最大値と最小値

数学的解析において、関数の最大値と最小値^[a]は、それぞれ関数が取る最大の値と最小値です。一般的には極値^[b]として知られ、関数の特定の範囲内（局所的または相対的極値）または定義域全体（大域的または絶対的極値）で定義できます。 ^[1]^[2]^[3]ピエール・ド・フェルマーは、関数の最大値と最小値を見つけるための一般的な手法である等式を提案した最初の数学者の1人でした。

集合論で定義されているように、集合の最大値と最小値は、それぞれ集合内の最大の要素と最小の要素です。実数集合などの無限集合には、最小値も最大値もありません。

統計学では、対応する概念は標本最大値と標本最小値です。

定義

定義域X上で定義された実数値関数 fは、大域的（または絶対的）最大点を持ちます。 x ^∗において、X内のすべてのxに対してf ( x ^∗ ) ≥ f ( x )が成り立つ場合。同様に、関数は大域的（または絶対的）最小点を持ちます。x ^∗において、X内のすべてのxに対してf ( x ^∗ ) ≤ f ( x )が成り立つ場合。最大点における関数の値は関数の最大値と呼ばれ、と表記されます。最小点における関数の値は $\max(f(x))$ 関数の最小値と呼ばれます（明確にするためにと表記されます）。記号的に、これは次のように書くことができます。 $\min(f(x))$

x_{0}\in X

関数の大域的最大点とは、

f:X\to \mathbb {R} ,

(\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).

大域最小点の定義も同様に進みます。

定義域Xが距離空間である場合、fは局所的（または相対的）最大点を持つと言われています。点x ^{∗において、x}∗から距離ε以内にあるX内のすべてのxに対してf ( x ^∗ )≥f ( x )となるようなε > ⁰が存在する場合。同様に、関数は局所最小点を持ちますx ^∗において、x ∗ から距離ε以内にあるX内のすべてのxに対してf ( x ^∗ ) ≤ f ( x ⁾となる場合。Xが位相空間である場合、同様の定義を使用できます。これは、先ほど示した定義を近傍の観点から言い換えることができるためです。数学的には、与えられた定義は次のように書きます。

を計量空間と関数とする。すると、関数の極大点とは、

(X,d_{X})

f:X\to \mathbb {R}

x_{0}\in X

f

(\exists \varepsilon >0)

(\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).

極小点の定義も同様に進めることができます。

大域的および局所的な両方の場合において、厳密な極値の概念を定義できます。例えば、x^∗は厳密な大域最大点とは、X ≠x ∗^であるすべての x に対して、f ( x ∗ ⁾ > f ( x )が成り立ち、x^∗が厳密な局所最大点とは、あるε > 0が存在し、 x ≠ x^∗であるxに対してx∗から距離 ε 以内でf ( x ∗ ⁾ > f (^x )が成り立つことです。点が厳密な大域最大点となるのは、それが唯一の大域最大点である場合のみであり、最小点についても同様です。

コンパクトな定義域を持つ連続実数値関数は、常に最大点と最小点を持ちます。重要な例として、定義域が実数の閉区間で有界な関数があります（上のグラフを参照）。

検索

数学的最適化の目的は、大域的最大値と最小値を見つけることです。関数が閉区間上で連続している場合、極値定理により、大域的最大値と最小値が存在することが分かります。さらに、大域的最大値（または最小値）は、領域の内部における局所的最大値（または最小値）であるか、領域の境界上にある必要があります。したがって、大域的最大値（または最小値）を見つける方法は、内部のすべての局所的最大値（または最小値）と、境界上の点の最大値（または最小値）を調べ、最も大きい値（または最小値）を求めることです。

微分可能関数の場合、フェルマーの定理によれば、領域の内部における局所的極値は、必ず臨界点（または導関数がゼロになる点）で発生する。^{[4]しかし、すべての臨界点が極値となるわけではない。十分な微分可能性があれば、}一次微分検定、二次微分検定、または高階微分検定を用いることで、臨界点が極大値、極小値、あるいはどちらでもないかを区別できることが多い。^[5]

