黄金比

辺の長さが黄金比の長方形

⁠1つの/b⁠ = ⁠a+b/1つの⁠ = φ。

幾何学において、黄金長方形とは、辺の長さが黄金比、または⁠ ⁠が⁠ ⁠ 1.618または⁠ ⁠ 89/55にほぼ等しい長方形です。 ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1,}$ ${\displaystyle \varphi :1,}$ ${\displaystyle \varphi }$

黄金長方形は特殊な形の自己相似性を示します。つまり、長い辺に正方形を追加したり、短い辺から正方形を削除したりしても、結果は黄金長方形になります。

工事

ピタゴラスの定理によれば、正方形の半分を分ける対角線は、黄金比の長方形の角を正方形に加えた円の半径に等しい。^{[1]したがって、黄金比の長方形は}定規とコンパスだけで4つのステップで作図できる。

1. 正方形を描く
2. 正方形の一辺の中点から反対側の角まで線を引く
3. その線を半径として長方形の高さを定義する円弧を描きます
4. 黄金比を完成させる

この形状の特徴は、正方形を追加（または削除）すると、最初の長方形と同じアスペクト比を持つ別の黄金長方形が得られることです。正方形の追加または削除は無限に繰り返すことができ、その場合、正方形の対応する頂点は、この特性を持つ唯一の対数螺旋である黄金螺旋上の点の無限列を形成します。埋め込まれた黄金長方形の最初の2つの次数の間に引かれた対角線は、埋め込まれたすべての黄金長方形の対角線の交点を定義します。クリフォード・A・ピックオーバーはこの点を「神の目」と呼びました。^[2]

黄金の渦

黄金比の長方形の渦巻き。

正方形を、 1:2の比で4つの合同な 直角三角形に分割し、これらを黄金比の長方形の形に配置し、その長方形を係数⁠ ⁠で拡大縮小し、中心を⁠ ⁠回転させて囲みます。この作図を、縮小していくことで繰り返すと、隣接する直角三角形が無限に4つ並び、収束する黄金比の長方形の渦巻きを描くことになります。^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$ ${\displaystyle \arctan({\tfrac {1}{2}}).}$

隣接する三角形の頂点を通る対数螺旋は極傾斜 を持ちます。一対の直立した灰色の三角形の間にある平行四辺形は、比が ⁠ ⁠ の直交対角線を持ち、したがって黄金比の菱形になります。 ${\displaystyle k={\frac {\ln(\varphi )}{\arctan({\tfrac {1}{2}})}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$

三角形の脚の長さが1と2 の場合、各離散螺旋の長さは です。各螺旋領域内の三角形の面積と周囲の長さを合計すると、 ⁠ ⁠ (灰色) と⁠ ⁠ (黄色の領域) に等しくなります。 ${\displaystyle \varphi ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-n}.}$ ${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n};}$ ${\displaystyle 5+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 4\varphi }$

歴史

黄金比の比率は、バビロニア のシャマシュの粘土板 （紀元前888-855年頃）からすでに観察されていましたが^[4]、マリオ・リヴィオは古代ギリシャ以前の黄金比に関する知識は「疑わしい」と述べています^{[5] 。}

リヴィオによれば、1509年にルカ・パチョーリが『神の比例』を出版して以来、「黄金比は、あまり数学的ではない、実際に使える理論的な論文の中で芸術家たちに利用されるようになった」という。^[6]

ル・コルビュジエが1927年に設計したヴィラ・スタインは、黄金比を一部に取り入れた建築物であり、黄金比長方形に近い寸法を特徴としている。^[7]

正多角形と多面体との関係

ユークリッドは、黄金長方形の別の構成法として、合同な円で囲まれた3つの多角形、すなわち正十角形、正六角形、正五角形を与えた^{。これら3つの多角形の辺の長さはそれぞれa 2 + b 2} = c 2を満たすため、これらの長さの線分 は 直角三角形 を 形成^する（ピタゴラスの定理の逆により）。正十角形の辺の長さに対する正六角形の辺の長さの比は黄金比であるため、この三角形は黄金長方形の半分を形成する。^[8]

正二十面体の2つの対角辺の凸包は黄金長方形を形成する。このようにして、正二十面体の12の頂点は互いに直交する3つの黄金長方形に分解することができ、その境界はボロミアン環のパターンで結ばれる。^[9]

黄金三角形の角度との関係

黄金比の範囲内のφのべき乗。

上に示したように、高さ1、長さ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$、対角線の長さ の黄金比長方形が描かれていると仮定します。対角線上の三角形の高さは、各垂直フィートが対角線を⁠ ⁠で分割する比率です。 ${\displaystyle {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}\,;}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}.}$

対角線と正方形の内辺の交点を通る水平線を引くと、元の黄金長方形と対角線に沿った2つの拡大されたコピーの線形サイズは、正方形と対角線の反対側の長方形の両方の面積が等しい比になる。 [ 10 ^] ${\displaystyle \varphi ^{2}:\varphi :1\,,}$ ${\displaystyle \varphi ^{-2}.}$

頂点 Aを基準として、高度UとVのフィートの座標はそれぞれ、およびです。線分⁠ ⁠の長さは高度⁠ ⁠に等しいです。 ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sqrt {5}}},{\tfrac {1}{\varphi {\sqrt {5}}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\varphi ^{2}}{\sqrt {5}}},{\tfrac {\varphi }{\sqrt {5}}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {UV}}}$ ${\displaystyle h.}$

