Construct in mathematics
数学 において 、 ゲルブ （ 、 フランス語: [ʒɛʁb] ）は、 ホモロジー代数 と 位相幾何学における構成概念である。ゲルブは 、アレクサンドル・グロタンディーク のアイデアに従い、2次の非可換 コホモロジーのためのツールとして ジャン・ジロー （Giraud 1971） により導入された。これは 、ファイバーが群の 分類スタックである ファイバー束 の類似物とみなすことができる。ゲルブは、特に現代 代数幾何学において、多くの種類の 変形 問題 を扱うための便利で、ただし高度に抽象化された言語を提供する。さらに、ゲルブの特殊なケースは、最近では 微分位相幾何 学 と 微分幾何 学において、特定のコホモロジー類とそれに付随する追加の構造 に対する代替記述を与えるために 使用されている。
「Gerbe」はフランス語（および古英語）で、文字通り「小麦の 束 」を意味します。
定義
位相空間上のゲルベス 位相空間 [1] : 318 上 の ガーベ は、 局所的に空でなく （ 各点には ガーベの切断カテゴリが空でない開近傍がある）、 推移 的 （ 任意 の開集合 の 任意 の 2 つのオブジェクト と に対して、 と のそれぞれへの 制約が少なくとも 1 つの射によって接続されているような の 開被覆が存在する）上の群 のスタックです 。 S {\displaystyle S} X {\displaystyle {\mathcal {X}}} S {\displaystyle S} p ∈ S {\displaystyle p\in S} U p {\displaystyle U_{p}} X ( U p ) {\displaystyle {\mathcal {X}}(U_{p})} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {X}}(U)} U {\displaystyle U} U = { U i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}} U {\displaystyle U} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} U i {\displaystyle U_{i}}
標準的な例としては、固定 構造群を持つ 主バンドル の ゲルベが挙げられる 。開集合上の切断圏は、射として同型性を持つ主 バンドル の圏である （したがって、この圏は群体である）。主バンドルは互いに接着する（降下条件を満たす）ため、これらの群体はスタックを形成する。自明バンドルは 局所非空条件が満たされることを示し、最後に主バンドルは局所的に自明であるため、十分に小さい開集合に制限すると同型となり、したがって推移性条件も満たされる。 B H {\displaystyle BH} H {\displaystyle H} U {\displaystyle U} H {\displaystyle H} U {\displaystyle U} X × H → X {\displaystyle X\times H\to X}
サイトのガーベス ゲルブの最も一般的な定義は サイト 上で定義される。サイト a -ゲルブ [2] [3] : 129 が与えられたとき、 群体で繊維化された圏は C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} G {\displaystyle G} G → C {\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}
の 改良 [4] が存在し、すべてのオブジェクトに対して、 関連するファイバーカテゴリは 空ではない。 C ′ {\displaystyle {\mathcal {C}}'} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} S ∈ Ob ( C ′ ) {\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}}')} G S {\displaystyle G_{S}} 繊維状カテゴリ内の 任意の2つのオブジェクト は局所的に同型である S ∈ Ob ( C ) {\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})} G S {\displaystyle G_{S}} 最終オブジェクト を持つ サイトの場合 、群にファイバー化されたカテゴリは の場合にのみローカルセクションを許容し 、その場合、 は 最初の公理を自動的に満たすことに注意してください。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} e {\displaystyle e} G → C {\displaystyle G\to {\mathcal {C}}} Ob ( G e ) ≠ ∅ {\displaystyle {\text{Ob}}(G_{e})\neq \varnothing } G → C {\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}
サイト上のガーベの動機 サイト上でガーベを検討する主な動機の一つは、次のような素朴な疑問を考えることです。 空間の 適切な被覆に対するチェフ・コホモロジー群が 上の 主 -バンドルの同型類を与える場合 、反復コホモロジー関手は何を 表すのでしょうか？つまり、ある1-コサイクルを介して群を接着しているということです 。ガーベはこの疑問に対する技術的な回答です。ガーベは、高次のコホモロジー群 の元の幾何学的表現を与えます 。この直感は高次のガーベにも当てはまると期待されます。 H 1 ( U , G ) {\displaystyle H^{1}({\mathcal {U}},G)} U = { U i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}} X {\displaystyle X} G {\displaystyle G} X {\displaystyle X} H 1 ( − , H 1 ( − , G ) ) {\displaystyle H^{1}(-,H^{1}(-,G))} H 1 ( U i , G ) {\displaystyle H^{1}(U_{i},G)} H 2 ( U , G ) {\displaystyle H^{2}({\mathcal {U}},G)}
