ケルビン・ヘルムホルツ機構

収縮する恒星または惑星のエネルギー放出のプロセス

ケルビン・ヘルムホルツ機構は、恒星や惑星の表面が冷却される際に生じる天文現象です。冷却によって内部圧力が低下し、結果として恒星や惑星は収縮します。この圧縮によって、恒星／惑星の中心核が加熱されます。この機構は、木星、土星、そして中心部の温度が水素核融合を起こすほど高くない褐色矮星で顕著です。木星はこの機構を通じて太陽から受け取るエネルギーよりも多くのエネルギーを放射していると推定されていますが、土星はそうではないかもしれません。木星はこの過程によって約1 mm/年の速度で収縮すると推定されており^{[1] 、これは7.485 W/m 2}の内部熱流束に相当します^[2]。

このメカニズムは、 19世紀後半にケルビンとヘルムホルツによって太陽のエネルギー源を説明するために提唱されました。19世紀半ばまでにエネルギー保存則が認められ、この物理法則の一つの帰結として、太陽が輝き続けるためには何らかのエネルギー源が必要であることが示されました。当時、原子核反応は未知であったため、太陽エネルギー源の主な候補は重力収縮でした。

しかし、アーサー・エディントン卿らはすぐに、このメカニズムで利用できるエネルギーの総量では、地質学的および生物学的証拠が示唆する地球の年齢の数十億年ではなく、数百万年しか太陽が輝けないことに気付きました。（ケルビン自身は、地球の年齢は数十億年ではなく、数百万年であると主張していました。）太陽のエネルギーの本当の源は、1930年代にハンス・ベーテによって核融合であることが示されるまで不確かなままでした。

ケルビン・ヘルムホルツ収縮によって発生する電力

太陽の収縮によって生じる重力による位置エネルギーが太陽のエネルギー源となるという理論が立てられました。このようなメカニズムによって太陽から放出されるエネルギーの総量を計算するために（均一な密度を仮定）、太陽は同心円状の殻で構成された完全な球体に近似されました。そして、重力による位置エネルギーは、中心から外半径までのすべての殻の積分として求めることができます。

ニュートン力学による重力ポテンシャルエネルギーは次のように定義される: ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},}$

ここでGは重力定数であり、この場合の2つの質量は、幅drの薄い殻の質量と、半径r内に含まれる質量であり、0と球全体の半径の間で積分すると次の式が得られる。^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,}$

ここで、Rは球の外半径、m ( r )は半径rに含まれる質量である。積分を満たすようにm ( r )を体積と密度の積に置き換えると、^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.}$

球の質量で表すと、全重力位置エネルギーは^{[3]のように表される。}

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}.}$

ビリアル定理によれば、平衡状態にある重力結合系の全エネルギーは、時間平均した位置エネルギーの半分である。

${\displaystyle U_{r}={\frac {|\langle U\rangle |}{2}}={\frac {3GM^{2}}{10R}}.}$

均一な密度は正しくありませんが、太陽の質量と半径の既知の値を入力し、それを太陽の既知の光度で割ることで、恒星の予想年齢の大まかな推定値を得ることができます（太陽のエネルギー出力は常に一定ではないため、これには別の近似値が必要になることに注意してください）。^[3]

${\displaystyle {\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.828\times 10^{26}~{\text{W}}}}=2.874\times 10^{14}~\mathrm {s} \,\approx 8\,900\,000~{\text{years}},}$

太陽の光度はここにあります。この値は、化学エネルギーなど他の多くの物理的方法よりもかなり長い期間にわたって十分なエネルギーを与えますが、地球の年齢が数十億年であるという地質学的および生物学的証拠を考えると、明らかにまだ十分ではありませんでした。最終的に、熱核エネルギーが恒星のエネルギー出力と長寿命の原因であることが発見されました。^[4] ${\displaystyle L_{\odot }}$

木星の内部熱流束は、全エネルギーの時間に対する微分で与えられる。

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}={\frac {-3GM^{2}}{10R^{2}}}{\frac {dR}{dt}}=-1.46\times 10^{28}~{\text{[J/m]}}~\times {\frac {dR}{dt}}~{\text{[m/s]}}.}$

を縮小すると、 ${\textstyle -1\mathrm {\frac {~mm}{yr}} =-0.001\mathrm {\frac {~m}{yr}} =-3.17\times 10^{-11}~\mathrm {\frac {m}{s}} }$

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}=4.63\times 10^{17}~{\text{W}},}$

木星の面積全体で割ると 、 ${\displaystyle S=6.14\times 10^{16}~\mathrm {m^{2}} }$

${\displaystyle {\frac {1}{S}}{\frac {dU_{r}}{dt}}=7.5~\mathrm {\frac {W}{m^{2}}} .}$

もちろん、通常はこの式を逆方向に計算します。内部熱の比流束の実験値 7.485 W/m ^{2は、2000 年 12 月 30 日の接近通過時に}カッシーニ探査機がその場で行った直接​​測定から得られ、収縮量は約 1 mm/年となり、実際の測定の限界をわずかに下回る数値となります。

参考文献

1. パトリック・G・J・アーウィン（2009年）『太陽系の巨大惑星：大気、組成、構造』第2版、シュプリンガー、  pp.4-5、ISBN 978-3-642-09888-8。
2. Liming, Li; et al. (2018). 「木星における太陽エネルギーの吸収低下と内部熱の増加」Nature Communications . 9 (3709): 1– 10. Bibcode :2018NatCo...9.3709L. doi : 10.1038/s41467-018-06107-2 . PMC 6137063 . PMID  30213944. 
3. Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (2007). 『現代天体物理学入門（第2版）』Pearson Addison Wesley. pp.  296– 298. ISBN 978-0-8053-0402-22015年12月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。
4. Pogge, Richard (2006年1月15日). 「ケルビン・ヘルムホルツ機構」.講義12: 太陽が輝く限り.オハイオ州立大学. 2009年11月5日閲覧.

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