Shortest distance between two points on the surface of a sphere
球面上の 2 点 P と Q 間の大円距離 (赤で描画) を示す図。2 つの 対蹠点 u と v も表示されます。 大円 距離 、 正円距離 、あるいは 球面距離とは、 球面 上の 2 点間の 距離を 、それらの間の 大 円弧に沿って測ったものです 。この弧は、球面上の2点間の最短経路です。（ちなみに、球面内部を通る最短経路は、 2点間の 弦です。）
曲面上 では、 直線 の概念は、より一般的な 測地線 の概念に置き換えられます。測地線 とは、曲面に対して局所的に直線となる曲線です。球面上の測地線は大円であり、その中心は球の中心と一致する必要があります。
球面上の2つの異なる点が正反対 （対蹠）でない場合 、両方とも唯一の大円上にあり、その大円は2つの弧に分割されます。短い方の弧の長さが、2点間の大円距離です。この弧の長さは、 2点間の 中心角に比例します。中心角を ラジアン で測定した場合、球の 半径 で拡大することで弧の長さを得ることができます。2つの対蹠点は両方とも無限個の大円上にあり、それぞれの大円は 半径の π 倍の長さの2つの弧に分割されます。
大圏距離の決定は、より一般的な 大圏航法 の問題の一部であり、終点と中間地点における方位角の計算も含まれます。地球はほぼ球体であるため 、地球上の地点の経度と測地緯度に適用される大圏距離の公式の精度 は 約 0.5 % 以内です。 [1]
2点PとQの間の中心角Δσの図解。λとφはそれぞれPの経度と緯度である。 2点1と2の 地理的な 経度 と 緯度 をそれぞれ と、 それらの絶対差をとします。すると 、それらの間の 中心角は 、一方の極を球面上の補助的な3番目の点として使用すると、 球面余弦定理 によって与えられます。 [2] λ 1 , ϕ 1 {\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}} λ 2 , ϕ 2 {\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}} Δ λ , Δ ϕ {\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi } Δ σ {\displaystyle \Delta \sigma }
Δ σ = arccos ( sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos Δ λ ) . {\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.} この問題は通常、中心角を求めることで表現されます 。この角度をラジアンで与えれば、半径 r の球面上の実際の 弧の長さ dは 次のように簡単に計算できます。 Δ σ {\displaystyle \Delta \sigma }
d = r Δ σ . {\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}
中心角と弦長の関係 中心角は 単位球の 弦の 長さと関係があります 。 Δ σ {\displaystyle \Delta \sigma } Δ σ c {\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}
Δ σ = 2 arcsin Δ σ c 2 , Δ σ c = 2 sin Δ σ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}} 短距離近似（ ）の場合、 | Δ σ c | ≪ 1 {\displaystyle |\Delta \sigma _{\text{c}}|\ll 1}
Δ σ = Δ σ c ( 1 + 1 24 ( Δ σ c ) 2 + ⋯ ) . {\displaystyle \Delta \sigma =\Delta \sigma _{\text{c}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left(\Delta \sigma _{\text{c}}\right)^{2}+\cdots \right).}
浮動小数点 精度の低いコンピュータシステムでは 、球面余弦定理の公式は、 距離が短い場合、大きな 丸め誤差が生じる可能性があります（地球表面上で2点が1キロメートル離れている場合、中心角の余弦は0.99999999に近くなります）。しかし、現代の 64ビット浮動小数点数 では、上記の球面余弦定理の公式は、地球表面上で数メートルを超える距離では深刻な丸め誤差を生じません。 [3] ハーバー サイン定理は 、弦長の関係を用いることで、短い距離に対して 数値的に良好な条件を満たします 。 [4]
Δ σ = archav ( hav ( Δ ϕ ) + ( 1 − hav ( Δ ϕ ) − hav ( ϕ 1 + ϕ 2 ) ) hav ( Δ λ ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}} 歴史的に、この式の使用は、半正弦関数の表とが利用可能であったことにより簡素化さ れ まし た 。 hav θ = sin 2 θ 2 {\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}} archav x = 2 arcsin x {\displaystyle \operatorname {archav} x=2\arcsin {\sqrt {x}}}
以下に弦の長さを明示的に表す同等の式を示します。
Δ σ c = 2 sin 2 ( Δ ϕ 2 ) + cos ϕ 1 ⋅ cos ϕ 2 ⋅ sin 2 ( Δ λ 2 ) , = 2 ( sin Δ λ 2 cos ϕ m ) 2 + ( cos Δ λ 2 sin Δ ϕ 2 ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cdot \cos {\phi _{2}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\ ,\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}\ ,\end{aligned}}} どこ 。 ϕ m = 1 2 ( ϕ 1 + ϕ 2 ) {\displaystyle \phi _{\text{m}}={\tfrac {1}{2}}(\phi _{1}+\phi _{2})}
この式は球面上のほとんどの距離に対して正確ですが、対蹠点という特殊な（そしてやや特殊な）ケースでは、丸め誤差が生じます。すべての距離に対して正確な式は、 長軸と短軸が等しい楕円体に対する ヴィンセントの式の以下の特殊なケースです。 [5]