コホモロジー分類 ガーベに関する主要な定理の一つは、アーベル群の固定層[5] [2]によって与えられる自己同型群を持つ場合のコホモロジー分類である。これは バンド と 呼ば れる。サイト 、オブジェクト 、オブジェクト上の ガーベに対して 、ガーベの自己同型群は自己同型群として定義される 。自己同型群が常に同じである場合には、これは明確に定義されている。被覆が与えられた場合 、関連するクラスが存在する。 L _ {\displaystyle {\underline {L}}} X {\displaystyle {\mathcal {X}}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} U ∈ Ob ( C ) {\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})} x ∈ Ob ( X ( U ) ) {\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))} L = Aut _ X ( U ) ( x ) {\displaystyle L={\underline {\text{Aut}}}_{{\mathcal {X}}(U)}(x)} U = { U i → X } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\to X\}_{i\in I}}
c ( L _ ) ∈ H 3 ( X , L _ ) {\displaystyle c({\underline {L}})\in H^{3}(X,{\underline {L}})}
は によって帯状化された ガーベの 同型類 を表す 。例えば位相幾何学では、 群によって帯状化されたガーベを考えることで、多くのガーベの例を構築できる 。分類空間は整数に対する 第二 アイレンベルク・マクレーン 空間なので、位相空間上の によって帯状化されたガーベのバンドルは、 における写像のホモトピー類から構成される。 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} L {\displaystyle L} U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} B ( U ( 1 ) ) = K ( Z , 2 ) {\displaystyle B(U(1))=K(\mathbb {Z} ,2)} U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} X {\displaystyle X}
[ X , B 2 ( U ( 1 ) ) ] = [ X , K ( Z , 3 ) ] {\displaystyle [X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb {Z} ,3)]} 、
これはまさに第3 特異ホモロジー 群 である。 [6] の ねじれコホモロジー類を表すすべてのガーベは、 固定された複素ベクトル空間の 有限次元代数の束で表されることがわかっている 。さらに、ねじれのない類は、固定された無限次元 可分 ヒルベルト空間 上のユニタリ作用素の射影群の無限次元主束として表される 。すべての可分ヒルベルト空間は平方和可能列の空間に同型であるため、これは明確に定義されていることに注意されたい 。ガーベのホモトピー理論的解釈は、ホモトピーファイバー平方 H 3 ( X , Z ) {\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )} H 3 ( X , Z ) {\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )} End ( V ) {\displaystyle {\text{End}}(V)} V {\displaystyle V} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}}
X → ∗ ↓ ↓ S → f B 2 U ( 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &B^{2}U(1)\end{matrix}}}
ホモトピーファイバーの正方形から直線束が出てくるのと似ている
L → ∗ ↓ ↓ S → f B U ( 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matrix}}}
ここで は 上の直線束の同型類の群 として 与えられます 。 B U ( 1 ) ≃ K ( Z , 2 ) {\displaystyle BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)} H 2 ( S , Z ) {\displaystyle H^{2}(S,\mathbb {Z} )} S {\displaystyle S}
例
C*-代数 パラコンパクト空間上のコンパクトに支えられた複素数値関数の代数を研究することで、ゲルベスの自然な例がいくつか生じる [7] 3ページ 。の 被覆が与えられたとき、 次のように定義されるチェフ群が存在する。 X {\displaystyle X} U = { U i } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}} X {\displaystyle X}
G = { ∐ i , j U i j ⇉ ∐ U i } {\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{\coprod _{i,j}U_{ij}\rightrightarrows \coprod U_{i}\right\}}
包含物によって与えられたソースマップとターゲットマップ
s : U i j ↪ U j t : U i j ↪ U i {\displaystyle {\begin{aligned}s:U_{ij}\hookrightarrow U_{j}\\t:U_{ij}\hookrightarrow U_{i}\end{aligned}}}
そして、合成可能な矢印の空間はちょうど
∐ i , j , k U i j k {\displaystyle \coprod _{i,j,k}U_{ijk}}
すると、2次コホモロジー類 は単なる写像となる。 σ ∈ H 2 ( X ; U ( 1 ) ) {\displaystyle \sigma \in H^{2}(X;U(1))}
σ : ∐ U i j k → U ( 1 ) {\displaystyle \sigma :\coprod U_{ijk}\to U(1)}
すると、非可換 C*-代数を 形成することができ、これは空間のコンパクトで支えられた複素数値関数の集合に関連付けられる。 C c ( G ( σ ) ) {\displaystyle C_{c}({\mathcal {G}}(\sigma ))}
G 1 = ∐ i , j U i j {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod _{i,j}U_{ij}}
これは次のように表される非可換積を持つ。
a ∗ b ( x , i , k ) := ∑ j a ( x , i , j ) b ( x , j , k ) σ ( x , i , j , k ) {\displaystyle a*b(x,i,k):=\sum _{j}a(x,i,j)b(x,j,k)\sigma (x,i,j,k)}
