種数-次数式

古典代数幾何学の定理

古典的な代数幾何学では、種数-次数公式は、次の式によって既約平面曲線の次数とその数論的種数を関連付けます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

ここで「平面曲線」とは、射影平面における閉曲線であることを意味する。曲線が非特異な場合、幾何学的種数と算術的種数は等しいが、曲線が特異な場合（通常の特異点のみを有する場合）、幾何学的種数は小さくなる。より正確には、重複性の通常の特異点は種数を だけ減少させる。^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

モチベーション

楕円曲線は、ワイエルシュトラスの楕円関数によって媒介変数表示されます。これらの媒介変数表示関数は二重周期的であるため、楕円曲線は、辺が貼り合わされた周期平行四辺形、つまりトーラスと同一視できます。したがって、楕円曲線の種数は 1 です。種数-次数公式は、この事実をより高種数の曲線に一般化したものです。基本的な考え方は、より高次の方程式を使用することです。4 次方程式 を考えてみましょう 。が小さい非ゼロの場合には、これは非特異曲線を与えます。しかし、 の場合には、これは既約曲線 (非特異 3 次曲線と直線の和) です。無限遠点を加算すると、3 点で 3 次曲線と交わる直線が得られます。この既約曲線の複雑な図は、3 点で接するトーラスと球のように見えます。ゼロ以外の値に変更すると、接触点がトーラスと球を接続するチューブに開き、トーラスに 2 つのハンドルが追加され、結果として属数 3 の曲線が生成されます。 $${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)+\epsilon x=0.}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ $${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)=0,}$$ ${\displaystyle \varphi }$

一般に、 が次数 の曲線の種数で特異でない曲線である場合、上記と同様に、次数 の曲線と直線の和を - 平滑化することで次数 の特異でない曲線が得られます。直線は 次数 の曲線と点で交わるため、これは 再帰関係 につながります 。この 再帰関係 の解は です。 ${\displaystyle g(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle g(d+1)=g(d)+d-1,\quad g(1)=0.}$$ ${\displaystyle g(d)={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$

証拠

種数-次数公式は随伴公式から証明できる。詳細は随伴公式§曲線への応用を参照のこと。^[2]

一般化

数論的種数の射影空間における次数の非特異超曲面 の場合、式は次のようになります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

ここでは二項係数です。 ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

注記

1. センプル、ジョン・グリーンリーズ、ロス、レナード.代数幾何学入門（1985年版）.オックスフォード大学出版局. pp.  53– 54. ISBN 0-19-853363-2. MR  0814690。
2. 代数幾何学、ロビン・ハーツホーン、Springer GTM 52、 ISBN 0-387-90244-9第5章、例1.5.1

参照

• トム予想

参考文献

• この記事には、Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseに基づいてライセンスされているものの、 GFDLに基づいてライセンスされていないCitizendium の記事「Genus degree formula」の資料が組み込まれています。
• エンリコ・アルバレロ、マウリツィオ・コルナルバ、フィリップ・グリフィス、ジョー・ハリス著『代数曲線の幾何学』第1巻、Springer、ISBN 0-387-90997-4、付録A。
• フィリップ・グリフィスとジョー・ハリス著『代数幾何学の原理』Wiley、ISBN 0-471-05059-8、第2章第1節。
• ロビン・ハーツホーン（1977）：代数幾何学、シュプリンガー、ISBN 0-387-90244-9。
• Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], 「曲線の種数」,数学百科事典, EMS Press

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