Mathematical concept
代数幾何学 では、 既存の スキーム同士を接着写像によって 接着する ことで、新しい スキーム （例えば 代数多様体 ）を得ることができます 。
声明 （おそらく無限個の）スキーム族が存在し 、ペア に対して 、開部分集合 と同型 が存在するとする 。ここで、同型が以下の意味で両立するとする：各 に対して 、 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} i , j {\displaystyle i,j} U i j {\displaystyle U_{ij}} φ i j : U i j → ∼ U j i {\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}{\overset {\sim }{\to }}U_{ji}} i , j , k {\displaystyle i,j,k}
φ i j = φ j i − 1 {\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{ji}^{-1}} 、 φ i j ( U i j ∩ U i k ) = U j i ∩ U j k {\displaystyle \varphi _{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}} 、 φ j k ∘ φ i j = φ i k {\displaystyle \varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}=\varphi _{ik}} の上 、 U i j ∩ U i k {\displaystyle U_{ij}\cap U_{ik}} すると、スキーム X が存在し、 それと共に [1] ψ i : X i → X {\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to X}
ψ i {\displaystyle \psi _{i}} はX の開集合への同型であり 、 X = ∪ i ψ i ( X i ) , {\displaystyle X=\cup _{i}\psi _{i}(X_{i}),} ψ i ( U i j ) = ψ i ( X i ) ∩ ψ j ( X j ) , {\displaystyle \psi _{i}(U_{ij})=\psi _{i}(X_{i})\cap \psi _{j}(X_{j}),} ψ i = ψ j ∘ φ i j {\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}} の上 。 U i j {\displaystyle U_{ij}}
例
射影直線 射影直線は、一方の直線上の 原点と錯視直線が、 もう一方の直線上の錯視直線と原点にそれぞれ対応するように、2 つのアフィン直線を接着することによって得られます。 ∞ {\displaystyle \infty } ∞ {\displaystyle \infty } を体k 上のアフィン直線の 2 つのコピーとする 。 を 原点の補集合とし、 同様に定義される。Z を で与えられる 同型に沿っ て貼り合わせることで得られるスキームとする 。Z の開集合と同一 視する 。 [2] ここで、アフィン環は どちらも 1 変数の多項式環であり 、 X = Spec ( k [ t ] ) ≃ A 1 , Y = Spec ( k [ u ] ) ≃ A 1 {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}} X t = { t ≠ 0 } = Spec ( k [ t , t − 1 ] ) {\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])} Y u = { u ≠ 0 } {\displaystyle Y_{u}=\{u\neq 0\}} X , Y {\displaystyle X,Y} X t ≃ Y u {\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}} t − 1 ↔ u {\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u} X , Y {\displaystyle X,Y} Γ ( X , O Z ) , Γ ( Y , O Z ) {\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})}
Γ ( X , O Z ) = k [ s ] {\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]} そして Γ ( Y , O Z ) = k [ s − 1 ] {\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]} ここで、2つの環は関数体の部分環として見ることができます 。しかし、これは を意味します 。なぜなら、定義により、 は、 そのアフィン環が上記の形である2つの開アフィンチャートによって覆われているからです。 k ( Z ) = k ( s ) {\displaystyle k(Z)=k(s)} Z = P 1 {\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{1}} P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
原点が2倍のアフィン直線 を上記の例のようにみなします 。ただし今回は、 によって与えられた 同型性に沿って 接着することで得られるスキームを表すものとします 。 [3] したがって、幾何学的には、は原点を除く2本の平行線を同一視することで得られます。つまり、これは原点が2倍になったアフィン直線です。（ Z は 分離されたスキーム で は ない ことが示されます 。）対照的に、2本の直線が、一方の直線の原点がもう一方の直線の（錯覚的な） 無限遠点 に対応するように接着された場合、つまり同型性 を使用すると 、結果として得られるスキームは、少なくとも視覚的には、射影直線 になります 。 X , Y , X t , Y u {\displaystyle X,Y,X_{t},Y_{u}} Z {\displaystyle Z} X , Y {\displaystyle X,Y} X t ≃ Y u {\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}} t ↔ u {\displaystyle t\leftrightarrow u} Z {\displaystyle Z} t − 1 ↔ u {\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u} P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
繊維製品とスキームのプッシュアウト スキームのカテゴリは有限プルバックと、場合によっては有限プッシュアウトを許容する。 [4]これらはどちらもアフィンスキームを接着することによって構成される。アフィンスキームの場合、ファイバー積とプッシュアウトは、代数の テンソル積 とファイバー平方 に対応する。
参考文献 ^ Hartshorne 1977、第II章、演習2.12。 ^ ヴァキル 2017、§4.4.6。 ^ ヴァキル 2017、§4.4.5。 ^ 「セクション37.14（07RS）：スキームのカテゴリにおけるプッシュアウト、I - スタックプロジェクト」。
さらに読む 
![{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835b7b52116753ac74fa32f9ffe6072c0473e258)
![{\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a938633aaffe244792f28603607a7da942aab710)
![{\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7464224e629a5d8fde6ba9a3f56bfff60dacc11e)
![{\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6da597db8890837ce0d94865d3f856e5ae0cd42)
