幾何学の基礎

幾何学の基礎とは、幾何学を公理体系として研究することです。ユークリッド幾何学や非ユークリッド幾何学を生み出す公理の集合がいくつかあります。これらは幾何学の基礎であり、歴史的にも重要ですが、この観点から研究できる非ユークリッド幾何学も現代に数多く存在します。公理幾何学という用語は、公理体系から発展したあらゆる幾何学に適用できますが、この観点から研究されるユークリッド幾何学を指す場合が多いです。一般的な公理体系の完全性と独立性は数学的に重要な考慮事項ですが、幾何学の指導に関する問題も関係してきます。

公理系

公理体系とは、古代ギリシャの方法論に基づき、一定の仮定から導かれる数学的真理を確立する方法を形式的に記述したものである。数学のあらゆる分野に適用可能であるが、幾何学は初等数学の中でもこの方法が最も広範囲に成功裏に適用されてきた分野である。^{[ 1 ]}

公理系にはいくつかの構成要素がある。^{[ 2 ]}

1. プリミティブ（未定義の用語）は最も基本的な概念です。通常、プリミティブにはオブジェクトと関係性が含まれます。幾何学において、オブジェクトとは点、直線、平面などを指し、基本的な関係性は、あるオブジェクトが別のオブジェクトと出会ったり結合したりすること、つまり入射関係です 。用語自体は定義されていません。ヒルベルトはかつて、点、直線、平面の代わりに、テーブル、椅子、ビールジョッキについて話すのと同じだと述べました。 ^{[ 3 ]}彼の主張は、プリミティブな用語は単なる空っぽの殻、いわば仮置きであり、固有の特性を持たないということです。
2. 公理（または公理）は、これらの基本図形に関する命題です。例えば、任意の2点はただ1本の直線と交わります（つまり、任意の2点に対して、その2点を通る直線はただ1本だけ存在します）。公理は真であると仮定され、証明されるものではありません。公理は基本図形が持つ性質を規定するため、幾何学的概念の構成要素となります。
3. 論理の法則。
4. 定理^{[ 4 ]}は公理の論理的帰結であり、演繹論理の法則を用いて公理から得られる命題である。

公理体系の解釈とは、その体系の基本要素に具体的な意味を与える特定の方法である。この意味の連想によって、その体系の公理が真となる場合、その解釈はその体系のモデルと呼ばれる。^{[ 5 ]}モデルにおいては、その体系のすべての定理は自動的に真となる。

公理系の性質

公理系を議論する際には、いくつかの性質に焦点が当てられることが多い。^{[ 6 ]}

• 公理体系の公理は、そこから論理的な矛盾が導出されない場合、一貫性があると言われる。最も単純な体系を除いて、一貫性は公理体系において確立するのが難しい性質である。一方、公理体系にモデルが存在する場合、その体系で導出可能なあらゆる矛盾は、そのモデルでも導出可能であり、公理体系は、そのモデルが属するあらゆる体系と同様に一貫性がある。この性質（モデルが存在すること）は、相対的一貫性またはモデル一貫性と呼ばれる。
• 公理系を構成する他の公理から証明または反証できない場合、その公理は独立していると呼ばれます。公理系を構成する各公理が独立している場合、その公理系は独立していると言われます。ある文が真であるならば、その文はその公理系のあらゆるモデルにおいて真となります。ある公理が公理系の他の公理から独立していることを証明するには、残りの公理系の2つのモデルを見つけ、その公理が一方のモデルでは真であり、もう一方のモデルでは偽であるようなモデルを見つければ十分です。教育的観点からは、独立性は必ずしも望ましい特性ではありません。
• 公理体系は、その体系の用語で表現できるすべての命題が証明可能であるか、証明可能な否定を持つ場合、完全であると呼ばれます。言い換えれば、完全な公理体系には、その体系の公理と整合する独立した命題を追加することはできないということです。
• 公理系は、その系の任意の2つのモデルが同型（本質的に、系には1つのモデルしか存在しない）である場合、圏論的である。圏論的系は必然的に完全であるが、完全性は必ずしも圏論性を意味するわけではない。状況によっては、圏論的公理系は一般化できないため、圏論性は望ましくない特性となる。例えば、群論における公理系の価値は、それが圏論的でないことである。したがって、群論における結果を証明することは、その結果が群論のあらゆる異なるモデルにおいて有効であることを意味し、同型でないモデルそれぞれにおいて結果を再証明する必要がない。

ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は、アレクサンドリアのギリシャの数学者ユークリッドに帰せられる数学体系で、彼は幾何学の教科書『原論』の中で（現代の基準では厳密ではないものの）この体系を説明しています。ユークリッドの方法は、直観的に訴える公理の小さな集合を仮定し、そこから他の多くの命題（定理）を演繹するというものです。ユークリッドの結果の多くはそれ以前の数学者によって述べられていましたが、^{[ 7 ]}ユークリッドはこれらの命題が包括的な演繹論理体系にどのように適合するかを初めて示した人物でした。^{[ 8 ]}『原論』は平面幾何学から始まりますが、これは最初の公理体系および最初の形式的証明の例として、現在でも中等学校でも教えられています。それは三次元の立体幾何学へと続きます。『原論』の大部分は、現在では代数学や数論と呼ばれているものの結果を幾何学的な言葉で説明しています。^{[ 7 ]}

2000年以上もの間、「ユークリッド的」という形容詞は不要でした。なぜなら、他の種類の幾何学は考えられていなかったからです。ユークリッドの公理は（おそらく平行線公準を除いて）直感的に明白であったため、そこから証明されるあらゆる定理は絶対的な、しばしば形而上学的な意味で真であるとみなされていました。しかしながら、今日ではユークリッド的ではない多くの幾何学が知られており、最初のものは19世紀初頭に発見されました。

ユークリッドの原論

ユークリッドの『原論』は、古代ギリシャの数学者ユークリッドが紀元前300年頃にアレクサンドリアで著した13巻からなる数学と幾何学の論文である。定義、公理、命題（定理と構成）、命題の数学的証明を集めたものである。13巻はユークリッド幾何学と古代ギリシャ版の初等数論を扱っている。アウトリュコスの『運動球面について』を除けば、『原論』は現存する最古のギリシャ数学論文の一つであり、^{[ 9 ]}現存する最古の数学の公理的演繹的扱いである。それは論理学と現代科学の発展に役立ったことが証明されている。

ユークリッドの『原論』は、これまで書かれた教科書の中で最も成功し^{[ 10 ] [ 11 ]}、最も影響力のあった^{[ 12 ]}教科書として言及されている。1482年にヴェネツィアで初めて活字化されたこの本は、印刷機の発明後に印刷された最古の数学書の一つであり、カール・ベンジャミン・ボイヤーの推定によると、出版された版数は聖書に次いで2番目に多く^{[ 12 ]} 、その数は1000をはるかに超えている^{[ 13 ]} 。何世紀にもわたって、四分法がすべての大学のカリキュラムに含まれていた時代、すべての学生は『原論』の少なくとも一部の知識を求められてきた。20世紀になって初めて、その内容が他の学校の教科書を通じて広く教えられるようになり、教養のある人なら誰でも読んだことがあると考えられるようになった。^{[ 14 ]}

『原論』は主に、幾何学に関する初期の知識を体系化したものであり、その優位性が認識された結果、初期の原論を保存する関心が薄れ、現在ではほぼ全てが失われていると考えられています。

第I巻から第IV巻、および第VI巻では平面幾何学が論じられている。平面図形に関する多くの結果が証明されている。例えば、「三角形の二つの角が等しい場合、それらの角で囲まれる辺は等しい」などである。ピタゴラスの定理も証明されている。^{[ 15 ]}

第5巻と第7巻から第10巻までは数論を扱い、様々な長さの線分として表現することで数を幾何学的に扱います。素数、有理数、無理数などの概念が導入され、素数の無限性が証明されます。

第11巻から第13巻までは立体幾何学に関するものです。典型的な例として、高さと底辺が同じ円錐と円柱の体積比は1:3となります。

平行線公理: 2 本の線が 3 本目の線と交差し、一方の側の内角の合計が 2 つの直角より小さい場合、その線を十分に延長すると、その側で 2 本の線は必然的に交差するはずです。

ユークリッドは『原論』第一巻の冒頭近くで、平面幾何学の5つの公理（公理）を、構成の観点から述べている（トーマス・ヒース訳）。^{[ 16 ]}

「次のことを仮定する」

1. 「任意の点から任意の点まで直線を引くこと。」
2. 「有限の直線を一直線に連続して作る[延長する]こと。」
3. 「任意の中心と距離（半径）を持つ円を描写します。」
4. 「すべての直角は互いに等しい。」
5. 平行線公理：「2 本の直線に接する直線が同じ側の内角を 2 直角より小さくする場合、その 2 本の直線を無限に延長すると、その 2 直角より小さい角度を持つ側で交わる。」