ここで、コホモロジー類は 標準的な - 代数積の乗算をひねります 。 σ {\displaystyle \sigma } C ∗ {\displaystyle C^{*}}
代数幾何学 を代数的に閉体 上の 多様体、例えば代数群 とします 。 上 の G -torsor は の 作用 と 写像 を持つ 代数 空間 であり 、 ( エタール位相 または fppf 位相 において)上において局所的に は 直積 となることを思い出してください 。 M上の G -gerbe も同様に定義できます。これは 写像を持つ アルティン スタック であり、 (エタール位相または fppf 位相において) M 上において局所的に は直積 となります 。 [8] ここで は の 分類スタック 、 つまり点の自明な -作用による商 を表します。その場合、群構造との互換性はスタックの定義によってカバーされるため、強制する必要はありません。 と の 基礎となる 位相空間は 同じですが、 各点には と同型の安定化群が備えられています 。 M {\displaystyle M} k {\displaystyle k} G {\displaystyle G} G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} M {\displaystyle M} P {\displaystyle P} G {\displaystyle G} π : P → M {\displaystyle \pi :P\to M} M {\displaystyle M} π {\displaystyle \pi } π | U : G × U → U {\displaystyle \pi |_{U}:G\times U\to U} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} π : M → M {\displaystyle \pi \colon {\mathcal {M}}\to M} π {\displaystyle \pi } π | U : B G × U → U {\displaystyle \pi |_{U}\colon \mathrm {B} G\times U\to U} B G {\displaystyle BG} G {\displaystyle G} [ ∗ / G ] {\displaystyle [*/G]} G {\displaystyle G} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} M {\displaystyle M} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} G {\displaystyle G}
連接層の2項複体から 連接層の2項複体
E ∙ = [ E − 1 → d E 0 ] {\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}]}
スキーム上の 群の標準層がそれに関連付けられており、開部分集合上には- 加群 の2項複体が存在する。 X ∈ Sch {\displaystyle X\in {\text{Sch}}} U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} X ( U ) {\displaystyle X(U)}
E − 1 ( U ) → d E 0 ( U ) {\displaystyle {\mathcal {E}}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}(U)}
群性を与える。群性は元によって与えられた対象を持ち 、射は 元によって与えられ 、 x ∈ E 0 ( U ) {\displaystyle x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)} x → x ′ {\displaystyle x\to x'} y ∈ E − 1 ( U ) {\displaystyle y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)}
d y + x = x ′ {\displaystyle dy+x=x'}
このスタックがガーベであるためには、コホモロジー層は 必ず切断を持つ必要がある。この仮説は、上で構築されたカテゴリが常にオブジェクトを持つことを意味する。これは ホップ代数上のコモジュレータ の状況に適用して、アフィンまたは射影スタック上のガーベの代数モデルを構築できることに注意されたい（次数付きホップ代数を用いる場合は射影性 ） 。 さらに、ホップ代数上 のコモジュレータの 導来カテゴリ の安定化から得られる2項スペクトルは、 非厳密な ガーベの追加のモデルを与える 。 H 0 ( E ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}({\mathcal {E}})} ( A , Γ ) {\displaystyle (A,\Gamma )} Γ {\displaystyle \Gamma } A {\displaystyle A}
曲線上の安定バンドルのモジュライスタック 種数 の 上の 滑らかな 射影 曲線 を考える。 を 上の階数 、次数の 安定ベクトル束 の モジュライスタック とする 。これは 粗いモジュライ空間 を持ち、これは 準射影多様体 である。これら 2 つのモジュライ問題は同じ対象をパラメータ化するが、スタック版ではベクトル束の 自己同型を 記憶する。任意の 安定ベクトル束に対して、 自己同型群は スカラー乗算のみで構成されるため、モジュライスタックの各点は に同型の安定子を持つ。この写像は 上記の意味で 確かに -gerbe である ことがわかる。 [9] とが 互いに素で ある 場合に限り、これは自明な gerbe である 。 C {\displaystyle C} k {\displaystyle k} g > 1 {\displaystyle g>1} M r , d s {\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}} C {\displaystyle C} r {\displaystyle r} d {\displaystyle d} M r , d s {\displaystyle M_{r,d}^{s}} E {\displaystyle E} A u t ( E ) {\displaystyle Aut(E)} G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} M r , d s → M r , d s {\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}\to M_{r,d}^{s}} G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} r {\displaystyle r} d {\displaystyle d}