区分的に定義された任意の関数について、最大値（または最小値）を求めるには、各部分の最大値（または最小値）を個別に求め、どれが最大（または最小）かを調べる。

例

関数	最大値と最小値
x ²	x = 0における唯一の大域的最小値。
x ³	極小値も極大値もありません。1次導関数（3 x ^{2 ）は}x = 0で0ですが、これは変曲点です。（2次導関数はその点で0です。）
${\sqrt[{x}]{x}}$	x = eで唯一の極大値です。（右図参照）
x ^{− x}	x = 1/ eで、正の実数全体にわたって唯一の極大値です。
x ³ /3 − x	1次導関数はx ² − 1、2次導関数はx 2 xです。1次導関数を0に設定し、xについて解くと、-1と+1に停留点が得られます。2次導関数の符号から、-1は極大値、+1は極小値であることがわかります。この関数には、極大値も極小値もありません。
\| x \|	x = 0で微分を行っても見つからない極小値。なぜなら、 x = 0 では微分が存在しないからです。
cos( x )	0、±2π $、$ ± $4π$ 、…における大域的最大値は無限にあり、± $π$ 、± $3π$ 、± $5π$ 、… における大域的最小値は無限にあります。
2 cos( x ) − x	局所的最大値と最小値は無限にありますが、大域的最大値と最小値は存在しません。
cos( $3πx$ ) / xただし、0.1 ≤ x ≤ 1.1	x = 0.1（境界）で大域的最大値、 x = 0.3付近で大域的最小値、x = 0.6付近で極大値、 x = 1.0 付近で極小値。（ページ上部の図を参照。）
x ³ + 3 x ² − 2 x + 1 は閉区間（線分）[−4,2]上で定義されます。	x = −1− √15 / 3で極大値、 x = −1+ √15 /3で極小値、 x = 2で大域的最大値、 x = −4 で大域的最小値。

実際の例として、^[6]で、フィートのフェンスがあり、長方形の囲いの平方フィートを最大化しようとしている状況を想定します。ここで、は長さ、は幅、は面積です。 $200$ $x$ $y$ $xy$

2x+2y=200

2y=200-2x

{\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}

y=100-x

xy=x(100-x)

に関する微分は次のとおりです。 $x$

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}

これを次のように設定します $0$

0=100-2x

2x=100

x=50

は唯一の臨界点であることがわかります。次に、が制限される区間を決定することで端点を取得します。幅は正なので、となり、となるので、となります。臨界点、端点、をそれぞれに代入すると、結果はそれぞれととなります。 $x=50$ $x$ $x>0$ $x=100-y$ $x<100$ $50$ $0$ $100$ $xy=x(100-x)$ $2500,0,$ $0$

したがって、フィートのフェンスの長方形で達成できる最大面積はです。^[6] $200$ $50\times 50=2500$

多変数関数

複数の変数を持つ関数の場合も、同様の条件が適用されます。たとえば、右側の図 (拡大可能) では、極大値に必要な条件は、1つの変数のみを持つ関数の条件と似ています。z (最大化される変数) に関する最初の偏導関数は、最大値 (図の上部にある光る点) で 0 になります。2 番目の偏導関数は負です。これらは、鞍点の可能性があるため、極大値にとって必要な条件であり、十分な条件ではありません。これらの条件を使用して最大値を解くには、関数zも全体にわたって微分可能でなければなりません。2番目の偏導関数テストは、点を相対的最大値または相対的最小値として分類するのに役立ちます。対照的に、1 つの変数の関数と複数の変数の関数の間には、グローバル極値の識別において大きな違いがあります。例えば、実数直線上の閉区間上で定義された有界微分可能関数f が、局所的最小値である単一の臨界点を持つ場合、それは大域的最小値でもあります（中間値定理とロールの定理を用いて、これを背理法によって証明してください）。2次元以上の場合、この議論は成り立ちません。これは、関数

f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,

によって示されます。この関数の唯一の臨界点は (0,0) にあり、これはf (0,0) = 0 となる局所的最小値です。しかし、f (2,3) = −5 であるため、大域的最小値にはなり得ません。

関数の最大値または最小値

極値を求める関数の定義域自体が関数で構成されている場合（つまり、関数の極値を求める場合）、変分法を用いて極値を求めます。

集合との関係において

最大値と最小値は集合に対しても定義できます。一般に、順序付き集合 Sが最大元 mを持つ場合、mは集合の最大元であり、とも表記されます。さらに、Sが順序付き集合Tのサブセットであり、m が（ Tによって誘導される順序に関して）Sの最大元である場合、 mはTにおけるSの最小上限です。最小元、最小元、最大下限についても同様の結果が得られます。集合の最大値と最小値関数はデータベースで使用され、集合の最大値（または最小値）はパーティションの最大値から計算できるため、迅速に計算できます。正式には、これらは自己分解可能な集約関数です。 $\max(S)$

