黄金角

黄金比を円に適用して作られた角度

黄金角とは、円を構成する2つの弧が黄金比にあるときに、小さい方の弧（赤い弧）が囲む角度のことである。

幾何学において、黄金角とは、円周を黄金比に従って分割して作られる2 つの角度のうち小さい方の角度です。黄金比とは、小さい方の弧の長さと大きい方の弧の長さの比が、大きい方の弧の長さと円周の比と同じになるように 2 つの弧に分割された角度です。

代数的に、a+bを円の円周とし、これをaの長さの長い弧とbの長さの短い弧に分割して、

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

黄金角は、長さbの小さい方の弧によって囲まれる角度です。その大きさはおよそ137.507 764 050 037 854 646 3487 ...° OEIS : A096627またはラジアン 2.399 963 229 728 653 32 ... OEIS : A131988 .

この名前は黄金角が黄金比 φと関連していることに由来する。黄金角の正確な値は

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}}$

または

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},}$

ここで、同値性は黄金比のよく知られた代数的性質から導き出されます。

黄金角の正弦と余弦は超越数であるため、定規とコンパスを使って黄金角を構成することはできません。^[1]

導出

上記の条件を前提とすると、黄金比はφ  =  a / bに等しくなります。

ƒ を黄金角によって囲まれる円周の割合、またはそれと同等に、黄金角を円の角度で割った値とします。

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

しかし、

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

すると

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

これは、 φ  ^{2 の}黄金角が円に収まると言うことと同じです。

したがって、黄金角が占める円の割合は

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

したがって、黄金角g は次のように度単位で数値的に近似できます。

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

またはラジアンで次のように表します。

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

自然の黄金角

いくつかの花では、連続する小花の間の角度が黄金角です。

次の種子が前の種子から 1 つの黄金角だけ離れた方向を向いている中央分裂組織からのヒマワリの種子の産卵をシミュレートするアニメーション。

黄金角は葉序理論において重要な役割を果たします。例えば、ヒマワリの花を分ける角度は黄金角です。^[2]パターンの分析により、黄金角は個々の原基を分ける角度に非常に敏感であり、フィボナッチ角は最適な密度で葉序を形成することが示されています。 ^[3]

花蕾の発達に関する妥当な物理的メカニズムの数学的モデル化は、平面上の非線形偏微分方程式の解から自発的に生じるパターンを示している。^{[4] [5]}

参照

• 137（数字）
• 138（数字）
• 黄金比
• フィボナッチ数列

参考文献

1. Freitas, Pedro J. (2021-01-25). 「黄金角は構築可能ではない」. arXiv : 2101.10818v1 [math.HO].
2. ジェニファー・チュー (2011年1月12日). 「Here comes the sun」. MITニュース. 2016年4月22日閲覧。
3. Ridley, JN (1982年2月). 「ヒマワリの頭部におけるパッキング効率」. Mathematical Biosciences . 58 (1): 129– 139. doi :10.1016/0025-5564(82)90056-6.
4. Pennybacker, Matthew; Newell, Alan C. (2013-06-13). 「葉序、押し出されたパターン形成前線、そして最適なパッキング」(PDF) . Physical Review Letters . 110 (24) 248104. arXiv : 1301.4190 . Bibcode :2013PhRvL.110x8104P. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.248104 . ISSN  0031-9007. PMID  25165965.
5. 「ひまわりとフィボナッチ：効率性モデル」ThatsMaths . 2014年6月5日. 2020年5月23日閲覧。

• Vogel, H (1979). 「ヒマワリの頭を作るためのより良い方法」.数理生物科学. 44 ( 3–4 ): 179– 189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.
• プルシンキエヴィチ、プシェミスワフ、リンデンマイヤー、アリスティド(1990). 『植物のアルゴリズム的美』 シュプリンガー出版社. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8。

外部リンク

• MathWorldのゴールデンアングル

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