束（数学）

位相空間の開集合に付随する局所的に定義されたデータを追跡するためのツール

数学において、層（複数形：sheaves）は、位相空間の開集合に付随し、それらに関して局所的に定義されたデータ（集合、アーベル群、環など）を体系的に追跡するためのツールである。たとえば、各開集合について、データはその開集合上で定義された連続関数の環となり得る。このようなデータは、より小さな開集合に制限できるという点で適切に動作し、また、開集合に割り当てられたデータは、元の開集合を覆うより小さな開集合の集合に割り当てられた、互換性のあるデータのすべての集合と等価である（直感的には、すべてのデータは、その構成データの合計である）。

層を研究する数学の分野は層理論と呼ばれます。

層は概念的には一般かつ抽象的なオブジェクトとして理解されています。正確な定義はやや専門的です。具体的には、例えば開集合に割り当てられるデータの型に応じて、集合の層や環の層などとして定義されます。

ある層から別の層への写像（または射）も存在する。特定の種類の層（例えばアーベル群の層）とその射が固定された位相空間上で圏を形成する。一方、各連続写像には、領域上の層とその射を余領域上の層と射に写す直像関手と、逆方向に作用する逆像関手が関連付けられている。これらの関手とその特定の変種は、層理論の重要な部分である。

層は、その一般的な性質と多用途性から、位相幾何学、特に代数幾何学と微分幾何学において様々な応用がある。第一に、微分可能多様体やスキームなどの幾何学的構造は、空間上の環の層によって表現できる。このような文脈では、ベクトル束や因子などのいくつかの幾何学的構成は、層によって自然に規定される。第二に、層は、特異コホモロジーなどの「通常の」位相コホモロジー理論も包含する、非常に一般的なコホモロジー理論の枠組みを提供する。特に代数幾何学と複素多様体理論において、層コホモロジーは、空間の位相的性質と幾何学的性質を強力に結びつける。層はまた、微分方程式の理論への応用を可能にするD加群の理論の基礎も提供する。さらに、あるグロタンディーク位相に関するカテゴリ上の層の概念など、位相空間よりも一般的な設定への層の一般化は、数理論理学や数論への応用をもたらしました。

定義と例

多くの数学分野において、位相空間 （例えば、微分可能多様体）上に定義された構造のいくつかは、自然に局所化されるか、あるいは開部分集合に制限される。典型的な例としては、連続した実数値または複素数値関数、回微分可能（実数値または複素数値）関数、有界実数値関数、ベクトル場、および空間上の任意のベクトル束の切断が挙げられる。データをより小さな開部分集合に制限できることから、前束の概念が生まれる。大まかに言えば、層とは、局所データを大域データに接着できる前束のことである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$

プレシーブス

を位相空間とする。上の集合の前層は以下のデータから構成される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

• それぞれの開集合 に対して、集合 が存在する。この集合は とも表記される。この集合の元は上の の切断と呼ばれる。上の の切断はの大域切断と呼ばれる。 ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 開集合 の各包含に対して、関数 が成り立つ。以下の多くの例に鑑みて、これらの射は制限射と呼ばれる。 の場合、その制限は関数の制限との類推によって示されることが多い。 ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$ ${\displaystyle s|_{V}}$

制限射は、2つの追加の（関数的）特性を満たす必要があります。

• のすべての開集合に対して、制限射は 上の恒等射です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$
• 3 つの開集合 がある場合、合成集合は です。 ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$

非公式には、第二公理は、 を一回で に制限するか、最初に に制限してから に制限するかは問題ではないと述べている。この定義の簡潔な関数的再定式化については、後ほど示す。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

前層の例は、様々な関数のクラスから数多く得られます。任意の に対して、上の連続実数値関数の集合を割り当てることができます。すると、 上の連続関数をより小さな開部分集合 （これも連続関数です） に制限するだけで、制限写像が得られます。2つの前層公理は直ちに検証され、前層の例が得られます。これは、正則関数の前層や滑らかな関数の前層に拡張できます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{0}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

もう一つのよくある例は、上の定数実数値関数の集合への代入である。この前層はに関連付けられた定数前層と呼ばれ、 と表記される。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$

シーブ

前層が与えられたとき、当然の疑問は、その開集合上の切断が、その開部分集合への制約によってどの程度規定されるか、ということである。層とは、技術的な意味では、その切断が制約によって一意に決定される前層である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

公理的には、層は次の公理の両方を満たす前層です。

1. （局所性）が開集合、が の開被覆で、がすべての に対して、がセクションであるとする。 がすべての に対してであるとき、 が成り立つ。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s=t}$
2. （ の接着）が開集合であり、がすべての に対しての開被覆であり、 がセクションの族であるとする。すべてのセクションのペアが定義域の重なりにおいて一致する場合、すなわちすべての に対してが一致する場合、すべての に対してとなるセクションが存在する。^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