Δ σ = atan2 ( ( cos ϕ 2 sin Δ λ ) 2 + ( cos ϕ 1 sin ϕ 2 − sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos Δ λ ) 2 , sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos Δ λ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma ={\operatorname {atan2} }{\Bigl (}&{\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}},\\&\quad {\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }{\Bigr )},\end{aligned}}} ここで 、 は atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)} 2つの引数を持つ逆正接 です 。atan2を使用すると、正しい象限が選択されます。
ベクター版 同様の式の別の表現は、 位置を記述するために緯度と経度の代わりに 法線ベクトルを使用し、3D ベクトル 代数、 ドット積 、 クロス積 、またはそれらの組み合わせを使用して求められます。 [6]
Δ σ = arccos ( n 1 ⋅ n 2 ) = arcsin | n 1 × n 2 | = arctan | n 1 × n 2 | n 1 ⋅ n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}} ここで 、および は、2つの位置1と2における球面の法線です。緯度と経度に基づく上記の式と同様に、アークタンジェントに基づく式は、 すべての角度 に対して条件を満たす 唯一の式です。アークタンジェントに基づく式では、外積と内積の絶対値が求められます。 n 1 {\displaystyle \mathbf {n} _{1}} n 2 {\displaystyle \mathbf {n} _{2}}
弦の長さから 球状の地球 上の各点を結ぶ三次元空間を通る線は、 その点を結ぶ大円の 弦 の長さです。弦の長さから、2点間の 中心角 を求めることができます。大円の距離は中心角に比例します。
大円弦の長さ は、対応する単位球に対して、 直交座標の減算 によって次のように計算できます 。 Δ σ c {\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}
Δ X = cos ϕ 2 cos λ 2 − cos ϕ 1 cos λ 1 ; Δ Y = cos ϕ 2 sin λ 2 − cos ϕ 1 sin λ 1 ; Δ Z = sin ϕ 2 − sin ϕ 1 ; Δ σ c = ( Δ X ) 2 + ( Δ Y ) 2 + ( Δ Z ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}} と を代入する と、 この式は上記の § 計算式に示した形式に代数的に操作できます。 λ 1 = − 1 2 Δ λ {\displaystyle \lambda _{1}=-{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda } λ 2 = 1 2 Δ λ {\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }
球状の地球の半径 1984 年の世界測地系 改訂版で定義された 赤道半径 ( a )、極半径 ( b )、および平均地球半径。 ( 縮尺どおりではありません 。) 地球の形状は、 赤道半径 が 6378.137 km の 平らな球体（ 回転楕円体 ）によく似ており、 回転楕円体の中心から各極までの距離は 6356.7523142 km です。赤道における短い南北線の長さを計算する場合、その線に最も近似する円の半径は （子午線の 半緯度 に等しい）、つまり 6335.439 km ですが、極における回転楕円体は、半径 、つまり 6399.594 km の球体に最も近似され、1% の差があります。地球が球体であると仮定されている限り、地球上の距離に関する単一の公式の正確さは、0.5% 以内であることが保証されています（ただし、公式を限られた地域にのみ適用する場合は、精度を向上させることができます）。 地球の平均半径（ WGS84 楕円体の場合） を使用すると 、 小さな平坦化の限界において、 距離の推定値における平均二乗 相対誤差が最小化されることを意味します。 [7] a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} b 2 a {\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}} a 2 b {\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}} R 1 = 1 3 ( 2 a + b ) ≈ 6371.009 km {\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}
500キロメートル未満の距離や極外では、楕円体地球のユークリッド近似（ 連邦通信委員会（FCC）の公式 ）がより単純でより正確です（0.1％まで）。 [8]
参照
参考文献と注釈 ^ 海軍省航海マニュアル第1巻、The Stationery Office、1987年、10ページ、 ISBN 9780117728806 国際海里に基づいて地球が球体であると仮定することによって生じる誤差は、 緯度の場合は 0.5% 以下、経度の場合は 0.2% 以下です。 ^ ケルズ、ライマン・M.、カーン、ウィリス・F.、ブランド、ジェームズ・R. (1940). 『平面三角法と球面三角法』McGraw Hill Book Company, Inc. pp. 323-326 . 2018年 7月13日 閲覧 。 ^ 「緯度/経度ポイント間の距離、方位などを計算する」 。 2013年 8月10日 閲覧。 ^ シノット、ロジャー・W.（1984年8月）「ヘイバーサインの美徳」『 スカイ・アンド・テレスコープ 』 68 （2）：159。 ^ Vincenty, Thaddeus (1975-04-01). 「楕円体上の測地線の直接解と逆解（入れ子方程式の適用による）」 (PDF) . Survey Review . 23 (176). キングストンロード、トルワース、サリー: 海外調査局 : 88– 93. Bibcode :1975SurRv..23...88V. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . 2008年7月21日 閲覧. ^ Gade, Kenneth (2010). 「非特異な水平位置表現」 (PDF) . The Journal of Navigation . 63 (3). Cambridge University Press: 395– 417. Bibcode :2010JNav...63..395G. doi :10.1017/S0373463309990415. ^ McCaw, GT (1932). 「地球上の長い線」. Empire Survey Review . 1 (6): 259– 263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259. ^ アガフォンキン、ウラジミール（2017年8月30日）「Cheap Rulerによる高速測地線近似」 Mapbox . 「mapbox/cheap-ruler」. Mapbox. 2024年5月10日.
外部リンク 