一般的な半順序の場合、最小元（つまり、他のすべての元よりも小さい元）を最小元（それより小さいものはない）と混同しないでください。同様に、半順序集合（poset）の最大元は、集合の上限であり、その集合内に含まれる元です。一方、 poset Aの最大元mは、 m ≤ b （ A内の任意のbについて）であればm = bとなるAの元です。poset の最小元または最大元は一意ですが、poset は複数の最小元または最大元を持つことができます。poset に複数の最大元がある場合、これらの元は相互に比較できません

全順序集合、つまり連鎖では、すべての要素は相互に比較可能であるため、そのような集合は最大で1つの最小要素と最大で1つの最大要素を持つことができます。そして、相互比較可能性により、最小要素は最小の要素でもあり、最大要素は最大の要素でもあります。したがって、全順序集合では、単に最小と最大という用語を使用できます

連鎖が有限であれば、常に最大値と最小値が存在します。連鎖が無限であれば、最大値や最小値を持つ必要はありません。例えば、自然数の集合には最大値はありませんが、最小値は存在します。無限連鎖Sが有界である場合、集合の閉包 Cl ( S ) には時折、最小値と最大値が存在することがあります。その場合、それらはそれぞれ集合Sの最大下限値と最小上限値と呼ばれます。

最大値の議論

数学において、最大値の引数（arg maxまたは argmax と略される）と最小値の引数（arg min または argmin と略される）は、関数の出力値がそれぞれ最大化および最小化される入力点です。^[8]引数は関数の定義域上で定義されますが、出力はその余領域の一部です。

参照

注記

^ PL：最大値と最小値（または最大値と最小値）。
^ SG：極値。

参考文献

^ スチュワート、ジェームズ(2008).微積分学：初期超越関数（第6版）.ブルックス/コール. ISBN 978-0-495-01166-8。
^ ラーソン、ロン；エドワーズ、ブルース・H. (2009).微積分学（第9版）.ブルックス/コール. ISBN 978-0-547-16702-2。
^ トーマス、ジョージ・B .；ウィアー、モーリス・D.；ハス、ジョエル(2010).トーマスの微積分学：初期超越関数（第12版）. Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0。
^ Weisstein, Eric W. "Minimum". mathworld.wolfram.com . 2020年8月30日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. "Maximum". mathworld.wolfram.com . 2020年8月30日閲覧。
^ ab Garrett, Paul. "Minimization and maximization refresher".
^ 「The Unnormalized Sinc Function Archived 2017-02-15 at the Wayback Machine」、シドニー大学
^ 明確にするために、入力（x）を点、出力（y）を値と呼びます。臨界点と臨界値を比較してください。

外部リンク

収束におけるトーマス・シンプソンの最大値と最小値
最大値と最小値の応用（解答付き）
ジョリフ、アーサー・アーネスト (1911). 『最大値と最小値』ブリタニカ百科事典第17巻（第11版） 918～ 920ページ

[1] PL：最大値と最小値（または最大値と最小値）。

[2] SG：極値。

[3] スチュワート、ジェームズ(2008).微積分学：初期超越関数（第6版）.ブルックス/コール. ISBN 978-0-495-01166-8。

[4] ラーソン、ロン；エドワーズ、ブルース・H. (2009).微積分学（第9版）.ブルックス/コール. ISBN 978-0-547-16702-2。

[5] トーマス、ジョージ・B .；ウィアー、モーリス・D.；ハス、ジョエル(2010).トーマスの微積分学：初期超越関数（第12版）. Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0。

[6] Weisstein, Eric W. "Minimum". mathworld.wolfram.com . 2020年8月30日閲覧。

[7] Weisstein, Eric W. "Maximum". mathworld.wolfram.com . 2020年8月30日閲覧。

[minimization_maximization_refresher-8] Garrett, Paul. "Minimization and maximization refresher".

[9] 「The Unnormalized Sinc Function Archived 2017-02-15 at the Wayback Machine」、シドニー大学

[10] 明確にするために、入力（x）を点、出力（y）を値と呼びます。臨界点と臨界値を比較してください。