• 
  2 点空間の 2 つの開線上のセクション。
• 
  互換性のあるローカル セクションを結合上のセクションに接着します。

これら 2 つの公理では、開被覆に関する仮説は、 という仮定と同等です。 ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$

公理2によって存在が保​​証されているセクションは、セクションの接着、連結、または照合と呼ばれます。公理1によって、それは一意です。公理2の一致前提条件を満たすセクションとセクションは、しばしば適合性と呼ばれます。したがって、公理1と公理2は、任意のペアワイズ適合セクションの集合は一意に接着できること を述べています。分離前層、または単前層は、公理1を満たす前層です。^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$

上述の連続関数からなる前層は層である。この主張は、交点 が一致する連続関数が与えられたとき、その制約が に等しい連続関数が唯一存在することを確認することに帰着する。対照的に、定数前層は空集合上の局所性公理を満たさないため、通常は層ではない（これについては定数層でより詳しく説明する）。 ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{i}}$

プレシーブとシーブは通常、大文字で表記されます。これは特に一般的で、おそらくフランス語で束を意味するfaisceauに由来すると考えられます。また、カリグラフィ文字の使用も一般的です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

層を指定するには、その層を基礎空間の位相の基底の開集合に制限するだけで十分であることが示される。さらに、被覆の開集合に対して上記の層公理を検証するだけで十分であることも示される。この観察は、代数幾何学において極めて重要な別の例、すなわち準連接層を構成するために使用される。ここで問題となる位相空間は、点が の素イデアルである可換環 のスペクトル ${\displaystyle R}$である。開集合は、この空間上のザリスキー位相の基底を形成する。-加群 が与えられたとき、上にで表され、次を満たす層が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$の局在。​​ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

これまでに議論したものと同等の層の別の特徴付けがあります。任意の開と の任意の開被覆に対して、がファイバー積 である場合に限り、前層は層です。この特徴付けは層の構築に役立ちます。たとえば、がアーベル層である場合、射影極限は射影極限と可換なので、層の核射影は層です。一方、帰納的極限は必ずしも射影極限と可換ではないため、余核は常に層であるとは限りません。これを修正する 1 つの方法は、ノイザン位相空間を考慮することです。すべての開集合はコンパクトであるため、余核は層です。有限射影極限は帰納的極限と可換だからです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{a}\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

その他の例

連続写像のセクションの束

位相空間の連続写像は、 ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

このようなものは一般にの切断と呼ばれ、この例が の元が一般に切断と呼ばれる理由です。この構成は、 がファイバー束の基底空間への射影である場合に特に重要です。例えば、滑らかな関数の層は、自明な束の切断の層です。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle f}$

もう一つの例：

${\displaystyle \mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

は、上の複素対数の枝の集合を任意の に割り当てる層です。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle U}$

点とアーベル群が与えられたとき、スカイスクレイパー層 は次のように定義されます。 がを含む開集合である場合、 となります。が を含まない場合、は自明群 です。制限写像は、両方の開集合が を含む場合、 上の恒等写像、そうでない場合は零写像のいずれかです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

多様体上の層

次元 -多様体上には、 - 倍連続的に微分可能な関数の層（）など、重要な層が数多く存在する。いくつかの開関数 へのその切断は である。 の場合、この層は構造層と呼ばれ、 と表記される。非零関数もまた層を形成し、 と表記される。（次数 の）微分形式もまた層を形成する。これらの例すべてにおいて、制限射は制限関数または形式によって与えられる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{j}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

コンパクトにサポートされている関数への割り当ては層ではありません。なぜなら、一般に、より小さな開集合に渡すことでこの性質を保存する方法はないからです。代わりに、これは余層を形成します。これは、制限写像が層の場合とは逆の方向に進む双対概念です。 ^[3]しかし、これらのベクトル空間の双対をとると、超関数の層、つまり層が得られます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

層ではない前層

通常は束ではない上記の定数前束に加えて、束ではない前束の例がさらにあります。

• 離散位相を持つ2点位相空間をとします。前層を次のように定義します。制限写像はをその最初の座標に射影したもので、制限写像はをその2番目の座標に射影したものです。 は分離されていない前層です。つまり、大域切断は3つの数で決定されますが、と上のその切断の値は、それらの数のうち2つだけを決定します。したがって、と上の任意の2つの切断を接着することはできますが、それらを一意に接着することはできません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$
• を実数直線とし、を 上の有界連続関数の集合とします。これは必ずしも接着できるとは限らないため、層ではありません。例えば、となるすべての の集合を とします。恒等関数は各 で有界です。したがって、上のセクションが得られます。しかし、関数 は実数直線上で有界ではないため、これらのセクションは接着しません。したがって、は前層ではありますが、層ではありません。実際、は連続関数の層のサブ前層であるため、分離されています。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<i}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