ユークリッドの公理の記述は構成の存在を明示的に主張しているだけですが、それらはまた唯一のオブジェクトを生み出すと想定されています。

『原論』の成功は、主にユークリッドが持っていた数学的知識のほとんどを論理的に提示したことによる。内容の多くはユークリッド独自のものではないが、証明の多くは彼の手によるものとされている。ユークリッドは、少数の公理から深い結果に至るまで、自らの主題を体系的に展開し、そして『原論』全体を通して一貫したアプローチをとったため、約2000年にわたって教科書として用いられてきた。『原論』は今もなお現代の幾何学の教科書に影響を与えている。さらに、その論理的公理的アプローチと厳密な証明は、数学の礎石であり続けている。

ユークリッド批判

数学の厳密さの基準は、ユークリッドが『原論』を著して以来、変化してきた。^{[ 17 ]}公理体系に対する現代の態度や見解から、ユークリッドがその主題へのアプローチにおいて、ある意味でずさんであった、あるいは不注意であったように思われるかもしれないが、これは非歴史的な錯覚である。非ユークリッド幾何学の導入を受けて、その基礎が綿密に検討された後に初めて、今日私たちが欠陥と見なすものが現れ始めたのである。数学者で歴史家のW・W・ラウズ・ボールは、これらの批判を適切な視点から考察し、「[『原論』が] 2000年もの間、この分野の通常の教科書であったという事実は、それがその目的に不適切ではないという強い推定を生じさせる」と述べている。^{[ 18 ]}

ユークリッドのプレゼンテーションにおける主な問題点は次のとおりです。

• 公理体系の発展において定義されないままにしておかなければならない基本的な用語、オブジェクト、概念の概念の認識の欠如。 ^{[ 19 ]}
• いくつかの証明では重ね合わせが使用されているが、この方法の公理的な正当性はない。^{[ 20 ]}
• ユークリッドが構築したいくつかの点と線の存在を証明するために必要な連続性の概念の欠如。^{[ 20 ]}
• 第二公準では直線が無限か境界がないかについて明確ではない。^{[ 21 ]}
• 様々な図形の内側と外側を区別するために使用される媒介の概念の欠如。 ^{[ 22 ]}

ユークリッドの『原論』における公理の一覧は網羅的ではなかったが、最も重要と思われる原理を列挙していた。彼の証明は、しばしば公理の一覧に元々は含まれていなかった公理的概念を援用している。^{[ 23 ]}ユークリッドは、証明に付随する図によってその妥当性が正当化されているように見える暗黙の仮定を用いているため、これによって誤った証明をしてしまうことはない。後の数学者たちはユークリッドの暗黙の公理的仮定を形式公理の一覧に取り入れ、それによってその一覧は大幅に拡張された。^{[ 24 ]}

例えば、ユークリッドは第一巻の最初の構成において、仮定も証明もされていない前提を用いている。それは、半径の距離に中心を持つ二つの円は、二点で交わるというものである。^{[ 25 ]}その後、四番目の構成において、彼は重ね合わせ（三角形を互いの上に重ね合わせる）を用いて、もし二つの辺とその角度が等しいならばそれらは合同であることを証明した。これらの考察において彼は重ね合わせのいくつかの性質を用いているが、これらの性質は論文の中で明示的には説明されていない。もし重ね合わせが幾何学的証明の有効な方法であると考えられるならば、幾何学全体がそのような証明で満たされるであろう。例えば、命題I.1からI.3は重ね合わせを用いることで自明に証明できる。^{[ 26 ]}

ユークリッドの著作におけるこれらの問題に対処するために、後代の著者はユークリッドの表現の穴を埋めようと試みた（これらの試みの中で最も注目すべきものはD. ヒルベルトによるものである）、あるいはGD バーコフが行った ように、さまざまな概念を中心に公理体系を体系化しようとした。

パッシュとペアノ

ドイツの数学者モーリッツ・パッシュ（1843–1930）は、ユークリッド幾何学を確固たる公理的基盤の上に置くという仕事を成し遂げた最初の人である。^{[ 27 ]}パッシュは、1882年に出版した著書『新幾何学のための解説』で、現代の公理的方法の基礎を築いた。彼は原始概念（彼はこれを「ケルンベグリフ」と呼んだ）の概念を生み出し、公理（ケルンゼッツェン）とともに、いかなる直観の影響も受けない形式体系を構築した。パッシュによると、直観が役割を果たすべき唯一の場所は、原始概念と公理がどのようなものであるかを決定するときである。したがって、パッシュにとって点は原始概念であるが、線（直線）はそうではない。なぜなら、点については優れた直観を持っているが、無限直線を見たことも経験したこともないからである。パッシュが代わりに使用する基本的な概念は線分です。

パッシュは、直線上の点の順序（あるいは線分の包含関係と同義）はユークリッドの公理では適切に解決されないことに気づいた。したがって、 2つの線分の包含関係が成り立つならば3つ目の線分の包含関係も成り立つというパッシュの定理は、ユークリッドの公理からは証明できない。関連するパッシュの公理は、直線と三角形の交差関係に関するものである。

パッシュの基礎研究は、幾何学のみならず、より広い数学の文脈において厳密さの基準を打ち立てた。彼の画期的なアイデアは今ではあまりにも当たり前になっているため、その創始者が一人だったことを思い出すのは困難である。パッシュの研究は他の多くの数学者、特にD.ヒルベルトとイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノ（1858-1932）に直接影響を与えた。ペアノの1889年の幾何学に関する研究は、主にパッシュの論文を記号論理（ペアノが発明した）の表記法に翻訳したもので、点と媒介という基本的な概念を用いている。^{[ 28 ]}ペアノは、パッシュが要求した基本的な概念と公理の選択において経験的な結びつきを断ち切った。ペアノにとって、全体の体系は純粋に形式的なものであり、いかなる経験的入力からも切り離されていた。^{[ 29 ]}

ピエリとイタリア幾何学者学派

イタリアの数学者マリオ・ピエリ（1860–1913）は異なるアプローチを取り、点と運動という2つの基本概念のみを持つ体系を考えた。^{[ 30 ]}パッシュは4つの基本概念を用い、ペアノはこれを3つに減らしたが、どちらのアプローチも媒介概念に依存しており、ピエリはこれを運動の定式化に置き換えた。1905年、ピエリは実射影幾何学の構築から始めなかった複素射影幾何学の公理的扱いを初めて示した。

ピエリは、トリノでペアノが集めたイタリアの幾何学者や論理学者のグループの一員だった。助手や若い同僚などからなるこのグループは、ペアノの論理記号学に基づき、幾何学の基礎を確固たる公理的基盤に置くというペアノの論理幾何学的プログラムを実行することに専念していた。ピエリの他に、ブラーリ＝フォルティ、パドア、ファーノがこのグループにいた。 1900 年には、国際哲学会議と第二回国際数学者会議という 2 つの国際会議がパリで立て続けに開催された。このイタリアの数学者のグループはこれらの会議で非常に目立ち、自らの公理的な議題を推し進めていた。^{[ 31 ]}パドアは高く評価された講演を行い、ペアノは、ダフィト・ヒルベルトの未解決問題に関する有名な講演後の質疑応答で、同僚たちがすでにヒルベルトの第二の問題を解いていると述べた。

ヒルベルトの公理

デイヴィッド・ヒルベルト

ゲッティンゲン大学では、1898年から1899年の冬学期に、著名なドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルト（1862年～1943年）が幾何学の基礎に関する講義を行った。フェリックス・クラインの依頼で、ヒルベルト教授は、1899年夏に大学で開催されるCFガウスとヴィルヘルム・ウェーバーの記念碑の除幕式に間に合うように、この講義の講義ノートを書き上げるよう依頼された。講義を再編集したものが、1899年6月に『幾何学の基礎』( Grundlagen der Geometrie )という題で出版された。この本の影響は即座に現れた。エヴェス（1963年、384～385ページ） によると：

ヒルベルトは、ユークリッド自身の精神から大きく逸脱しないユークリッド幾何学の公準集合を展開し、記号表現を最小限に抑えることで、パスクやペアノよりもはるかに多くの数学者たちに、幾何学の純粋な仮説演繹的性質を納得させることに成功した。しかし、ヒルベルトの著作の影響はこれにとどまらず、著者の卓越した数学的権威に支えられ、幾何学のみならず、数学のほぼあらゆる分野に公準的手法をしっかりと根付かせた。ヒルベルトの小著が数学の基礎発展に与えた刺激は、計り知れない。パスクやペアノの著作のような奇妙な記号表現がないため、ヒルベルトの著作は、高校の幾何学を学んだ知的な学生であれば、大部分を読むことができる。