ルートスタック ルートスタックの構成法を用いることで、別のゲルブのクラスを見つけることができる。非公式には、 スキーム 上の 直線束の - 次ルートスタックは、 - 次ルートを 表す空間であり 、次のように表記される。 r {\displaystyle r} L → S {\displaystyle L\to S} r {\displaystyle r} L {\displaystyle L}
L / S r . {\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}.\,} [10] 52ページ
の - 乗根スタックは次の 性質を持つ。 r {\displaystyle r} L {\displaystyle L}
⨂ r L / S r ≅ L {\displaystyle \bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}}\cong L}
ガーベのように積み重ねて作られる
L / S r : ( Sch / S ) o p → Grpd {\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd} }
形式が次の線束であるカテゴリに -scheme を 送る。 S {\displaystyle S} T → S {\displaystyle T\to S}
{ ( M → T , α M ) : α M : M ⊗ r → ∼ L × S T } {\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\right\}}
と射は同型と両立する可換図式である 。このガーベは 単位根の 代数群 によって帯状に束ねられており、被覆上で は点に作用して の 因数を巡回的に 入れ替える。幾何学的には、これらのスタックはスタックのファイバー積として形成される。 α M {\displaystyle \alpha _{M}} μ r {\displaystyle \mu _{r}} T → S {\displaystyle T\to S} ( M → T , α M ) {\displaystyle (M\to T,\alpha _{M})} M {\displaystyle M} M ⊗ r {\displaystyle M^{\otimes r}}
X × B G m B G m → B G m ↓ ↓ X → B G m {\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}}
の垂直マップは クンマー配列から得られる B G m → B G m {\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to B\mathbb {G} _{m}}
1 → μ r → G m → ( ⋅ ) r G m → 1 {\displaystyle 1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{r}} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {} 1}
これは 、線束のモジュライ空間であるため、線束は カテゴリのオブジェクト （モジュライ空間の点として考えられます）に対応するからです。 B G m {\displaystyle B\mathbb {G} _{m}} L → S {\displaystyle L\to S} B G m ( S ) {\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(S)}
セクション付きルートスタック セクションを持つルートスタックの関連する構成法がもう1つある。上記のデータから、 セクションをとする。すると、 ペアの-番目のルートスタックは、 lax 2-ファンクタ [10] [11]として定義される。 s : S → L {\displaystyle s:S\to L} r {\displaystyle r} ( L → S , s ) {\displaystyle (L\to S,s)}
( L , s ) / S r : ( Sch / S ) o p → Grpd {\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd} }
形式が次の線束であるカテゴリに -scheme を 送る。 S {\displaystyle S} T → S {\displaystyle T\to S}
{ ( M → T , α M , t ) : α M : M ⊗ r → ∼ L × S T t ∈ Γ ( T , M ) α M ( t ⊗ r ) = s } {\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M},t):{\begin{aligned}&\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\\&t\in \Gamma (T,M)\\&\alpha _{M}(t^{\otimes r})=s\end{aligned}}\right\}}
と射も同様に与えられる。これらのスタックは非常に明示的に構成でき、アフィンスキームではよく理解されている。実際、これらはセクションを持つルートスタックのアフィンモデルを形成する。 [11] : 4 局所的には、直線束が 自明であると 仮定することができる。したがって、任意のセクション は要素を取ることと等価である 。すると、スタックはスタック商によって与えられる。 S = Spec ( A ) {\displaystyle S={\text{Spec}}(A)} L {\displaystyle L} s {\displaystyle s} s ∈ A {\displaystyle s\in A}
( L , s ) / S r = [ Spec ( B ) / μ r ] {\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B)/\mu _{r}]} [11] : 9
と
B = A [ x ] x r − s {\displaystyle B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}}
の場合 、これは の無限小拡張を与えます 。 s = 0 {\displaystyle s=0} [ Spec ( A ) / μ r ] {\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}]}
代数幾何学における例 これらおよびより一般的な種類のガーベは、幾何学的空間としても正式な簿記ツールとしても、さまざまなコンテキストで発生します。