複素解析空間と代数幾何学から層を導く

層の歴史的動機の一つは、複素多様体^[4] 、複素解析幾何学^[5]、そして代数幾何学からのスキーム理論の研究に由来する。これは、これまでのすべてのケースにおいて、位相空間と、その位相空間に複素多様体、複素解析空間、あるいはスキームの構造を与える構造層とを共に考察しているためである。位相空間に層を備えるというこの観点は、局所環空間理論（後述）にとって不可欠である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

複雑な多様体に関する技術的課題

層を導入した歴史的に主要な動機の一つは、複素多様体上の正則関数を追跡する装置を構築することであった。例えば、コンパクトな複素多様体（複素射影空間や同次多項式の射影空間における消失軌跡など）上では、正則関数は ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

は定数関数である。^{[6] [7]}これは、同型ではないが、それでもなお と表記されるそれらの大域正則関数の環が同型であるコンパクト複素多様体が2つ存在することを意味する。これを、任意の が何らかの に埋め込める滑らかな多様体と比較すると、その滑らかな関数の環はからの滑らかな関数を制限することから来ており、そのような関数は数多く存在する。 ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

複素多様体上の正則関数の環を考える際のもう1つの複雑さは、十分に小さい開集合 が与えられると、正則関数は と同型になるということです。層は、任意の開部分集合 上の の基礎位相空間上の正則構造を追跡することを可能にするため、この複雑さに対処するための直接的なツールです。これは、が位相的に複雑になるにつれて、環はを で表すことができることを意味します。この層は、または単に と表記される場合があり、構造層が関連付けられている空間を強調したい場合でも、この場合があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

層による部分多様体の追跡

層のもう一つの一般的な例は、複素部分多様体 を考えることで構築できます。 には、開部分集合を取り、 上の正則関数の環を与える付随層があります。この種の形式論は非常に強力であることが判明しており、セール交差公式からこの種の層を用いて交差理論を構築できるため、層コホモロジーなどの多くのホモロジー代数の基盤となっています。 ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U\cap Y}$

シーブを使った操作

モルフィズム

層の射は、大まかに言えば、層間の関数に類似しています。集合間の関数が単に出力を入力に割り当てるだけであるのに対し、層の射は、基となる層の局所-大域構造と整合性が取れていることも要求されます。この考え方は、以下の定義で明確にされています。

とを上の2つの集合（それぞれアーベル群、環など）の層とする。射はの各開集合に対する集合（それぞれアーベル群、環など）の射から成り、この射は制約と両立するという条件を満たす。言い換えれば、開集合 の任意の開部分集合に対して、次の図式は可換である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$

たとえば、 の導関数を取ると 上の層の射が得られます。 実際、 内の ( - 回連続的に微分可能な) 関数が与えられた場合、その導関数の(より小さな開部分集合への) 制限は の導関数に等しくなります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f|_{V}}$

この射の概念を用いると、固定された位相空間上の集合（それぞれアーベル群、環など）の層は圏を形成する。したがって、単射、エピ写像、同型写像といった一般的な圏論的概念を層に適用することができる。 ${\displaystyle X}$

実際、圏論の観点からは、別の圏に値を持つ（小さな）圏上の層の圏は、に値を持つ上の前層圏の完全なサブ圏であり、これは単に からへの反変関数の圏であり、それらの間の自然な変換は射として行われます。つまり、上で定義した射の概念は、関数として見られる 2 つの層間の自然な変換であると簡単に述べることができます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C^{\text{op}}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varphi }$

上の層の射が同型（または単型）である場合、かつその場合と同値であるのは、任意の開集合 に対して、制限写像に関して自然な同型が存在する場合である。これらの記述は、局所情報を用いて層を扱う方法の例を示しているが、層の射がエピモーフィズムであるかどうかを同じ方法で確認することはできないことに注意する必要がある。実際、開集合のレベルでの写像が層のエピモーフィズムに対して必ずしも射影的ではないという記述は、大域切断関数の非正確性、あるいは層コホモロジーの非自明性と同義である。 ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\approx {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$

束の茎

離散 2 点空間上の定数層の茎と芽。

層の茎は 、点「の周囲」の層の性質を捉え、関数の芽生えを一般化します。ここで「周囲」とは、概念的に言えば、点のより小さな近傍を徐々に小さくしていくことを意味します。もちろん、どの近傍も十分に小さくなることはありませんので、何らかの極限を考慮する必要があります。より正確には、茎は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

直接的な極限は、与えられた点 を含むのすべての開部分集合上にあります。言い換えれば、 の茎の元は の開近傍上の切断によって与えられ、そのような2つの切断は、それらの制約がより小さな近傍上で一致する場合、同値であるとみなされます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

自然射は、における断面をその芽に取り込む。これは、芽の通常の定義を一般化する。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle x}$