ヒルベルトが使用した公理については、ヒルベルトが何度も変更や修正を加えているため、 『基本原理』の出版履歴を参照せずに特定することは難しい。最初のモノグラフに続いてすぐにフランス語訳が出版され、ヒルベルトはそこで第2章の完全性公理を追加した。ヒルベルトの許可を得て、EJ タウンゼントが英語に翻訳し、1902年に著作権を取得しました。 ^{[ 32 ]}この翻訳ではフランス語訳に加えられた変更が取り入れられているため、第2版の翻訳であると考えられます。ヒルベルトは本文に変更を加え続け、ドイツ語版もいくつか出版されました。第7版はヒルベルトの存命中に出版された最後の版です。第7版の後に新しい版が出版されましたが、本文は基本的に改訂されていません。これらの版での変更は付録と補足にあります。本文の変更はオリジナルと比較すると大きく、タウンゼント訳を出版したオープン コート パブリッシャーズによって新しい英語訳が委託されました。そこで、第2版英語版は、1971年にレオ・ウンガーによって第10版ドイツ語版から翻訳されました。^{[ 33 ]}この翻訳には、ポール・バーネイズによる後のドイツ語版の改訂と増補がいくつか組み込まれています。2つの英語版の違いは、ヒルベルトによる翻訳だけでなく、2人の翻訳者の選択の違いによるものです。以下はウンガー訳に基づいています。

ヒルベルトの公理系は、点、直線、平面、媒介性、 包含、合同という 6 つの基本概念で構成されています。

以下の公理におけるすべての点、線、平面は、特に明記しない限り、区別されます。

I. 発生率

1. 2点AとBのそれぞれに対して、両者を含む直線aが存在します。AB = aまたはBA = aと書きます。 「含む」の代わりに、他の表現を用いることもできます。例えば、「Aはaの上にある」「Aはaの点である」「aはAを通り、 Bを通り抜ける」「aはAとBを結んでいる」などです。Aがa上に位置し、同時に別の直線b上にある場合、「直線aと直線bは点Aを共有する」などという表現も用いられます。
2. どの 2 つの点に対しても、その両方を含む直線は 1 つしか存在しません。したがって、AB = aかつAC = a（ただしB ≠ C ）の場合、 BC = aでもあります。
3. 直線上には少なくとも2つの点が存在します。直線上にない点は少なくとも3つ存在します。
4. 同一直線上にない3点A、B、Cに対して、それらすべてを含む平面 α が存在します。すべての平面には、その平面上に位置する点が存在します。ABC = αと書きます。また、「 A、B、Cは α 内にある」、「A、B、C は α 上の点である」などの表現も用います。
5. 同じ直線上にない3 つの点A、B、Cについては、それらすべてを含む平面は 1 つしか存在しません。
6. 直線aの2点A、Bが平面α上にある場合、直線aのすべての点はα内にあります。この場合、「直線aは平面α上にある」などと言います。
7. 2 つの平面 α、β に共通の点Aがある場合、少なくとも 2 番目の点Bも共通しています。
8. 平面上にない点が少なくとも 4 つ存在します。

II. 順序

1. 点Bが点Aと点Cの間にある場合、点B は点 Cと点 Aの間にもあり、異なる点A、B、Cを含む直線が存在します。
2. AとC が直線上の 2 つの点である場合、 AとCの間には少なくとも 1 つの点Bが存在します。
3. 直線上に位置する 3 つの点のうち、他の 2 つの点の間にあるのは 1 つだけです。
4. パッシュの公理：A、B、Cを同一直線上にない3点とし、平面ABC上にあり、 A、B、Cのいずれの点も通らない直線aとします。このとき、直線aが線分AB上の点を通る場合、線分BC上の点か線分AC上の点のいずれかを必ず通ります。

III. 合同性

1. A、Bが直線a上の2点であり、A′が同一または別の直線a′上の点である場合、直線 a′ 上のA ′の任意の辺上に、線分ABが線分A′B′と合同になるような点B′が必ず見つかります。この関係は、 AB ≅ A′ B′と書くことで示します。すべての線分はそれ自身と合同です。つまり、常にAB ≅ ABが成り立ちます。上記の公理を簡単に述べると、すべての線分は、少なくとも1つの方法で、任意の直線の任意の点の任意の辺に配置できると言えます。
2. 線分ABが線分A′B′と線分A″B″に合同である場合、線分A′B′は線分A″B″と合同です。つまり、AB ≅ A′B′かつAB ≅ A″B″である場合、A′B′ ≅ A″B″です。
3. ABとBCを、点B以外に共通点を持たない直線aの2つの線分とします。さらに、A′B′とB′C′を、同じく点B′以外に共通点を持たない同じ直線a′または別の直線a ′の2つの線分とします。このとき、 AB ≅ A′B′かつBC ≅ B′C′ならば、 AC ≅ A′C′が成立します。
4. 平面 α に角度 ∠ ( h , k ) が与えられ、平面 α′ に直線a′が与えられているとします。また、平面 α′ において、直線a′の特定の辺が割り当てられているとします。この直線の点O′から発する直線a′の光線をh′で表します。すると、平面 α′ には、角度 ∠ ( h , k )、つまり ∠ ( k , h ) が角度 ∠ ( h ′ , k′ ) と合同であり、同時に角度 ∠ ( h′ , k′ ) のすべての内部点がa′の指定された辺上にあるような光線 k′ が 1 つだけ存在します。この関係を表記 ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k ′ )で表します。
5. 角 ∠ ( h , k ) が角 ∠ ( h′ , k′ ) および角 ∠ ( h″ , k″ ) と合同である場合、角 ∠ ( h′ , k′ ) は角 ∠ ( h″ , k″ )と合同です。つまり、 ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) かつ ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ) である場合、 ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ) です。

IV. 類似点

1. （ユークリッドの公理）^{[ 34 ]}任意の直線aと、その上にない点Aとします。すると、平面上には、aとAによって定められ、 Aを通りaと交わらない直線は最大で1本しか存在しません。

V. 継続性

1. アルキメデスの公理。ABとCDが任意の線分である場合、AからBを通る光線に沿ってAから連続して構築されたn個の線分CDが点Bを通過するような数nが存在する。
2. 直線の完全性公理。直線上の点集合を、その順序と合同関係を保ちながら拡張することは不可能である。この拡張は、元の要素間の関係、および公理I～IIIと公理V-1から導かれる直線の順序と合同性の基本的性質を維持する。

ヒルベルトの公理の変化

1899 年のモノグラフがフランス語に翻訳されたとき、ヒルベルトは次のように付け加えた。

V.2完全性公理。点、直線、平面からなる系に、他の要素を加えて一般化した系が5つの公理群すべてに従う新しい幾何学を形成するような方法は不可能である。言い換えれば、5つの公理群を妥当とみなすならば、幾何学の要素は拡張不可能な系を形成する。

この公理はユークリッド幾何学の発展には必要ないが、実数と直線上の点との間の一対一性を確立するために必要である。 ^{[ 35 ]}これはヒルベルトの公理系の一貫性の証明において不可欠な要素であった。

Grundlagenの第 7 版では、この公理は上記の直線完全性公理に置き換えられ、古い公理 V.2 は定理 32 になりました。

1899 年のモノグラフ (タウンゼント訳にも掲載) には次の記述もあります。

II.4.直線上の任意の4点A、B、C、Dは、常にB がAとCの間かつAとDの間にあるようにラベル付けすることができ、さらに、CがAとDの間かつBとDの間にあるようにラベル付けすることができます。

しかし、EHムーアとRLムーアは独立してこの公理が冗長であることを証明し、前者は1902年にアメリカ数学会報に掲載された記事でこの結果を発表しました。 ^{[ 36 ]}ヒルベルトは公理を定理5に移動し、それに応じて公理の番号を変更しました（古い公理II-5（パッシュの公理）はII-4になりました）。

