

これはもはや指数関数族ではないため、各最適化反復はデータセット全体を走査する必要があります。さらに、偏微分（例えばBFGSで必要とされる）の計算は、上記の2パラメータの場合よりもかなり複雑になります。しかし、すべての構成要素関数は、自動微分機能を備えたソフトウェアパッケージで容易に利用できます。ここでも、正のパラメータを対数でパラメータ化することで、制約のない数値最適化問題を得ることができます。

この問題では、初期の位置パラメータとスケールパラメータが適切に選択されていないと、数値最適化が失敗する可能性があります。しかし、前述のパラメータ化におけるこれらのパラメータの解釈可能性を利用すれば、最適化を行うことができます。具体的には、 と の初期値を、データの経験的平均値と分散に設定することができます。 ${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s^{2}}$

参照

• ロジスティック分布の別の一般化であるシャンパーノウン分布

参考文献

1. Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2 , Wiley. ISBN 0-471-58494-0（140～142ページ）
2. Lee, CJ, Zito, A., Sang, H., & Dunson, DB (2025). ベータ周辺分布を持つ従属ランダム確率のロジスティックベータ過程．ベイズ解析, 1(1), 1-25. https://doi.org/10.1214/25-BA1541
3. Halliwell, LJ (2021). 対数ガンマ分布と非正規誤差. Variance 2(13). https://www.casact.org/abstract/log-gamma-distribution-and-non-normal-error
4. Barndorff-Nielsen, O.、Kent, J.、Sørensen, M. (1982)。正規分散平均混合と Z 分布。国際統計レビュー、145-159。 https://doi.org/10.2307/1402598
5. CMBishop、「パターン認識と機械学習」、Springer 2006年。

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