多くの場合、層の茎を知るだけで、層自体を制御するのに十分です。例えば、層の射が単射、エピモーフィズム、同型であるかどうかは、茎に基づいてテストできます。この意味で、層は局所データである茎によって決定されます。対照的に、層に存在する大域情報、すなわち大域切断、すなわち空間全体の切断は、通常、より少ない情報しか持ちません。例えば、コンパクト複素多様体の場合、正則関数の層の大域切断は です。なぜなら、任意 の正則関数は ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$

リウヴィルの定理により定数となる。^[6]

プレ束を束に変える

前層に含まれるデータを層として表現することは、しばしば有用です。そして、これを行うための最良の方法があることが判明しています。それは、前層を取り、層化または前層に関連付けられた層と呼ばれる新しい層を生成します。例えば、定数前層（上記参照）の層化は定数層と呼ばれます。その名前にもかかわらず、そのセクションは局所定数関数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

層は のエタレ空間を使って、つまり写像のセクションの層として構築できる。 ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle E\to X.}$

層の別の構成は、前層から前層への関数を用いて前層の性質を徐々に改善する。任意の前層 に対して、は分離前層であり、任意の分離前層 に対して、は層である。付随層はで与えられる。^[8] ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle LL{\mathcal {F}}}$

層 が によるへの最善の近似であるという考えは、次の普遍的性質を使って明確になります。つまり、前層 の自然な射 が存在するので、任意の層と前層 の任意の射 に対して、となる唯一の層の射 が存在するということです。実際、は層のカテゴリから前層 のカテゴリへの包含関数 (または忘却関数) の左随伴関数であり、 は随伴の単位です。このようにして、層のカテゴリは前層 のジロー部分カテゴリに変わります。このカテゴリの状況は、層化関数が層射のコカーネルや層のテンソル積の構築に現れるが、たとえばカーネルには現れない理由です。 ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$

部分層、商層

がアーベル群の層のサブ層である場合、商層は前層に関連付けられた層です。言い換えると、商層はアーベル群の層の正確なシーケンスに適合します。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(これは、束拡張とも呼ばれます。)

をアーベル群の層とする。 からへの層の射の集合はアーベル群を形成する（ のアーベル群構造により）。と の層 homは、と表記される。 ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

はアーベル群の層であり、はによって与えられる層である（ここでは層化は不要であることに注意）。との直和はによって与えられる層であり、 と のテンソル積は の前層 に関連付けられた層である。 ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$ ${\displaystyle F|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

これらの演算はすべて、環の層上のモジュールの層に拡張されます。上記は、が定数層 である場合の特別なケースです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

基本的な関数性

（前）層のデータは基底空間の開部分集合に依存するため、異なる位相空間上の層は、それらの間に射が存在しないという意味で互いに無関係である。しかし、2つの位相空間間の連続写像が与えられた場合、プッシュフォワードとプルバックは、上の層を上の層に、またその逆の関係で関連付ける。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

直接画像

上の層のプッシュフォワード（直接像とも呼ばれる）は、次のように定義される層である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

ここに の開部分集合があり、その逆像はの連続性によって において開集合となる。この構成により、上述の超高層ビル層が復元される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

ここでは包含であり、によってシングルトン上の層とみなされます。 ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

局所コンパクト空間間の写像に対して、コンパクトな台を持つ直像は直像の部分層である。^[9]定義により、は台が適切に写像されるものから構成される。 がそれ自体適切であれば となるが、一般には両者は一致しない。 ${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

逆像

引き戻し像、すなわち逆像は逆方向に作用します。つまり、上の層から で表される 上の層を生成します。が開部分集合の包含である場合、逆像は単なる制約、すなわち内の開部分集合に対して によって与えられます。ある空間 上の層が局所定数であるとは、がいくつかの開部分集合によって となり、これらの開部分集合すべてへの の制約が定数となる場合です。広範囲の位相空間 において、そのような層は基本群の表現と等価です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

一般の写像 の場合、 の定義はより複雑になります。詳細は逆像関数で説明します。茎は、自然な同一視の観点から、プルバックの本質的な特殊ケースです。ここで、は上記の通りです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

より一般的には、茎は を満たします。 ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

ゼロによる拡張

開集合の包含について、アーベル群の層のゼロによる拡大（「Fのj下層」と発音する）は、定義される前層の層化である。 ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V\mapsto {\mathcal {F}}(V)}$場合とそれ以外の場合。 ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\mapsto 0}$

上の層の場合、この構成は、ある意味で の補完的であり、 はの補集合の包含である。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$の場合、茎は0であり、それ以外の場合は、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$の場合、は等しく、それ以外の場合は と等しくなります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

より一般的には、 が局所閉集合であるとき、を含むの開集合が存在し、において閉集合となる。 とを自然包含とする。すると、上の層の零拡大は によって定義される。 ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:A\to U}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$

茎上での良好な動作のため、ゼロ関数による拡張は、 上の層理論的問題を成層の層に関する問題、つまり をより小さな局所的に閉じた部分集合に分解することへと簡約するのに役立ちます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