これらの変更ほど劇的ではありませんが、残りの公理のほとんども、最初の 7 版の間に形式や機能が変更されました。

一貫性と独立性

満足のいく公理群の確立を超えて、ヒルベルトは、実数から彼の公理系のモデルを構築することにより、実数論に対する彼のシステムの一貫性も証明した。彼は、検討中の1つの公理以外をすべて満たす幾何学のモデルを構築することにより、彼の公理のいくつかの独立性を証明した。したがって、アルキメデスの公理 V.1 以外をすべて満たす幾何学の例 (非アルキメデス幾何学)、平行公理 IV.1 以外をすべて満たす幾何学の例 (非ユークリッド幾何学) などがある。同じ手法を使用して、彼はまた、いくつかの重要な定理が特定の公理に依存し、他の公理から独立していることを示した。彼のモデルの中には非常に複雑なものもあったため、他の数学者がそれを簡素化しようとした。たとえば、デザルグの定理が特定の公理から独立していることを示すヒルベルトのモデルは、最終的にレイ・モールトンが非デザルグのモールトン平面を発見することにつながった。ヒルベルトによるこれらの研究は、20世紀における抽象幾何学の近代的研究を事実上開始した。^{[ 37 ]}

バーコフの公理

ジョージ・デイヴィッド・バーコフ

1932年、GDバーコフはユークリッド幾何学の4つの公理を考案しました。これらはバーコフの公理とも呼ばれます。 ^{[ 38 ]}これらの公理はすべて、スケールと分度器を用いて実験的に検証できる基本的な幾何学に基づいています。ヒルベルトの総合的なアプローチから根本的に逸脱し、バーコフは実数系の上に幾何学の基礎を築いた最初の人物でした。^{[ 39 ]}この強力な仮定こそが、この体系における公理の数が少ないことを可能にしているのです。

公理

バーコフは、点、直線、距離、角度という4つの定義されていない用語を使用しています。彼の公理は以下のとおりです。^{[ 40 ]}

公理 I: 直線測度の公理。任意の直線上の点A、B 、 ... は実数xと 1:1 対応しており、すべての点Aと 点Bについて| x _B  − x _A | = d( A, B ) が成り立ちます。  

公理 II: 点-直線公理。任意の2つの異なる点Pと Qを含む直線ℓは1本だけ存在する。

公理III：角度測定の公理。任意の点Oを通る直線{ ℓ, m, n , ...}は、実数a  （mod 2 π ）と1:1に対応付けられるため、AとBがそれぞれℓとmの点（ Oと等しくない）である場合、 直線ℓとmに関連付けられた数の差a _m  −  a _ℓ （mod 2π）はAOBです。さらに、 m上の点Bが頂点Oを含まない直線r上で連続的に変化する場合は、数a _mも連続的に変化します。 ${\displaystyle \angle }$

公理IV：相似公理。2つの三角形ABCとA'B'C' において、ある定数k  > 0に対して、d ( A', B' ) =  kd ( A, B )、d ( A', C'  ) =  kd ( A, C )、B'A'C'   = ± BACが成立する場合、d ( B', C'  ) =  kd ( B, C )、C'B'A'   = ± CBA、A'C'B'   = ± ACBが成立する。 ${\displaystyle \angle }$ ${\displaystyle \angle }$ ${\displaystyle \angle }$  ${\displaystyle \angle }$ ${\displaystyle \angle }$ ${\displaystyle \angle }$

学校の幾何学

ジョージ・ブルース・ハルステッド

高校レベルでユークリッド幾何学を公理的な観点から教えることが賢明かどうかは、議論の的となっている。これまで多くの試みがなされてきたが、全てが成功したわけではない。1904年、ジョージ・ブルース・ハルステッドはヒルベルトの公理系に基づいた高校の幾何学の教科書を出版した。^{[ 41 ]}この教科書に対する論理的な批判を受けて、第2版は大幅に改訂された。^{[ 42 ]}ロシアの人工衛星スプートニクの打ち上げを受けて、米国では学校の数学のカリキュラムを改訂する要請がなされた。この努力から、 1960年代に新数学プログラムが生まれた。これを背景に、多くの個人やグループが公理的なアプローチに基づいた幾何学の授業用の教科書を提供し始めた。

マック・レーンの公理

サンダース・マックレーン

数学者のサンダース・マクレーン（1909–2005） ^{[ 43 ]}は1959年に論文を書き、実数を線分と距離関数で関連付けるバーコフの扱い方を参考に、ユークリッド幾何学の公理群を提案した。^{[ 44 ]}これはバーコフの体系を学校レベルの扱いに取り入れた最初の試みではなかった。実際、バーコフとラルフ・ビートリーは1940年に高校の教科書を書いており^{[ 45 ]}、5つの公理と線分と角度の測定方法からユークリッド幾何学を展開していた。しかし、高校の読者に合わせて扱うため、いくつかの数学的・論理的議論は無視されたり、曖昧にされたりした。^{[ 42 ]}

マックレーンの体系には、点、距離、直線、角度の尺度という4つの基本概念（未定義の用語）があります。また、公理は14個あり、距離関数の特性を与えるものが4つ、直線の特性を記述するものが4つ、角度（この扱いでは有向角）を論じるものが4つ、相似公理（本質的にバーコフの公理と同じ）、そしてクロスバー定理とその逆を導くために使用できる連続公理が1つあります。^{[ 46 ]}公理の数が増えることで、展開段階の初期の証明を理解しやすくなるという教育的利点があり、使い慣れた測定基準を使用することで基礎教材を迅速に進めることができ、より「興味深い」側面に早く到達することができます。

SMSG（学校数学研究グループ）の公理

1960年代、アメリカの高校の幾何学の授業に適したユークリッド幾何学の新しい公理系が、学校数学研究グループ（SMSG）によって新数学カリキュラムの一環として導入されました。この公理系は、実数を用いて幾何学の基礎を素早く理解するというバーコフモデルに従っています。しかし、バーコフは使用する公理系の数を最小限にしようとし、また多くの著者が公理系の扱いにおける独立性を重視していたのに対し、SMSGの公理系リストは教育上の理由から意図的に大きく冗長なものになっていました。^{[ 47 ]} SMSGはこれらの公理を使った謄写版印刷のテキストのみを作成したが、 ^{[ 48 ]} SMSGのメンバーであるエドウィン・E・モイゼはこのシステムに基づいて高校のテキストを執筆し、 ^{[ 49 ]}大学レベルのテキストであるモイゼ（1974）では、より洗練された読者のために冗長性の一部を削除し、公理に変更を加えた。^{[ 50 ]}

定義されていない用語が8つあります。点、直線、平面、平面上にある、角度、距離、面積、体積です。このシステムの22の公理には、参照しやすいように個別の名前が付けられています。その中には、定規公理、定規配置公理、平面分離公理、角加公理、辺角公理（SAS）公理、平行線公理（プレイフェアの形式）、カヴァリエリの原理などがあります。^{[ 51 ]}

UCSMP（シカゴ大学数学プロジェクト）公理

新数学カリキュラムの多くは大幅に変更されたり廃止されたりしたが、幾何学の部分はアメリカ合衆国において比較的安定している。現代のアメリカの高校教科書は、SMSGのものと非常によく似た公理系を用いている。例えば、シカゴ大学スクール数学プロジェクト（UCSMP）が作成した教科書は、言語の若干の改訂を除けば、SMSGのシステムとは主に異なるシステムを採用している。それは、「鏡映公理」に基づく変換概念が含まれている点である。 ^{[ 47 ]}

定義されていない用語は、点、直線、平面の3つだけです。「公理」は8つありますが、そのほとんどは複数の部分（このシステムでは一般的に仮定と呼ばれます）から成ります。これらの部分を数えると、このシステムには32の公理があります。公理には、点-直線-平面公理、三角形の不等式公理、距離、角度測定、対応する角度、面積と体積、そして鏡映公理などがあります。鏡映公理は、SMSGシステムのSAS公理の代わりとして用いられます。^{[ 52 ]}

その他のシステム

オズワルド・ヴェブレン（1880 – 1960）は1904年、ヒルベルトとパッシュが用いた「媒介性」の概念を、新たな基本概念である「順序」に置き換えることで、新たな公理体系を提示した。これにより、ヒルベルトが用いたいくつかの基本用語が定義済み実体となり、基本概念の数は点と順序の2つにまで減少した。^{[ 37 ]}

ユークリッド幾何学の公理体系は、長年にわたって数多く提案されてきました。これらの多くを比較した論文は、ヘンリー・ジョージ・フォーダーによる1927年のモノグラフに掲載されています。^{[ 53 ]}フォーダーはまた、異なる体系の公理を組み合わせることで、点と順序という2つの基本概念に基づく独自の解釈を提示しています。また、ピエリの体系（1909年）の一つについて、点と合同という基本概念に基づくより抽象的な解釈も提供しています。^{[ 42 ]}