微分幾何学 H 3 ( X , Z ) {\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )} および -gerbes: Jean-Luc Brylinski のアプローチ O X ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}
歴史 ゲルベは代数幾何学 の文脈で初めて登場しました。その後、ブリリンスキー（Brylinski 1993）によってより伝統的な幾何学的枠組みの中で発展しました。ゲルベは、整 コホモロジー 類の幾何学的実現を提供する数学的対象の階層構造における自然なステップと考えることができます 。
より特化したガーベの概念はマレーによって導入され、 バンドルガーベ と呼ばれています。本質的には、束ガーベはアーベルガーベの 滑らかなバージョンであり、層よりも 主束 から始まる階層構造に属します。バンドルガーベは ゲージ理論 や 弦理論 でも用いられています 。 [12] 現在、他の研究者による研究では、非アーベル束ガーベの理論が開発されています。
参照
参考文献 ^ 基本バンドル理論とK-コホモロジー不変量 . Husemöller, Dale. ベルリン: Springer. 2008. ISBN 978-3-540-74956-1 . OCLC 233973513。 {{cite book }}: CS1 maint: others (link )^ ab "Section 8.11 (06NY): Gerbes—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu . 2020年10月27日 閲覧。 ^ ジロー、J. (ジャン) (1971). コホモロジー ノン アベリエンヌ 。ベルリン: Springer-Verlag。 ISBN 3-540-05307-7 . OCLC 186709。 ^ 「セクション7.8 (00VS): 固定ターゲットを持つモルフィズムの族—スタックプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2020年10月27日 閲覧 。 ^ 「セクション21.11（0CJZ）：第2コホモロジーとガーベス—スタックスプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2020年10月27日 閲覧。 ^ Karoubi, Max (2010-12-12). 「ツイストバンドルとツイストK理論」. arXiv : 1012.2512 [math.KT]. ^ Block, Jonathan; Daenzer, Calder (2009-01-09). 「接続のあるガーベのMukai双対性」. arXiv : 0803.1529 [math.QA]. ^ Edidin, Dan; Hassett, Brendan; Kresch, Andrew; Vistoli, Angelo (2001). 「ブラウアー群と商スタック」. American Journal of Mathematics . 123 (4): 761– 777. arXiv : math/9905049 . doi :10.1353/ajm.2001.0024. S2CID 16541492. ^ ホフマン、ノーバート (2010). 「曲線上のベクトル束のモジュライスタックとキング・スコフィールドの有理性証明」. 有理性問題へのコホモロジー的および幾何学的アプローチ . プログレス・イン・マスキュリン. 第282巻. pp. 133– 148. arXiv : math/0511660 . doi :10.1007/978-0-8176-4934-0_5. ISBN 978-0-8176-4933-3 . S2CID 5467668。 ^ ab Abramovich, Dan; Graber, Tom; Vistoli, Angelo (2008-04-13). 「Deligne-MumfordスタックのGromov-Witten理論」. arXiv : math/0603151 . ^ abc Cadman, Charles (2007). 「スタックを用いた曲線の接線条件の適用」 (PDF) . Amer. J. Math . 129 (2): 405– 427. arXiv : math/0312349 . doi :10.1353/ajm.2007.0007. S2CID 10323243. ^ Bunk, Severin; Szabo, Richard J. (2017-05-18), Fluxes, bundle gerbes and 2-Hilbert spaces, arXiv, doi :10.48550/arXiv.1612.01878, arXiv:1612.01878 , 2025-11-06取得
外部リンク
入門記事 バンドルガーベスを使った構成 - スチュアート・ジョンソン Orbifolds 上の Gerbes 入門 、Ernesto Lupercio、Bernado Uribe。 ガーベとは何か？ ナイジェル・ヒッチン 著 AMS のお知らせ バンドルガーベ 、マイケル・マーレー。 Moerdijk, Ieke . 「StacksとGerbesの言語入門」 . 2007年5月20日 閲覧。
位相幾何学におけるゲルベス
ねじれたK理論 ツイストK理論とバンドルガーベのK理論 ツイストバンドルとツイストK理論 - Karoubi
弦理論への応用 弦理論における安定特異点 - 付録にブラウアー群を用いたゲルベの例が含まれています 群多様体上のブレーン、グルーオン凝縮体、およびねじれK理論 特殊ラグランジアン部分多様体に関する講義 - ミラー対称性への応用を含む非常に現実的な入門 コンパクト単純リー群上の基本ガーベ - ストリング群 などの群をガーベとして記述するテクニックを示します。 
![{\displaystyle [X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb {Z} ,3)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726d4a024893d1206c749a751d2d80ca8b9e03a9)
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![{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94de3128519365b3b659f5a1ccb9d52af3dd57d)
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![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B)/\mu _{r}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eaa603fe6d665079a38e307de6e648a83a155eb)
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