補完

より一般的なカテゴリの層

上記で紹介した（前）層（ここでは は単なる集合）に加えて、これらの切断上の追加構造を把握しておくことは多くの場合重要です。例えば、連続関数の層の切断は自然に実ベクトル空間を形成し、制限はこれらのベクトル空間間の線型写像です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

任意のカテゴリに値を持つ前層は、まず 上の開集合のカテゴリを、の開集合を対象とし、その射が包含となるようなposetal カテゴリとみなすことで定義されます。すると、上の -値前層は、からへの反変関手と同じになります。このカテゴリの関手における射（自然変換とも呼ばれます）は、定義を解けばわかるように、上で定義した射と同じです。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle C}$

対象カテゴリがすべての極限を許容する場合、次の図が任意の開集合 のすべての開被覆のイコライザーである場合、 - 値前層は層になります。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

ここで最初のマップは制限マップの積である

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

そして矢印のペアは2つの制約セットの積である

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

そして

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

がアーベル圏である場合、この条件は、正確なシーケンスが存在することを要求することで言い換えることもできる。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

この層条件の特別なケースは、が空集合であり、かつ添字集合も空である場合に発生します。この場合、層条件は がの終端オブジェクトであることを必要とします。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ ${\displaystyle C}$

環空間と加群の層

代数幾何学や微分幾何学を含むいくつかの幾何学分野において、空間は環の自然層を伴い、これはしばしば構造層と呼ばれ、 と表記される。このような対は環空間と呼ばれる。多くの種類の空間は、特定の種類の環空間として定義できる。一般的に、構造層の茎はすべて局所環であり、この場合、この対は局所環空間と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

例えば、次元多様体は、構造層が の開部分集合上の - 関数から構成される局所環空間です。局所環空間であるという特性は、点 で非ゼロであるような関数が、 の十分に小さい開近傍でも非ゼロであるという事実につながります。一部の研究者は、実数（または複素数）多様体を、（それぞれ）の開部分集合と（それぞれ正則な）関数の層からなるペアに局所同型な局所環空間として定義しています。^[10]同様に、代数幾何学における空間の基本概念であるスキーム は、環 のスペクトルに局所同型な局所環空間です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

環付き空間が与えられたとき、加群の層とは、のすべての開集合上でが -加群であり、開集合 のすべての包含に対して、制限写像が制限写像と互換であるような層のことである。つまり、 の制限は、およびの任意のに対して、 の制限と の制限を掛け合わせたものである。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$

最も重要な幾何学的対象は加群の層である。例えば、ベクトル束と -加群の局所自由層との間には一対一の対応関係がある。このパラダイムは、実ベクトル束、複素ベクトル束、または代数幾何学におけるベクトル束（それぞれ滑らかな関数、正則関数、または正則関数で構成される）に適用される。微分方程式の解の層は-加群、すなわち微分作用素の層上の加群である。任意の位相空間において、定数層上の加群は、上記の意味でのアーベル群の層と同じである。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

環層上の加群層には、別の逆像関手が存在する。この関手は通常 と表記され、 とは異なる。逆像関手 を参照。 ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

加群の層の有限性条件

可換環上の加群の有限性条件は、加群の層に対する同様の有限性条件を生じさせます。は、のすべての点に対して、の開近傍、自然数（ に依存する可能性あり）、および層の射影射（それぞれ、加えて自然数、および正確な列）が存在するとき、有限生成（または有限提示）と呼ばれます。連接加群の概念と同様に、は、それが有限型であり、すべての開集合とすべての層の射（必ずしも射影ではない）に対して、 の核が有限型である場合、連接層と呼ばれます。は、それがそれ自身の上の加群として連接である場合、連接です。 加群の場合と同様に、連接は一般に有限提示よりも厳密に強い条件です。岡の連接定理は、複素多様体上の正則関数の層が連接であることを述べています。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

束のエタレ空間

上の例では、一部の層は自然に切断層として現れることが述べられました。実際、すべての集合層は、エタレ空間と呼ばれる位相空間の切断層として表すことができます。エタレ空間は、おおよそ「広がる」という意味のフランス語の étalé [etale]に由来します。が 上の層である場合、のエタレ空間(エタール空間と呼ばれることもある) は、の切断層が となるような局所同相を伴う位相空間です。この空間は通常非常に奇妙であり、層が自然な位相的状況から生じる場合でも、明確な位相的解釈がない場合があります。たとえば、 が連続関数 の切断層である場合、 が局所同相 である場合に限ります。 ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle E=Y}$ ${\displaystyle f}$

エタレ空間は上の の茎から構築されます。集合としては はそれらの互いに素な和集合であり、上の の茎上に値を取る明らかな写像です。 の位相は次のように定義されます。各元および各に対して、におけるの芽(または と表記) を取得します。これらの芽により の点が決定されます。任意のおよびに対して、これらの点の和集合 (すべての に対して) は において開であると宣言されます。各茎には部分空間位相として離散位相があることに注目してください。2 つの層の間の射影により、対応するエタレ空間の連続写像が決定されます。これは射影写像と互換性があります (すべての芽が同じ点上の芽に写像されるという意味で)。これにより、構築は関数になります。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s]_{x}}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle E}$