ペアノに始まり、ユークリッド幾何学の公理的基礎に関する関心が論理学者の間で並行して続いてきた。これは、部分的には、公理を記述するために用いられる記法に見ることができる。ピエリは、幾何学の伝統的な言語で著作を書いていたとしても、常にペアノによって導入された論理記法で考えており、その形式主義を用いて証明方法を検討していると主張した。この種の記法の典型的な例は、EV ハンティントン(1874 - 1952) の研究に見ることができる。ハンティントンは 1913 年^{[ 54 ]}に、球面と包含(一方の球面がもう一方の球面の中に含まれる)という原始的概念に基づく三次元ユークリッド幾何学の公理的扱いを提示した^{[ 42 ]} 。記法以外にも、幾何学の理論の論理構造にも関心が寄せられている。アルフレッド・タルスキは、彼が初等幾何学と呼んだ幾何学の一部が一階論理理論であることを証明した (タルスキの公理を参照)。

ユークリッド幾何学の公理的基礎に関する現代のテキストの扱いは、HGフォーダーとギルバート・デ・B・ロビンソン^{[ 55 ]}のパターンに従っており、彼らは異なる体系の公理を組み合わせ、異なる強調点を生み出している。ベネマ（2006）は、このアプローチの現代的な例である。

非ユークリッド幾何学

数学が科学において果たす役割と科学的知識が私たちの信念すべてに及ぼす影響を考慮すると、数学の本質に関する人間の理解の革命的な変化は、科学、哲学の教義、宗教的・倫理的信念、そして実際にはすべての知的規律に関する理解の革命的な変化を意味しざるを得ない。^{[ 56 ]}

19世紀前半、幾何学の分野において、科学的には天文学におけるコペルニクス的革命に匹敵するほど、哲学的にはダーウィンの進化論に匹敵するほど深遠な影響を与えた革命が起こりました。これは非ユークリッド幾何学の発見によるものでした。^{[ 57 ]}ユークリッドの時代から2000年以上にわたり、幾何学の基盤となる公準は物理空間に関する自明の真理と考えられていました。幾何学者たちは、それらの公準から、誤りの可能性なく、より曖昧な別の真理を演繹できると考えていました。しかし、この見解は双曲幾何学の発展によって支持されなくなりました。今や、自己整合的で観測可能な物理世界と整合する、相容れない二つの幾何学体系（そして後にさらに多くの体系が登場しました）が存在していたのです。「この時点から、幾何学と物理空間の関係に関する議論は、全く異なる観点から進められるようになった。」（Moise 1974、388ページ）

非ユークリッド幾何学を得るには、平行線公理（またはそれと同等のもの）をその否定に置き換える必要がある。プレイフェアの公理形式は複合的な命題（…ただ一つだけ存在する…）であるため、その否定は2つの方法で行うことができる。与えられた直線に平行な直線が点を通り複数存在するか、与えられた直線に平行な直線が点を通り1本も存在しないかのいずれかである。前者の場合、平行線公理（またはそれと同等のもの）を「平面において、点PとPを通らない直線ℓが与えられたとき、Pを通りℓと交わらない2本の直線が存在する」という命題に置き換え、他のすべての公理を維持すると、双曲幾何学が得られる。^{[ 58 ]}後者の場合はそれほど簡単には扱えない。平行線公理を「平面において、点PとPを通らない直線ℓが与えられたとき、Pを通るすべての直線はℓと交わる」という命題に単に置き換えるだけでは、一貫した公理集合は得られない。これは絶対幾何学において平行線が存在することから導かれる^{[ 59 ]}が、この主張は平行線が存在しないということを意味する。この問題は（別の形で）カヤム、サッケリ、ランバートにも知られており、彼らが「鈍角の場合」として知られるものを否定する根拠となった。平行線が存在しないというこの公理を含む一貫した公理系を得るためには、他の公理のいくつかを微調整する必要がある。必要な調整は、使用する公理系に依存する。とりわけ、これらの微調整はユークリッドの第二公準を「線分は無限に延長できる」という主張から「線分は無限である」という主張へと修正する効果を持つ。この公理を満たす最も自然な幾何学として、 リーマンの楕円幾何学が浮かび上がる。

「非ユークリッド幾何学」という用語を作ったのはガウスである。 ^{[ 60 ]}彼は自身の未発表の研究を指しており、今日では双曲幾何学と呼ばれている。多くの著者は今でも「非ユークリッド幾何学」と「双曲幾何学」を同義語とみなしている。1871年、フェリックス・クラインはアーサー・ケイリーが1852年に論じた計量を応用することで、計量の性質を射影的な設定に持ち込み、双曲幾何学、ユークリッド幾何学、楕円幾何学の扱いを射影幾何学の傘の下に統一することに成功した。^{[ 61 ]}クラインは「双曲型」と「楕円型」という用語を生み出した（彼の体系ではユークリッド幾何学を「放物型」と呼んだが、この用語は時の試練に耐えられず、今日ではいくつかの分野でのみ使用されている）。彼の影響により、「非ユークリッド幾何学」という用語が「双曲型」または「楕円型」幾何学の意味で一般的に使用されるようになった。

数学者の中には、「非ユークリッド」と呼ぶべき幾何学のリストを様々な形で拡張しようとする者もいます。他の分野、特にクラインの影響がそれほど強くなかった数理物理学では、「非ユークリッド」という用語はユークリッド的ではないという意味で使われることが多いです。

ユークリッドの平行線公理

2000年の間、ユークリッドの最初の4つの公準を用いて平行線公準を証明しようとする試みが数多くなされました。このような証明がこれほどまでに求められた理由の一つとして、最初の4つの公準とは異なり、平行線公準は自明ではないことが挙げられます。『原論』に列挙された公準の順序に意味があるとすれば、ユークリッドがこの公準を証明できない、あるいはこれなしでは先に進めないと悟った場合にのみ、この公準を含めたということになります。^{[ 62 ]}第5公準を他の4つの公準から証明しようとする試みは数多くなされ、その多くは誤りが発見されるまで長きにわたり証明として受け入れられていました。誤りは必ずと言っていいほど、ある「自明な」性質を仮定していたことであり、それが後に第5公準と等価であることが判明しました。最終的に、この公準は他の4つの公準からは証明できない可能性があることが判明しました。Trudeau (1987 , p. 154) によると、平行線公準（公準5）に関する以下の意見は印刷物にも記載されています。

明らかに最初にこの理論を提唱したのは、ゲッティンゲン大学の博士課程学生であったGSクルーゲル（1739–1812）で、師であるAGケストナーの支援を受け、1763年の学位論文「Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio（平行線理論の実証における最も著名な試みのレビュー）」の中で述べられました。この論文でクルーゲルは、公準5を証明しようとする28の試み（サッケリのものも含む）を検討し、いずれも不十分であると結論付け、公準5は証明不可能であり、人間の感覚による判断のみによって裏付けられているとの見解を示しました。

19世紀初頭、非ユークリッド幾何学の創造において、ついに決定的な一歩が踏み出された。1813年頃、カール・フリードリヒ・ガウスが、また1818年頃には独立してドイツの法学教授フェルディナント・カール・シュバイカート^{[ 63 ]}が非ユークリッド幾何学の萌芽的なアイデアを考案したが、両者ともその結果を発表することはなかった。その後、1830年頃、ハンガリーの数学者ヤーノシュ・ボヤイとロシアの数学者ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーがそれぞれ、今日双曲幾何学と呼ばれる分野に関する論文を発表した。結果として、双曲幾何学はボヤイ＝ロバチェフスキー幾何学と呼ばれるようになった。これは、両数学者が互いに独立して、非ユークリッド幾何学の基本的な著者であるためである。ガウスはボヤイの父に、弟のボヤイの研究を見せた際、数年前にそのような幾何学を開発したが^{[ 64 ]}出版はしなかったと語った。ロバチェフスキーが平行線公理を否定することで非ユークリッド幾何学を生み出したのに対し、ボヤイはパラメータkに依存してユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方が可能な幾何学を考案した。ボヤイは、数学的推論だけでは物理的宇宙の幾何学がユークリッド幾何学か非ユークリッド幾何学かを決定することは不可能であり、これは物理科学の課題であると述べてその研究を締めくくっている。平行線公理がユークリッドの他の公理から独立していることは、 1868年にエウジェニオ・ベルトラミによって最終的に証明された。 ^{[ 65 ]}

平行線公理の様々な証明の試みは、平行線公理と等価な定理の長いリストを生み出した。ここでの等価性とは、幾何学の他の公理が存在する限り、これらの定理のそれぞれが真であると仮定でき、平行線公理はこの変更された公理のセットから証明できることを意味する。これは論理的等価性とは異なる。^{[ 66 ]}ユークリッド幾何学の異なる公理のセットでは、これらのいずれもユークリッド平行線公理に置き換えることができる。^{[ 67 ]}以下の部分的なリストは、歴史的に興味深いこれらの定理のいくつかを示している。^{[ 68 ]}

