幾何標準偏差

Statistical measure

確率論と統計学において、幾何標準偏差（GSD ）は、幾何平均を好ましい平均値とする一連の数値がどの程度広がっているかを表します。このようなデータでは、より一般的な標準偏差よりもGSDが好まれる場合があります。通常の算術標準偏差とは異なり、幾何標準偏差は乗法係数であるため、入力値と同じ次元ではなく無次元です。したがって、幾何標準偏差は、より適切には幾何SD係数と呼ばれます。^{[1] [2]} 幾何SD係数を幾何平均と組み合わせて使用​​する場合は、「（幾何平均を幾何SD係数で割った値）から（幾何平均に幾何SD係数を掛けた値）までの範囲」と説明し、「幾何SD係数」を幾何平均に加算または減算することはできません。^[3]

意味

一連の数値の幾何平均を と表すと、幾何標準偏差は ${\textstyle {A_{1},A_{2},...,A_{n}}}$ ${\textstyle \mu _{\mathrm {g} }}$

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

導出

幾何平均が

$${\displaystyle \mu _{\mathrm {g} }={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}$$

両辺の自然対数をとると、

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$$

積の対数は対数の和である（すべての に対して が正であると仮定）。したがって 、 ${\textstyle A_{i}}$ ${\textstyle i}$

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\left[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}\right].}$$

は集合の算術平均であることが分かるので、この同じ集合の算術標準偏差は ${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$

$${\displaystyle \ln \sigma _{\mathrm {g} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{\mathrm {g} })^{2}}}\,.}$$

これを単純化すると

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

幾何標準得点

標準スコアの幾何学的バージョンは

$${\displaystyle z={{\ln x-\ln \mu _{\mathrm {g} }} \over \ln \sigma _{\mathrm {g} }}=\log _{\sigma _{\mathrm {g} }}\left({x \over \mu _{\mathrm {g} }}\right).}$$

データの幾何平均、標準偏差、Zスコアが分かっている場合、生のスコアは次のように再構成できる。

$${\displaystyle x=\mu _{\mathrm {g} }{\sigma _{\mathrm {g} }}^{z}.}$$

対数正規分布との関係

幾何標準偏差は、幾何平均と同様に、対数正規分布の分散の尺度として使用されます。 ^[3]対数正規分布を対数変換すると正規分布になるため、幾何標準偏差は対数変換された値の標準偏差の指数値、つまり であることがわかります。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp(\operatorname {stdev} (\ln A))}$

したがって、対数正規分布に従う母集団から抽出したデータの標本における幾何平均と幾何標準偏差は、正規分布における算術平均と標準偏差を用いて信頼区間の境界を求めるのと同様に、信頼区間の境界を求めるために用いることができる。詳細については、対数正規分布に関する議論を参照のこと。

参考文献

1. GraphPadガイド
2. Kirkwood, TBL (1993). 「幾何標準偏差 - Bohidarへの返答」. Drug Dev. Ind. Pharmacy 19(3): 395-6.
3. Kirkwood, TBL (1979). 「幾何平均と分散の尺度」.バイオメトリクス. 35 : 908–9 . JSTOR  2530139.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_standard_deviation&oldid=1316221503"