次数付きベクトル空間

数学において、次数付きベクトル空間とは、次数またはグラデーションという追加の構造を持つベクトル空間です。これは、ベクトル空間をベクトル部分空間の直和に分解したもので、通常は整数で添え字が付けられます。

「純粋」ベクトル空間の場合、この概念はホモロジー代数で導入されており、追加の構造を持つ次数付きベクトル空間である次数付き代数に広く使用されています。

整数グラデーション

を非負整数の集合とします。次数付きベクトル空間は、しばしば接頭辞なしで単に次数付きベクトル空間と呼ばれ、ベクトル空間 $V$ と、次の形式の直和への分解を組み合わせたものです。 $\mathbb {N}$ ${\textstyle \mathbb {N} }$ $\mathbb {N}$

V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}

ここで、それぞれはベクトル空間です。与えられた n に対して、の元は次数nの同次元と呼ばれます $V_{n}$ $V_{n}$

次数付きベクトル空間は一般的です。例えば、 1つまたは複数の変数の多項式全体の集合は次数付きベクトル空間を形成し、ここでn次の同次元はn次の単項式の線型結合とまったく同じです。

一般的な次数

次数付きベクトル空間の部分空間は、自然数の集合で添え字を付ける必要はなく、任意の集合Iの元で添え字を付けることができます。I次数付きベクトル空間Vは、集合Iの元iで添え字を付けられた部分空間の直和への分解を伴うベクトル空間です。

V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.

したがって、上で定義した -次数ベクトル空間は、集合Iが（自然数全体の集合）であるI -次数ベクトル空間に過ぎません。 $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

Iが環（元 0 と 1）である場合は、物理学において特に重要です。 -次数ベクトル空間はスーパーベクトル空間とも呼ばれます。 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

準同型

一般の添字集合Iに対して、2つのI次数付きベクトル空間f : V → W間の線型写像は、同次元の次数を保存する場合、次数付き線型写像と呼ばれます。次数付き線型写像は、次数付きベクトル空間の準同型写像（または射）、あるいは同次線型写像とも呼ばれます。

f(V_{i})\subseteq W_{i}

I内のすべてのiに対して。

固定された体と固定された添字集合に対して、次数付きベクトル空間は、その射が次数付き線型写像であるカテゴリを形成します。

Iが可換モノイド（自然数など）である場合、より一般的に、 I内の任意の次数iの同次な線型写像を、次の性質によって定義できます。

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

I内のすべてのj に対して、

ここで「+」はモノイド演算を表す。さらに、I が消去性を満たし、それが生成するアーベル群Aに埋め込むことができる場合（例えば、Iが自然数の場合の整数）、同じ性質によってAにおいてi次同次な線型写像を定義することもできる（ただし、ここでは「+」はAにおける群演算を表す）。具体的には、Iのiに対して、線型写像が − i次同次となるのは、

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

Iのすべてのjに対して、

f(V_{j})=0\,

j − iがIにない場合。

ベクトル空間からそれ自身への線型写像の集合が結合代数（ベクトル空間の自己準同型代数）を形成するのと同様に、空間からそれ自身への同次線型写像の集合は、次数をIに制限するか、群Aの任意の次数を許容するかにかかわらず、それらの添え字集合上の結合次数付き代数を形成する。

次数付きベクトル空間上の演算

ベクトル空間上のいくつかの演算は、次数付きベクトル空間に対しても定義できる

二つのI次ベクトル空間VとW が与えられ、それらの直和は、次数

( V ⊕ W ) _i = V _i ⊕ W _{i .}

Iが半群である場合、 2つのI次数付きベクトル空間VとWのテンソル積は、次数付きベクトル空間VとWの別のI次数付きベクトル空間である。 $V\otimes W$

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.

ヒルベルト・ポアンカレ級数

すべてのヒルベルト・ポアンカレ級数が有限次元である - 次数付きベクトル空間が与えられたとき、そのヒルベルト・ポアンカレ級数は形式的冪級数である。 $\mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N} ,$

\sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.

上記の式から、次数付きベクトル空間（各次数において有限次元）の直和のヒルベルト・ポアンカレ級数とテンソル積のヒルベルト・ポアンカレ級数は、それぞれ対応するヒルベルト・ポアンカレ級数の和と積である。

参照

参考文献

Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5第2章、第11節、第3章