1. 平行な直線は等距離です。（ポセイドニオス、紀元前1世紀）
2. 与えられた直線から等距離にある、その直線の任意の側にあるすべての点は、直線を構成します。(クリストフ・クラヴィウス、1574)
3. プレイフェアの公理。平面上では、ある点を通る直線と平行に引ける直線は、最大でも1本しかない。（プロクロス、5世紀。18世紀後半のジョン・プレイフェアによって普及した。）
4. すべての三角形の角度の合計は180°である（ジェロラモ・サッケリ、1733年；アドリアン・マリー・ルジャンドル、19世紀初頭）
5. 角度の合計が180°になる三角形が存在します。（ジェロラモ・サッケリ、1733年；アドリアン・マリー・ルジャンドル、19世紀初頭）
6. 相似だが合同ではない三角形のペアが存在します。(ジェロラモ・サッケリ、1733)
7. すべての三角形は外接することができます。（アドリアン・マリー・ルジャンドル、ファルカス・ボヤイ、19世紀初頭）
8. 四辺形の3つの角が直角であれば、4番目の角も直角です。（アレクシ＝クロード・クレロー、1741年；ヨハン・ハインリヒ・ランバート、1766年）
9. すべての角が直角である四辺形が存在します。（ジェララモ・サッケリ、1733）
10. ウォリスの公理。与えられた有限直線上には、与えられた三角形に相似な三角形を常に作図することができる。（ジョン・ウォリス、1663年；ラザール＝ニコラ＝マルグリット・カルノー、1803年；アドリアン＝マリー・ルジャンドル、1824年）
11. 三角形の面積には上限はありません。（カール・フリードリヒ・ガウス、1799年）
12. サッケリ四角形の頂点の角度は 90°です。 （ゲララモ・サッケリ、1733）
13. プロクロスの公理。ある直線が、元の直線と同一平面上にある2本の平行線のうちの1本と交差する場合、その直線はもう1本の直線とも交差する。(プロクロス、5世紀)

中立（または絶対）幾何学

絶対幾何学は、平行線公理やその代替公理を除いたユークリッド幾何学を与えるすべての公理からなる公理系に基づく幾何学である。 ^{[ 69 ]}この用語は1832年にヤノシュ・ボヤイによって導入された。 ^{[ 70 ]}平行線公理に関して中立であるため 、^{[ 71 ]}中立幾何学と呼ばれることもある。

他の幾何学との関係

ユークリッドの『原論』では、最初の28の命題と命題I.31は平行線公準の使用を避けており、したがって絶対幾何学において有効な定理である。^{[ 72 ]} 命題I.31は、平行線の存在を（構成によって）証明している。また、三角形の内角の和は最大で180°であるというサッケリ＝ルジャンドルの定理も証明できる。

絶対幾何学の定理はユークリッド幾何学だけでなく双曲幾何学でも成り立つ。^{[ 73 ]}

絶対幾何学は楕円幾何学と矛盾します。楕円幾何学には平行線が全く存在しませんが、絶対幾何学には平行線が存在します。また、楕円幾何学では、どの三角形の角度の和も180°を超えます。

不完全さ

論理的には、公理系は完全な理論を形成しない。なぜなら、公理系に矛盾を生じさせることなく、独立した公理系を追加することができるからである。平行性に関する異なる公理系を追加することで絶対幾何学を拡張し、両立しないものの一貫性のある公理系を得ることができ、ユークリッド幾何学と双曲幾何学が生じる。したがって、絶対幾何学のすべての定理は、双曲幾何学とユークリッド幾何学の定理である。しかし、逆は成り立たない。また、絶対幾何学は同型ではないモデルを持つため、圏論的理論ではない。^{[ 74 ]}

双曲幾何学

双曲幾何学（ロバチェフスキー幾何学またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学とも呼ばれる）への公理的アプローチでは、絶対幾何学を与える公理にもう一つの公理が加えられる。この新しい公理はロバチェフスキーの平行線公理（双曲幾何学の特性公理とも呼ばれる）である。^{[ 75 ]}

与えられた直線上にない点を通る場合、（この点と直線によって決まる平面上に）与えられた直線と交わらない直線が少なくとも 2 つ存在します。

この追加により、公理システムが完成しました。

新しい公理は 2 本の直線の存在のみを主張していますが、与えられた点を通り、その直線と交わらない直線が無数に存在することは容易に立証されます。この多さを考えると、この設定では用語に注意する必要があります。「平行線」という用語は、ユークリッド幾何学で持っていた唯一の意味を持たなくなるためです。具体的には、P を与えられた直線 上にない点とします。PAをPからに引いた垂線(点Aで交わる) とします。Pを通る直線は、交わる直線と交わらない直線の 2 種類に分類されます。双曲幾何学の特性公理では、後者の種類の直線が少なくとも 2 本あるとされています。交わらない直線の中には、( PAの各側に) PAと最小の角度をなす直線が存在します。これらの直線は、 P を通る交わらない最初の直線と呼ばれることもあり、極限直線、漸近直線、平行直線 (この最後の用語が使用される場合、これらが唯一の平行線です)など様々に呼ばれます。Pを通る交わらない他のすべての直線は、交差しない直線または超平行直線と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

双曲幾何学とユークリッド幾何学はどちらも絶対幾何学の公理に基づいているため、多くの性質と命題を共有しています。しかし、ユークリッド幾何学の平行線公理を双曲幾何学の特性公理に置き換えると、劇的な結果が生じる可能性があります。そのいくつかを挙げてみましょう。

双曲幾何学におけるランベルト四辺形

• ランベルト四辺形は、3つの直角を持つ四辺形です。ランベルト四辺形の4番目の角は、双曲幾何学の場合は鋭角、ユークリッド幾何学の場合は直角です。さらに、長方形はユークリッド幾何学においてのみ存在し得ます（これは平行線公理と等価です）。
• サッケリ四辺形は、底辺と呼ばれる辺に垂直で、長さが等しい2辺を持つ四辺形です。サッケリ四辺形の他の2つの角は頂角と呼ばれ、大きさが等しくなります。サッケリ四辺形の頂角は、双曲幾何学の場合は鋭角、ユークリッド幾何学の場合は直角です。
• 三角形の内角の和は、その幾何学が双曲幾何学の場合180°未満、ユークリッド幾何学の場合180°に等しくなります。三角形の偏角は数値（180° - 三角形の内角の和）で表されます。この結果は、双曲幾何学における三角形の偏角は正であり、ユークリッド幾何学における三角形の偏角はゼロであるとも言えます。
• 双曲幾何学における三角形の面積は有限ですが、ユークリッド幾何学では、任意の大きさの面積を持つ三角形が存在します。
• 与えられた直線から同じ側に等距離にある点の集合は、ユークリッド幾何学では直線を形成しますが、双曲幾何学では直線にはなりません（超サイクルを形成します）。

ユークリッド幾何学が唯一の「真の」幾何学であるという立場の支持者たちは、1868年に出版された回想録「定曲率空間の基礎理論」^{[ 76 ]}の中で、エウジェニオ・ベルトラミが双曲幾何学とユークリッド幾何学の等式が任意の次元に対して一致するという抽象的な証明を与えたことで挫折を味わった。彼は、現在ベルトラミ・クラインモデル、ポアンカレ円板モデル、ポアンカレ半平面モデルとして知られるいくつかの非ユークリッド幾何学のモデルと、それらを関連付ける変換を導入することでこれを達成した。半平面モデルについては、ベルトラミはモンジュの微分幾何学に関する論文にあるリウヴィルの注釈を引用した。ベルトラミはまた、n次元ユークリッド幾何学が( n  +1)次元双曲空間のホロスフィア上で実現され、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の一貫性の論理関係が対称的であることを示した。

楕円幾何学

ユークリッド平行線公理を修正するもう一つの方法は、平面上に平行線が存在しないと仮定することです。双曲幾何学の場合のように新しい公理を一つ追加するだけで済むのとは異なり、この命題を絶対幾何学の公理に新しい公理として追加しても、一貫した体系を得ることはできません。これは、絶対幾何学において平行線が証明可能であることから明らかです。他の公理も変更する必要があります。

ヒルベルトの公理から始めて、必要な変更はヒルベルトの4つの順序公理を削除し、新しい未定義の関係に関係する7つの分離公理に置き換えることを伴う。^{[ 77 ]}

4点A、B、C、Dの間には定義されていない（原始的な）関係があり、 ( A、C | B、D )と表記され、「AとCはBとDを隔てる」と読みます。^{[ 78 ]}これは以下の公理を満たします。