上記の構成は、上の集合層の圏と 上のエターレ空間の圏との間の圏の同値性を決定する。エターレ空間の構成は前層にも適用でき、その場合、エターレ空間の切断層は、与えられた前層に付随する層を復元する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

この構成により、すべての層は位相空間の特定のカテゴリ上の表現可能な関手となる。上と同様に、を 上の層、をそのエタレ空間、 を自然な射影とする。上の位相空間のオーバーカテゴリ、つまり への固定された連続写像を伴う位相空間のカテゴリを考える。このカテゴリのすべての対象は連続写像 であり、 からへの射影は への2つの写像と可換な連続写像である。関手が存在する。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

オブジェクトを に送信する。例えば、 が開集合の包含である場合、 ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

そして、ポイントを含める場合は、 ${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

はの茎である。自然同型性がある。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$、

これは、（エタレ空間の場合）が関数を表すことを示しています。 ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$は、射影写像が被覆写像となるように構築されます。代数幾何学において、被覆写像の自然な類似物はエタール射と呼ばれます。「étalé」に類似しているにもかかわらず、étale [etal]という単語はフランス語では異なる意味を持ちます。同じ普遍性を保持したまま、スキームやスキームの射に変換することが可能であり、これは準有限ではないため、一般にはエタール射ではありません。しかし、形式的にはエタールです。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

エタール空間による層の定義は、この記事の前半で示した定義よりも古いものです。数学解析学などの一部の数学分野では、今でもよく用いられています。

層コホモロジー

開集合が固定され、層が変数とみなされる文脈では、集合はしばしば次のように表記される。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

上で述べたように、この関数はエピモーフィズムを保存しない。その代わりに、層のエピモーフィズムは次の性質を持つ写像である：任意の切断に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

の像に制約が属するような開部分集合の集合である。しかし、自体は の像に属さなくてもよい。この現象の具体的な例としては、指数写像 ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

正則関数の層と非零正則関数との間の写像。この写像はエピモーフィズムであり、任意の非零正則関数（例えば 内の開部分集合上の）は、局所的に、すなわち適切な開部分集合に制限した後に、複素対数をとして持つことを意味する。しかし、 は大域的に対数を持つ必要はない。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

層コホモロジーはこの現象を捉えている。より正確には、アーベル群の層の正確な列に対して

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(つまり、核が であるエピモロジー) には、長い完全列 が存在する。この列により、最初のコホモロジー群は、とのセクション間の写像の非全射性の尺度となる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ $${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$$ ${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

層コホモロジーを構成する方法はいくつかある。グロタンディーク (1957) は、層コホモロジーをの導来関手として定義することで、これらの方法を導入した。この方法は理論的には満足のいくものだが、の入射的分解に基づいているため、具体的な計算にはほとんど役に立たない。ゴドマン分解は、もう一つの一般的なアプローチだが、実際にはアクセスできない。 ${\displaystyle \Gamma }$

層コホモロジーの計算

特に多様体上の層の文脈では、層コホモロジーはソフト層、細層、フラビー層（フランス語で「たるんだ」を意味するflasqueに由来するフラスク層とも呼ばれる）による分解を使って計算できることが多い。例えば、単位分割の議論は、多様体上の滑らかな関数の層がソフトであることを示す。 の高次コホモロジー群はソフト層に対しては消えるため、他の層のコホモロジーを計算する方法が得られる。例えば、ド・ラーム複体は任意の滑らかな多様体上の定数層の分解であるため、 の層コホモロジーはそのド・ラームコホモロジーに等しい。 ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

異なるアプローチは、チェフ・コホモロジーによるものである。チェフ・コホモロジーは層に対して開発された最初のコホモロジー理論であり、複素射影空間のコヒーレント層コホモロジーの計算などの具体的な計算に適している。^[11]これは、空間の開部分集合上のセクションを空間上のコホモロジー類に関連付ける。ほとんどの場合、チェフ・コホモロジーは導来関手コホモロジーと同じコホモロジー群を計算する。しかし、一部の異常な空間では、チェフ・コホモロジーは正しいが正しくない高次コホモロジー群を与える。これを回避するために、ジャン＝ルイ・ヴェルディエは超被覆を開発した。超被覆は正しい高次コホモロジー群を与えるだけでなく、上記の開部分集合を別の空間の特定の射で置き換えることを可能にする。この柔軟性は、ピエール・ドリーニュの混合ホッジ構造の構築など、いくつかの用途で必要となる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}}$