図をUとVを通る垂直線でさらに細分化すると、対角線とその部分の長さは、黄金三角形の角度である72度と36度の引数の三角関数として表すことができます。

黄金長方形の対角線は、入れ子になった五角形を表します。AU :SVの比はφ ²です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}+{\overline {AS}}&=\tan(72)\\{\overline {AB}}={\sqrt {\varphi ^{2}+1}}&=2\sin(72)\\{\overline {AV}}=\varphi /{\overline {AS}}&=\cot(36)\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}&=2\sin(36)\\{\overline {UV}}=1/{\overline {AS}}&=\cot(36)/\varphi \\{\overline {SB}}={\overline {AS}}/\varphi &=\tan(36)\\{\overline {US}}=2/(\varphi {\overline {AB}})&=2\cot(72)\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\varphi \cot(72)\\{\overline {UV}}-{\overline {AU}}&=\cot(72)\\{\overline {SV}}=(2-\varphi )/{\overline {AB}}&=\cot(72)/\varphi ,\end{aligned}}}$

⁠ ⁠と ${\displaystyle \varphi =2\cos(36).}$

対角線の長さと三角関数の値はどちらも4次数体の要素である。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\right).}$

⁠ ⁠辺を持つ黄金菱形の対角線の長さは⁠ ⁠と⁠ ⁠ です。辺の長さを持つ正五角形の面積は⁠ ⁠ です。5本の対角線によって五角形は黄金三角形とグノモンに分割され、中央には上向きの目盛り付きの複製が存在します。正五角形は辺の長さと黄金三角形の角度によって定義されるため、すべての測定値は⁠ ⁠の累乗と黄金長方形の対角線で表すことができます（上図参照）。^[11] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {UV}}}$ ${\displaystyle {\overline {AU}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{\varphi }}=\sec(36)}$ ${\displaystyle 5{\overline {AU}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$

黄金比長方形の対角線上の間隔。

対角線部分を音楽的な弦の長さとして解釈すると、対応する10個の音程が得られ、そのうちの1つはオクターブで倍音となる。対数スケールで音程をマッピングすると（黄金オクターブは ⁠ ⁠ に等しい）、平均律の半音、短3度、そして11度の範囲に1つの長2度が現れる。音楽用語での分析は、 ⁠ ⁠ に比例する唯一の例外的な音程によって裏付けられ、これは驚くべき1セントの精度で倍音7度に近似する。^[b] ${\displaystyle \varphi ^{4}}$ ${\displaystyle {\overline {US}}}$

この 10 音のセットは、ペンタトニック スケールの2 つのモード、つまり回文の「エジプト」モード (赤い点、中国のrui bin diao ^ⓘ古琴チューニング) と、堂々とした「ブルース マイナー」モード (青い点、中国のman gong diao ^ⓘチューニング) に分割できます。

参照

• 黄金三角形- 黄金比の辺を持つ三角形
• 黄金楕円- 2つの半軸の縦横比が黄金比に一致する楕円
• ケプラーの三角形 – 黄金比に関連する直角三角形
• 黄金 比の対角線を持つ菱形
• 5の平方根– √5とφの代数的関係
• 長方形の切り取り方 – 長方形から正方形を切り取る

注記

1. ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}})^{2}+1^{2}={\tfrac {5}{2^{2}}}}$
2. 現代の12等分音律には存在しないこの音程は、 1/4コンマ・ミーントーン音律では正確に表現されます。基音Dに対して、^{周波数比が5 5/2} /2 ^{5である2つ}の増6度音程、E♭ - c#とB♭ - g#は、比率7/4からわずか3セント短いだけです。

参考文献

1. ポサマンティエ、アルフレッド・S. ; レーマン、イングマール (2011). 『栄光の黄金比』 ニューヨーク:プロメテウス・ブックスp. 11. ISBN 9-781-61614-424-1。
2. ピックオーバー、クリフォード・A. (1997). 『神の織機：時間の果ての数学的タペストリー』 ニューヨーク：プレナム・プレス. pp.  167– 175. ISBN 0-3064-5411-4。
3. ヴァルザー、ハンス (2022). Spiralen、Schraubenlinien und spiralartige Figuren (ドイツ語)。ベルリン、ハイデルベルク: Springer Spektrum。 pp.  75–76 .土井:10.1007/978-3-662-65132-2。ISBN 978-3-662-65131-5。
4. オルセン、スコット (2006). 『黄金比：自然の最大の秘密』グラストンベリー：ウッデンブックス、p. 3. ISBN 978-1-904263-47-0。
5. Livio, Mario (2014). 「芸術における黄金比：黄金比を大いに参考にする」（PDF） p. 6. 2019年9月11日閲覧。
6. リヴィオ、マリオ(2002). 『黄金比：世界で最も驚くべき数、ファイの物語』 ニューヨーク：ブロードウェイ・ブックス136ページ. ISBN 0-7679-0816-3。
7. ル・コルビュジエ『モデュロール』35ページ、パドヴァン、リチャード（1999年）『プロポーション：科学、哲学、建築』ロンドン：テイラー・アンド・フランシス、320ページより引用。ISBN 0-419-22780-6。「絵画と建築デザインの両方に黄金比が使われています」。
8. Joyce, David E. (2014). 「ユークリッド原論 第13巻 命題10」 クラーク大学数学部. 2024年9月13日閲覧。
9. バーガー、エドワード・B. ;スターバード、マイケル・P. (2005). 『数学の心：効果的な思考への招待』 ニューヨーク：シュプリンガー. p. 382. ISBN 978-1931914413。
10. Crilly, Tony (1994). 「超黄金長方形」. The Mathematical Gazette . 78 (483): 320– 325. doi :10.2307/3620208. JSTOR  3620208.における構築法に類似。
11. Weisstein, Eric W.「ペンタグラム」。MathWorld。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「黄金長方形」。マスワールド。
• 黄金比と美学の物理学
• 黄金長方形から黄金四辺形へ
• ハインツ・ボーレンの833セントφスケール
• アービン・ウィルソンの再帰的シーケンススケール

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