1. ( A、B | C、D ) の場合、点A、B、C、Dは同一線上にあり、それぞれ異なります。
2. ( A、B | C、D ) の場合、 ( C、D | A、B ) かつ ( B、A | D、C ) となります。
3. ( A、B | C、D ) の場合、 ( A、C | B、D ) ではありません。
4. 点A、B、C、Dが同一線上にあり、かつ異なる場合、 ( A、B | C、D ) または ( A、C | B、D ) または ( A、D | B、C ) となります。
5. 点A、B、Cが同一線上にあり、かつ異なる場合、( A、B | C、D )となる点Dが存在します。
6. 任意の 5 つの異なる共線上の点A、B、C、D、Eについて、 ( A、B | D、E ) であれば、 ( A、B | C、D ) または ( A、B | C、E ) のいずれかになります。
7. 視点は分離を維持します。

ヒルベルトの「媒介性」の概念は削除されたため、その概念を使用して定義された用語は再定義する必要があります。^{[ 79 ]}したがって、絶対幾何学において点Aと点B 、およびAとBの間にあるすべての点として定義される線分ABは、再定義する必要があります。この新しい幾何学における線分は、3つの同一直線上の点A、B、Cによって決定され、それら3点と、 AとCによってBから隔てられていないすべての点で構成されます。さらに、2つの点が線分を一意に決定しないため、3つの非同一直線上の点が三角形を一意に決定せず、三角形の定義を再定義する必要があります。

これらの概念が再定義されると、絶対幾何学の他の公理（入射、合同、連続）はすべて意味を成すため、そのまま残されます。平行線の非存在に関する新しい公理と合わせて、新しい幾何学を与える一貫した公理体系が得られます。結果として得られる幾何学は、（平面）楕円幾何学と呼ばれます。

ユークリッド幾何学、楕円幾何学、双曲幾何学におけるサッケリ四辺形

楕円幾何学はユークリッド幾何学や双曲幾何学のように絶対幾何学の拡張ではないものの、これら3つの幾何学の命題には、フェリックス・クラインが指摘したより深い繋がりを反映した、ある種の「対称性」が存在します。この性質を示す命題には、以下のようなものがあります。

• ランバート四辺形の 4 番目の角は、楕円幾何学における鈍角です。
• 楕円幾何学では、サッケリ四辺形の頂点の角は鈍角になります。
• 三角形が楕円形の場合、その三角形の角の大きさの和は180°より大きい。つまり、三角形の欠陥は負である。 ^{[ 80 ]}
• 楕円幾何学では、与えられた直線に垂直なすべての直線は、直線の極と呼ばれる共通点で交わります。双曲幾何学ではこれらの直線は互いに交差しませんが、ユークリッド幾何学では互いに平行です。

外角定理などの他の結果は、楕円幾何学と絶対幾何学の拡張である幾何学との違いを明確に強調しています。

球面幾何学

その他の形状

射影幾何学

アフィン幾何学

整列した幾何学

絶対幾何学は順序幾何学の拡張であり、したがって順序幾何学のすべての定理は絶対幾何学でも成立する。逆は成り立たない。絶対幾何学はユークリッドの公理の最初の4つ（またはそれらと同等のもの）を前提としており、アフィン幾何学はユークリッドの3番目と4番目の公理を前提としていない。順序幾何学は絶対幾何学とアフィン幾何学の共通の基礎である。^{[ 81 ]}

有限幾何学

参照

• 座標フリー
• 合成幾何学

注記

1. ベネマ 2006、17ページ
2. ワイリー 1964、8ページ
3. グリーンバーグ 2007、59ページ
4. この文脈では、定理の異なるカテゴリを区別しません。命題、補題、系などはすべて同様に扱われます。
5. ベネマ 2006、19ページ
6. フェイバー 1983、pp. 105-8
7. イブス 1963、19ページ
8. イブス 1963、10ページ
9. Boyer (1991)、「アレクサンドリアのユークリッド」『数学史』 p. 101、アウトリュコスの球面を除けば、ユークリッドの現存する著作は現存する最古のギリシャ数学論文である。しかし、ユークリッドの著作の半分以上は失われている。
10. ナイジェル・ガイ・ウィルソン著『古代ギリシャ百科事典』（2006年）、278ページ。ラウトレッジ・テイラー・アンド・フランシス・グループ刊。引用：「ユークリッドの『原論』はその後、ローマ時代やビザンチン時代だけでなく、20世紀半ばまであらゆる数学教育の基礎となり、史上最も成功した教科書と言えるだろう。」
11. Boyer (1991)、「アレクサンドリアのユークリッド」、数学史、p. 100、学校の教師として彼は一流の学者集団を名乗ったが、その中には史上最も成功した数学の教科書である『ユークリッド原論』（ストイキア）の著者もいた。
12. Boyer (1991)、「アレクサンドリアのユークリッド」『数学史』 p. 119、 「ユークリッド原論」は、現代に伝わるギリシャ最古の主要な数学書であるだけでなく、歴史上最も影響力のある教科書でもあります。[...]『原論』の最初の印刷版は1482年にヴェネツィアで出版され、活字化された数学書の中でも最古のものの一つです。それ以来、少なくとも1000版が出版されたと推定されています。おそらく聖書以外でこれほど多くの版を誇る書物はないでしょうし、ユークリッドの『原論』に匹敵する影響力を持った数学書も他にないでしょう。
13. ルーカス・ニコラス・ヘンドリック・バント、フィリップ・S・ジョーンズ、ジャック・D・ベディエント著『初等数学の歴史的ルーツ』（1988年）、142ページ。ドーバー出版。引用：「『原論』はアラブ人とムーア人を通じて西ヨーロッパに知られるようになった。そこで『原論』は数学教育の基礎となった。『原論』は1000以上の版が知られている。おそらく、聖書に次いで西洋文明において最も広く普及した書物であろう。」
14. ルイス・キャロル著『ユークリッドとその現代のライバルたち』（2009年、バーンズ＆ノーブル）28ページ、アミット・ハガーによる序文より

    18世紀、幾何学は英国紳士の標準教育に欠かせないものとして登場しました。ビクトリア朝時代には、職人、公立学校の児童、植民地臣民、そしてやや程度は低いものの女性の教育でも重要な位置を占めるようになりました。…この目的のための標準的な教科書は、他でもないユークリッドの『原論』でした。