他の多くのコヒーレント層コホモロジー群は、や何らかの重み付き射影空間などのコホモロジーが既知の空間への空間の埋め込みを使って見つけられる。このようにして、これらの周囲空間上の既知の層コホモロジー群は層 と関連付けられ、 となる。例えば、射影平面曲線のコヒーレント層コホモロジーを計算することは簡単にできる。この空間における大きな定理の1つは、層コホモロジー群 に関連付けられたスペクトル列を使って見つけられるホッジ分解であり、これはドリーニュによって証明された。^{[12] [13]}本質的に、項を持つ -page ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

滑らかな 射影多様体 の層コホモロジーは退化します。つまり です。これはコホモロジー群 の標準ホッジ構造を与えます。後に、これらのコホモロジー群はグリフィス留数を用いて容易に明示的に計算できることが分かりました。ヤコビアンイデアルを参照してください。これらの定理は、代数多様体のコホモロジーに関する最も深い定理の一つである分解定理につながり、混合ホッジ加群への道を切り開きました。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$ ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

いくつかのコホモロジー群を計算するためのもう一つの明確なアプローチは、ボレル・ボット・ヴァイルの定理である。これは、旗多様体上のいくつかの直線束のコホモロジー群を、リー群の既約表現と同一視するものである。この定理は、例えば、射影空間およびグラスマン多様体上のすべての直線束のコホモロジー群を容易に計算するために用いることができる。

多くの場合、ポアンカレ双対性を一般化する層に対する双対性理論が存在する。グロタンディーク双対性とヴェルディエ双対性を参照のこと。

層の導来圏

ここで と表記される、ある空間X上のアーベル群の層のカテゴリの導来カテゴリは、次の関係により、層コホモロジーに対する概念的な避難所です。 ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

（すでにアーベル群の層のレベルで）の左随伴であるの間の随伴は、随伴を生じる。 ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$（のために）、 ${\displaystyle f:X\to Y}$

ここでは導来関手である。この導来関手はに対してとなるため、層コホモロジーの概念を包含する。 ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

と同様に、コンパクト台を持つ直接像も導出できる。次の同型性により、のファイバーのコンパクト台を持つコホモロジーを媒介変数化する。 ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}{\mathcal {F}})_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}).}$^[14]

この同型性は基底変換定理の一例である。もう一つの付則がある。

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

これまで考察してきたすべての関手とは異なり、ねじれ逆像関手（あるいは例外的逆像関手）は一般に導来圏のレベルでのみ定義される。つまり、この関手はアーベル圏間の何らかの関手の導来関手として得られるものではない。Xがn次元の滑らかな向き付け可能な多様体である場合、 ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[15]

この計算と、関数と双対性の両立性（ヴェルディエ双対性を参照）を用いることで、ポアンカレ双対性の高度な説明が得られる。スキーム上の準連接層の文脈では、連接双対性として知られる同様の双対性が存在する。

倒錯層は、（一般層自体には含まれない）層の複合体、すなわち層における特定の対象である。これらは特異点の幾何学を研究するための重要なツールである。^[16] ${\displaystyle D(X)}$

連接層の導来圏とグロタンディーク群

層の導来圏のもう一つの重要な応用は、スキームと表記される連接層の導来圏である。これはグロタンディークが導来圏とK理論を用いた交差理論^[17]の展開において用いたもので、部分スキームの交差積はK理論では次のように表される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{Coh}(X)}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

ここで、コヒーレント層は、その構造層によって与えられた - 加群によって定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

サイトとトポス

アンドレ・ヴェイユのヴェイユ予想は、有限体上の代数多様体に対するコホモロジー理論が存在し、それがリーマン予想に相当すると述べていた。複素多様体のコホモロジーはユークリッド位相における局所定数層の層コホモロジーとして定義することができ、これは正特性のヴェイユコホモロジー理論を定数層の層コホモロジーとして定義することを示唆している。しかし、そのような多様体上の唯一の古典的な位相はザリスキー位相であり、ザリスキー位相には開集合が非常に少なく、あまりに少ないため既約多様体上の任意のザリスキー定数層のコホモロジーは消えてしまう（次数ゼロを除く）。アレクサンドル・グロタンディークは、被覆の概念を公理化するグロタンディーク位相を導入することでこの問題を解決した。グロタンディークの洞察は、層の定義は位相空間の開集合のみに依存し、個々の点には依存しないというものでした。彼が被覆の概念を公理化すると、開集合は他の対象に置き換えることができるようになりました。前層は、これらの対象それぞれを、以前と同様にデータに取り込むもので、層とは、新しい被覆の概念に関して接着公理を満たす前層です。これにより、グロタンディークはエタールコホモロジーとℓ進コホモロジーを定義することができ、これらは最終的にヴェイユ予想の証明に使用されました。 ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

グロタンディーク位相を持つ圏はサイトと呼ばれる。サイト上の層の圏はトポスまたはグロタンディーク・トポスと呼ばれる。トポスの概念は後にウィリアム・ローヴェアとマイルズ・ティアニーによって抽象化され、数理論理学と関連する基本トポスを定義した。