15. ユークリッド、第1巻、命題47
16. ヒース 1956、pp. 195-202（第1巻）
17. ベネマ 2006、11ページ
18. ボール 1960、55ページ
19. ワイリー 1964、39ページ
20. フェイバー 1983、p. 109
21. フェイバー 1983、113ページ
22. フェイバー 1983、115ページ
23. ヒース 1956、p. 62（第1巻）
24. グリーンバーグ 2007、57ページ
25. ヒース 1956、p. 242（第1巻）
26. ヒース 1956、p. 249（第1巻）
27. イブス 1963、380ページ
28. ペアノ 1889
29. イブス 1963、382ページ
30. イブス 1963、383ページ
31. ピエリはシチリア島に引っ越したばかりだったので出席しなかったが、哲学会議で発表した論文は持っていた。
32. ヒルベルト 1950
33. ヒルベルト 1990
34. これはヒルベルトの用語です。この命題は、より一般的にはプレイフェアの公理として知られています。
35. イブス 1963、386ページ
36. ムーア, EH (1902)、「幾何学の射影公理について」アメリカ数学会誌、3 (1): 142–158、doi : 10.2307/1986321、JSTOR 1986321 
37. イブス 1963、387ページ
38. バーコフ、ジョージ・デイヴィッド(1932)、「平面幾何学の公理」、Annals of Mathematics、33 (2): 329– 345、doi : 10.2307/1968336、hdl : 10338.dmlcz/147209、JSTOR 1968336 
39. ベネマ 2006、400ページ
40. ベネマ 2006、400～401ページ
41. Halsted, GB (1904)、Rational Geometry、ニューヨーク：John Wiley and Sons、Inc.
42. イブス 1963、388ページ
43. 彼の数々の業績の中でも、彼は（サミュエル・アイレンバーグと）カテゴリー理論の共同創始者です。
44. Mac Lane, Saunders (1959)、「平面幾何学における計量公理」、American Mathematical Monthly、66 (7): 543– 555、doi : 10.2307/2309851、JSTOR 2309851 
45. バーコフ、GD; ビートリー、R. (1940)、『基本幾何学』、シカゴ：スコット・フォレスマン・アンド・カンパニー[第3版の再版：アメリカ数学会、2000年。ISBN 978-0-8218-2101-5]
46. ベネマ 2006、401～402ページ
47. ベネマ 2006、55ページ
48. School Mathematics Study Group (SMSG) (1961)、『幾何学、パート1および2（学生用テキスト）』、ニューヘイブンおよびロンドン：イェール大学出版局
49. モイゼ、エドウィン E.; ダウンズ、フロイド L. (1991) 『幾何学』、マサチューセッツ州リーディング：アディソン・ウェズリー
50. ベネマ 2006、403ページ
51. ベネマ 2006、403～404ページ
52. ベネマ 2006、405～7ページ
53. Forder, HG (1927)、「ユークリッド幾何学の基礎」、Nature、123 (3089)、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局：44、Bibcode：1928Natur.123...44.、doi：10.1038/123044a0、S2CID 4093478 （ドーバー社、1958年再版）
54. ハンティントン、EV（1913）、「包含関係の単純な関係で表現された抽象幾何学の公理の集合」、Mathematische Annalen、73（4）：522– 559、doi：10.1007 / bf01455955、S2CID 119440414 
55. ロビンソン、G. de B.（1946）、幾何学の基礎、数学解説第1号（第2版）、トロント：トロント大学出版局
56. クライン、モリス（1967年）、非数学者のための数学、ニューヨーク：ドーバー、  p.474、ISBN 0-486-24823-2
57. グリーンバーグ 2007、1ページ
58. 仮定されている線は 2 本だけですが、そのような線は無限に存在するはずであることが簡単に示されます。
59. ユークリッド原論第1巻命題27
60. フェリックス・クライン『初等数学入門：幾何学』ドーバー社、1948年（1940年第3版の英訳の再版。ドイツ語初版は1908年）176ページ
61. F. Klein、Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie、 Mathematische Annalen、 4 (1871)。
62. Florence P. Lewis (1920年1月)、「平行線公準の歴史」、アメリカ数学月刊、27 (1)、アメリカ数学月刊、第27巻、第1号: 16– 23、doi : 10.2307/2973238、JSTOR 2973238。 
63. 1818年12月の手紙の中で、フェルディナント・カール・シュヴァイカート（1780–1859）は非ユークリッド幾何学に関するいくつかの洞察を概説した。この手紙は1819年にガウスの元弟子であるゲルリングによってガウスに転送された。ゲルリングへの返信の中で、ガウスはシュヴァイカートを称賛し、自身の非ユークリッド幾何学に関する初期の研究について言及した。
64. 1832年3月6日付のヴォルフガング（ファルカス）・ボヤイ宛の手紙の中で、ガウスはこの問題に30年から35年かけて取り組んだと主張している（ Faber 1983 , p. 162）。1824年にタウリヌス宛に書いた手紙（ Faber 1983 , p. 158）では、30年以上この問題に取り組んできたと主張し、実際に細部を解明したことを示すのに十分な詳細を提供した。Faber（1983 , p. 156）によると、ガウスが新しい幾何学の存在を認めたのは1813年頃になってからだった。
65. Beltrami、Eugenio (1868) "Teoria Fondamentale degli spazî di curvaturacostante"、 Annali di Matematica Pura et Applicata、シリーズ II 2 :232–255。
66. 論理的等価性の適切な例は、プレイフェアの公理とユークリッド I.30 に示されている (プレイフェアの公理#平行性の推移性を参照)。
67. たとえば、ヒルベルトはプレイフェアの公理を使用し、バーコフは相似だが合同ではない三角形に関する定理を使用します。
68. 出典はTrudeau 1987、pp. 128–9による。
69. ユークリッド幾何学には、ヒルベルトの公理やその他現代的な同等の公理など、完全な公理系を用いるべきである（ Faber 1983、p. 131）。ユークリッドの公理系は曖昧で不完全であり、ユークリッド幾何学の基礎とはならない。
70. 「空間の絶対科学を示す付録：ユークリッドの公理XIの真偽とは無関係（決して以前に決定されたものではない）」（ Faber 1983、p.161）
71. グリーンバーグは、W・プレノウィッツとM・ジョーダン（グリーンバーグ、p. xvi）がユークリッド幾何学のうちユークリッドの平行線公理に依存しない部分を「中立幾何学」と呼んだことを引用している。彼は、絶対幾何学における「絶対」という言葉は、他のすべての幾何学がそれに依存するという誤解を招くと述べている。
72. トルドー 1987、44ページ
73. 絶対幾何学は、実際には、双曲幾何学とユークリッド幾何学を命題の集合として捉えた場合の両者の交差点である。
74. Schiemer, Georg (2012)、「Carnapの極限公理、「モデルの完全性」、および圏論について」、The Review of Symbolic Logic、5 (4): 613– 641、doi : 10.1017/S1755020312000172、MR 2998930 
75. フェイバー 1983、167ページ
76. Beltrami、Eugenio (1868)、「Teoria Fondamentale degli spazii di curvaturacostante」、Annali di Matematica Pura ed Applicata、シリーズ II、2 : 232–255、doi : 10.1007/BF02419615、S2CID 120773141 
77. グリーンバーグ 2007、541～544ページ
78. 円上の 4 つの点を反時計回りにA、 B、 C、 Dとして視覚化します。
79. これは、この幾何学を得るためにユークリッドの公理を「修正」しようとすることの無益さを改めて示すものである。ユークリッドの暗黙の仮定に変更を加える必要がある。
80. 負の欠陥は過剰と呼ばれるので、これは次のようにも表現されます。楕円幾何学では三角形は正の過剰を持ちます。
81. コクセター、175～176ページ

参考文献

• ボール、WWラウス（1960年）、数学史の簡潔な説明（第4版[再版。初版：ロンドン：マクミラン社、1908年]版）、ニューヨーク：ドーバー出版、  pp.50–62、ISBN 0-486-20630-0{{citation}}:ISBN / Date incompatibility (help)
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry: from foundations to applications , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3、MR  1629468
• イヴス、ハワード（1963年）、幾何学概論（第1巻）、ボストン：アリン＆ベーコン
• フェイバー、リチャード L. (1983)、『ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎』、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 0-8247-1748-1
• グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（2007）[1974]、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学／発展と歴史、第4版、サンフランシスコ：WHフリーマン、ISBN 978-0716799481
• ヒース、トーマス・L.（1956年）『ユークリッド原論』第2版[複製版。初版：ケンブリッジ大学出版局、1925年]編集、ニューヨーク：ドーバー出版

（全3巻）：ISBN 0-486-60088-2（第1巻）、ISBN 0-486-60089-0（第2巻）、ISBN 0-486-60090-4（第3巻）。

• ヒルベルト、デイヴィッド（1950）[初版1902年]、『幾何学の基礎』[Grundlagen der Geometrie]（PDF）、EJ Townsendによる英訳（第2版）、イリノイ州ラサール：Open Court Publishing
• ヒルベルト、デイヴィッド（1990）[1971]、「幾何学の基礎[Grundlagen der Geometrie]」、ドイツ語第10版（英語第2版）からレオ・ウンガー訳、イリノイ州ラサール：オープンコート出版、ISBN 0-87548-164-7
• モイズ、エドウィン・E.（1974年）、高度な視点からの基本幾何学（第2版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-04793-4
• Peano、Giuseppe (1889)、I principii di geometria:logicamente esposti、トリノ:Fratres Bocca
• ラッセル、バートランド（1897）『幾何学の基礎に関するエッセイ』 、インターネットアーカイブ経由
• トルドー、リチャード・J.（1987）『非ユークリッド革命』ボストン：バークハウザー、ISBN 0-8176-3311-1
• ヴェネマ、ジェラード・A.（2006）『幾何学の基礎』アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：ピアソン・プレンティス・ホール、ISBN 0-13-143700-3
• ワイリー、CR Jr.（1964）、幾何学の基礎、ニューヨーク：マグロウヒル

外部リンク

• オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「モーリッツ・パッシュ」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• A. Seidenberg (2008), Pasch, Moritz , Complete Dictionary of Scientific Biography , 2013年8月25日閲覧
• 数学系譜プロジェクトのモーリッツ・パッシュ
• オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ジュゼッペ・ペアノ」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• ヒューバート・ケネディ（2002年）、ジュゼッペ・ペアノに関する12の記事（PDF）、サンフランシスコ：ペレンプトリー・パブリケーションズ、 2012年4月8日閲覧。ペアノの生涯と数学に関する記事集（1960年代から1980年代）。
• 数学系譜プロジェクトのジュゼッペ・ペアノ
• オコナー、ジョン・J.；ロバートソン、エドマンド・F.、「マリオ・ピエリ」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• ヒューバート・ケネディ、ピエリ、マリオ、『Complete Dictionary of Scientific Biography』 、 2013年8月26日閲覧。
• SMSG公理

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