歴史

層理論の起源を特定するのは困難であり、解析接続の考え方と同義である可能性もある^{（要説明） 。}コホモロジーの基礎研究から、層に関する独立した理論が確立されるまでには約15年を要した。

• 1936エドゥアルト・チェフは、単体複合体を開いた被覆に関連付けるための神経構造を導入しました。
• 1938年、ハスラー・ホイットニーは、JWアレクサンダーとコルモゴロフが初めてコチェーンを定義して以来の研究を要約し、コホモロジーの「現代的な」定義を与えた。
• 1943年ノーマン・スティーンロッドが局所係数を持つホモロジーに関する論文を発表した。^[18]
• 1945年、ジャン・ルレーは捕虜として行った研究を発表した。その研究は偏微分方程式理論への応用のための不動点定理を証明することを動機としており、これが層理論とスペクトル列の始まりとなった。^[19]
• 1947年、アンリ・カルタンはアンドレ・ヴェイユとの書簡の中で、層法を用いてド・ラーム定理を反証した（ド・ラーム＝ヴェイユ定理参照）。ルレーは自身の講義の中で、閉集合（後のカルパセス）を介した層定義を与えた。
• 1948 カルタンセミナーが初めて層理論を執筆。
• 1950年 カルタンセミナーによる「第二版」層理論：層空間（espace étalé）の定義が用いられ、茎構造を持つ。台と台付きコホモロジーが導入される。連続写像からスペクトル列が得られる。同時に、岡潔は（それと隣接する）多元複素変数におけるイデアル層という概念を導入した。
• 1951 カルタンセミナーは岡の研究に基づいて定理 A と Bを証明した。
• 1953年、解析理論における連接層の有限性定理はカルタンとジャン＝ピエール・セールによって証明され、^[20]セール双対性も同様に証明された。
• 1954年、セールの論文「代数幾何学の一貫性」 ^[21]（1955年発表）は、代数幾何学に層を導入した。このアイデアはすぐにフリードリヒ・ヒルツェブルッフによって活用され、ヒルツェブルッフは1956年に位相幾何学的手法に関する主要な著書を執筆した。
• 1955年、カンザスでの講義でアレクサンダー・グロタンディークはアーベル範疇と前層を定義し、入射的解決を使用することで、すべての位相空間上で層コホモロジーを導来関手として直接使用できるようにしました。
• 1956年オスカー・ザリスキの報告書「代数層理論」^[22]
• 1957年グロタンディークの東北論文^[23]はホモロジー代数を書き直し、グロタンディーク双対性（すなわち、おそらく特異な代数多様体に対するセール双対性）を証明した。
• 1957年以降：グロタンディークは代数幾何学の要請に沿って層論を拡張し、スキームとその上の一般層、局所コホモロジー、導来圏（ヴェルディエと共同）、グロタンディーク位相を導入した。また、ホモロジー代数における「六演算」という彼の影響力のある概念も登場した。
• 1958年、ロジェ・ゴデマンによる層理論に関する著書が出版された。この頃、佐藤幹夫は超関数を提唱し、これが層理論的な性質を持つことが判明した。

この時点で層は数学の主流となり、その用途は代数位相幾何学に限定されなくなった。後に、層の圏における論理は直観主義論理であることが発見された（この観察は現在ではしばしばクリプキ＝ジョイアル意味論と呼ばれるが、おそらく複数の著者によるものであると考えられる）。

参照

• コヒーレント束
• ガーベ
• スタック（数学）
• スペクトルの束
• 倒錯した束
• 空間の前層
• 構築可能な束
• ド・ラームの定理

注記

1. アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー（2006年4月6日）『The Geometry of Schemes』、GTM、ニューヨーク、NY：シュプリンガー、pp.  11– 18、ISBN 978-0-387-22639-2
2. テニスン、BR（1975）、層理論、ケンブリッジ大学出版局、MR  0404390
3. ブレドン (1997、第 V 章、§1)
4. Demailly, Jean-Pierre. 「複素解析的および微分幾何学」（PDF） . 2020年8月28日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
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8. SGA 4 II 3.0.5
9. アイヴァーセン（1986年、第7章）
10. ラマナン（2005）
11. Hartshorne（1977）、定理III.5.1。
12. ドリーニュ、ピエール (1971)。 「テオリ・ド・ホッジ：Ⅱ」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。40 : 5–57。土井:10.1007/BF02684692。S2CID  118967613。
13. ドリーニュ、ピエール (1974)。「テオリ・ド・ホッジ：III」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。44 : 5– 77。土井:10.1007/BF02685881。S2CID  189777706。
14. Iversen (1986, 第7章、定理1.4)
15. 柏原とシャピラ (1994、第 III 章、§3.1)
16. デ・カタルド＆ミリオリーニ (2010)
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